高等数学 II(部分)
Tsui Dik Sang
2024.6.15
目录
1 重积分 2
1.1 技巧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 变换积分次序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 利用奇偶性先化简 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 曲积分 3
3 常微分方程 3
3.1 计算题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 直接积分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 齐次换元法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.4 常数变易法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.5 特殊情况：线性方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.6 证明题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.7 朗斯基行列式以及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.8 求解常微分方程的基本方法汇总 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.8.1 常数变易法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.8.2 特征方程法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 无穷级数 5
4.1 柯西收敛定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.1.1 收敛级数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 正项级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2.1 比较判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2.2 达朗贝尔判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2.3 柯西判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2.4 拉比判别法 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2.5 积分判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 交错级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3.1 莱布尼茨判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3.2 绝对收敛和相对收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3.3 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1
高数 II 部分笔记 1 重积分 Tsui Dik Sang
1 重积分
1.1 技巧
1.1.1 变换积分次序
• 变换积分次序 (需要根据几何图形构造)
• 变换积分次序，在此基础上利用未知数的等价性进行变换
1. 已知 f(x) 连续，且
´
1
0
f(x)dx = A 计算 I =
´
1
0
dx
´
1
x
f(x)f(y)dy
解：首先变换积分区域，变为
ˆ
1
0
dy
ˆ
y
0
f(x)f(y)dx
然后进行等价变换，即
ˆ
1
0
dx
ˆ
1
x
f(x)f(y)dy =
ˆ
1
0
dy
ˆ
y
0
f(x)f(y)dx =
ˆ
1
0
dx
ˆ
x
0
f(x)f(y)dy
∴ I =
ˆ
1
0
dy
ˆ
y
0
f(x)f(y)dx (1)
=
ˆ
1
0
dx
ˆ
x
0
f(x)f(y)dy (2)
=
1
2
ˆ
1
0
dx
ˆ
1
0
f(x)f(y)dy (3)
=
1
2
[
ˆ
1
0
f(x)dx][
ˆ
1
0
f(y)dy] (4)
=
A
2
2
(5)
• 构造中间积分函数来算
1. 条件相同，计算 I =
´
1
0
dx
´
1
x
dy
´
y
x
f(x)f(y)f(z)dz 解：设 F (x) =
´
f(x)dx 那么
I =
ˆ
1
0
dx
ˆ
1
x
f(x)f(y)[F (y) − F (x)]dy (6)
=
ˆ
1
0
f(x)dx
ˆ
1
x
[F (y) − F (x)]dF (y) (7)
=
ˆ
1
0
f(x)[. . . ] (8)
=
ˆ
1
0
[. . . ]dF (x) (9)
. . . (10)
=
1
6
m
3
(11)
1.1.2 利用奇偶性先化简
外 P109 例 1
2
高数 II 部分笔记 3 常微分方程 Tsui Dik Sang
1.1.3 . . .
2 曲积分
3 常微分方程
3.1 计算题
3.2 直接积分法
3.3 齐次换元法
形如12的方程
dy
dx
= f(
y
x
) (12)
令 u =
y
x
, 则 y = xu, dy/dx = u + xu
′
12变为
u + x
du
dx
= f(u)
⇒
du
f(u) − u
=
dx
x
(13)
就可解了
3.4 常数变易法
y
′′
(x) + p(x)y
′
(x) + q(x)y(x) = F (x)
先求其次的，再用常数易变法
3.5 特殊情况：线性方程
解特征根方程
3.6 证明题
3.7 朗斯基行列式以及其应用
证明上其实就是利用了线性代数的克拉默法则，
证明. 如果 ϕ
1
(x) 和 ϕ
2
(x) 线性相关，也就是说方程
C
1
ϕ
1
(x) + C
2
ϕ
2
(x) ≡ 0, x ∈ (a, b)
对上式求导，
C
1
ϕ
′
1
+ C
2
ϕ
′
2
(x) ≡ 0, x ∈ (a, b)
上式的行列式为
ϕ
1
(x) ϕ
2
(x)
ϕ
′
1
(x) ϕ
′
2
(x)
= 0
也就是朗斯基行列式为零
3
高数 II 部分笔记 3 常微分方程 Tsui Dik Sang
然后下面我们列举四道巧妙运用朗斯基行列式的例题：
1. 设 ϕ
1
(x)，ϕ
2
(x) 是微分方程
y
′′
+ q(x) = 0
的任意两个解，，其中 q(x) 连续，证明：ϕ
1
(x) 与 ϕ
2
(x) 的朗斯基行列式为常数
【解】：其值为常数，则其导数为零，而且由题中方程我们可以知道
ϕ” = −q(x)ϕ”
W (x) =
ϕ
1
(x) ϕ
2
(x)
ϕ
′
1
(x) ϕ
′
2
(x)
=ϕ
1
ϕ
′
2
− ϕ
′
1
ϕ
2
d
dx
W (x) =ϕ
1
ϕ
′′
2
+
ϕ
′
1
ϕ
′
2
−
ϕ
′
1
ϕ
′
2
− ϕ
′′
1
ϕ
2
= − q(x) (ϕ
1
ϕ
2
− ϕ
2
ϕ
1
)
=0
(14)
所以得证
2. 设 ϕ(x) 是齐次线性方程组的一个非零解 (即不恒等于 0)，证明 ϕ(x) 与 ϕ
′
(x) 没有共同零点
【解】：此题只有一个函数，那么我们需要拆分法，设 ϕ = C
1
ϕ
1
+ C
2
ϕ
2
，其中 ϕ
1
与 ϕ
2
是线性无关的。那么如果 ϕ
与 ϕ
′
同时为零，意味着方程
C
1
ϕ
1
+ C
2
ϕ
2
= 0
C
1
ϕ
′
1
+ C
2
ϕ
′
2
= 0
(15)
有非零解，即
ϕ
1
(x) ϕ
2
(x)
ϕ
′
1
(x) ϕ
′
2
(x)
= 0
这与 ϕ
1
、ϕ
2
线性无关矛盾，所以不成立，原命题成立
3. 设 ϕ
1
与 ϕ
2
是齐次线性方程组的两个线性无关的解，，证明他们没有公共的零点
•【解】：这题类比与上一题很容易想到拆分法, 设
ϕ
1
= C
1
ϕ
3
+ C
2
ϕ
4
; ϕ
1
= C
3
ϕ
3
+ C
4
ϕ
4
其中
C
1
C
2
̸=
C
3
C
4
然后去解方程组
C
1
ϕ
1
+ C
2
ϕ
2
= 0
C
3
ϕ
1
+ C
4
ϕ
2
= 0
显然，由于 ϕ
3
与 ϕ
4
线性无关, 上面的方程式无解的，这也就证明了原命题。
•【解】：上面的解法是巧妙的，不过在处理像这样的两个方程的题目我们可以考虑整体使用朗斯基行列式由于线
性无关，所以
W (x) =
ϕ
1
(x) ϕ
2
(x)
ϕ
′
1
(x) ϕ
′
2
(x)
= ϕ
1
ϕ
′
2
− ϕ
′
1
ϕ
2
= const ̸= 0
当 ϕ
1
= 0 时，由上题的结论 ϕ
′
1
̸= 0 , 此时若 ϕ
2
= 0 , 就推出了 W(x)=0 的结论，矛盾，所以此时 ϕ
2
̸= 0
当然，如果熟悉行列式的话可以直接从行列式中就推出 W(x) 为零的矛盾
4
高数 II 部分笔记 4 无穷级数 Tsui Dik Sang
• 证明线性方程组
y
′′
(x) + p(x)y
′
(x) + q(x)y(x) = 0
有两个线性无关的解
【解】：这题我们要用到一个重要的方法初值条件 在初值条件
y”(x) + p(x)y
′
(x) + q(x)y(x) = 0
y(X
0
) = y
0
, y
′
(x
0
) = y
1
时有唯一的解 ϕ
1
(x) 而对于另外的初值条件
y”(x) + p(x)y
′
(x) + q(x)y(x) = 0
y(X
0
) = y
0
, y
′
(x
0
) = y
2
̸= y
1
时有另一唯一的解 ϕ
2
(x) 可以得到
W (x
0
) =
ϕ
1
(x) ϕ
2
(x)
ϕ
′
1
(x) ϕ
′
2
(x)
= y
0
(y
1
− y
2
) ̸= 0
所以得证 ϕ
1
和 ϕ
2
是两个线性无关的解（在一个点不满足朗斯基行列式为零就可得）
3.8 求解常微分方程的基本方法汇总
3.8.1 常数变易法
这种方法通用性较强，但是对积分的要求较高，可能会出现一些很难积的分，因此要慎用 推荐使用的范围
1. 普通二阶线性非齐次方程 (即 p,q 都不是常数而是关于 x 的函数的时候)
2. 特解不好猜的时候
3.8.2 特征方程法
先用齐次方程解出通解，再待定系数得出特解，最后合并。
4 无穷级数
4.1 柯西收敛定理
由此可以推出两个必要条件
1. 通项趋于零；
2. 部分和有极限，即对于所有的 p ＞ 1；
3. 后 p 项
对于任意给定的 ε > 0, ∃N ，使得 |
P
n+p
k=n+1
| < ε(n > N, p > 1), (直观的说就是无论 p 多大，只要 n 充分大，就能是
这段和的绝对值足够小)
也可写成：
lim
n→∞
|
n+p
X
k=n+1
a
k
| = 0 (16)
5
高数 II 部分笔记 4 无穷级数 Tsui Dik Sang
一个经典的例子是对
P
∞
n=1
1
n
的讨论，我们只要取 p=n, 就可以发现
2n
X
k=n+1
1
k
=
1
n + 1
+ ··· +
1
2n
≥
n
2n
=
1
2
(17)
就不满足定理了。所以其发散
4.1.1 收敛级数的性质
1. 加减法不变收敛性
2. 任意加括号形成的新级数仍然收敛
4.2 正项级数
判断正向级数收敛一般有下面几种方法，
4.2.1 比较判别法
定理 4.1. 两个级数假如满足 u
n
≤ v
n
, 那么……
推论 4.2. 如果在某项以后，u
n
≤ cv
n
, 那么……
(这个推论对原命题做了两个方面的推广) 一个经典的例子是对
P
∞
n=1
1
n
p
的讨论，证明比较容易，见课本 p242
4.2.2 达朗贝尔判别法
定理 4.3.
lim
n→∞
u
n+1
u
n
= l
收敛 , l < 1
发散 , l > 1
不可知，需要进一步判断 , l = 1
(18)
证明. 证明过程其实就是套娃，
• l ＜ 1，取l ＜ q ＜ 1；
u
n+1
u
n
<q (19)
⇒ u
n
1
<u
n
; (20)
. . . (21)
u
n
k
<q
k
u
n
(22)
当 n 取定时，然后右边形成的级数为指数函数，收敛，所以原级数也就收敛了。
• l ＞ 1，我们当然可以仿造上面的证法，但是其实由 u
n
单调增直接
• l=1, 我们举
1
n
p
的例子就行了，其发散性要根据 p 的大小讨论，但在这个判别法的表达式中都是等于 1，所以无法
判断
这里专门取一个 q 的原因：防止比值极限从上端趋向于 l，而无法使用下面的不等式
6
高数 II 部分笔记 4 无穷级数 Tsui Dik Sang
4.2.3 柯西判别法
定理 4.4.
lim
n→∞
n
√
u
n
= l
收敛 , l < 1
发散 , l > 1
不可知，需要进一步判断 , l = 1
(23)
证明. • l ＜ 1，取 l ＜ q ＜ 1(原因与上面的证法一样)，∃n ≥ N 时有
n
√
u
n
< q, 即 u
n
< q
n
, 有等比数列
P
∞
n=1
q
n
的
收敛性可以得到 u
n
的收敛性
• l < 1, 这时显然由通项不趋于零九可以得到发散
• l = 1，仍然可以用
1
n
p
举例子即可
4.2.4 拉比判别法 *
定理 4.5.
lim
n→∞
n
u
n
u
n+1
− 1
= l
收敛 , l < 1
发散 , l > 1
不可知，需要进一步判断 , l = 1
(24)
证明从略
4.2.5 积分判别法
定理 4.6. 设 u
n
= f(n), n = 1, 2, 3 . . . , 则
P
∞
n=1
u
n
收敛的条件是无穷积分
´
+∞
1
f(x)dx 收敛的条件是无穷积分
证明见书本P251
4.3 交错级数
4.3.1 莱布尼茨判别法
定理 4.7. 若级数
P
∞
n=1
(−1)
n
u
n
满足
• u
n
̸= u
n+1
• lim
n→∞
u
n
= 0
那么该级数收敛
证明. (具体证明见P253), 思路是证子列 S
2n
单调有界
4.3.2 绝对收敛和相对收敛
区别在于是否对每项加上绝对值后级数收敛与否，并没有涉及什么新方法
7
高数 II 部分笔记 4 无穷级数 Tsui Dik Sang
4.3.3 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
引理 4.8. 阿贝尔变换式
m
X
k=1
α
k
β
k
=
m−1
X
k=1
(α
k
− α
k−1
)B
k
+ α
m
B
m
(25)
其中 B
m
= β
1
+ β
2
+ ··· + β
m
由此可以得到下面的引理
引理 4.9. 阿贝尔引理
• a
k
是单调的，
•
|B
n
| ≤ M
其中 M 是大于零的常数
那么
|
m
X
k=1
α
k
β
k
| ≤ M ( |α
1
| + 2|α
m
|) (26)
证明. 见课本P263
定理 4.10. 狄利克雷判别法
对于级数
P
∞
k=1
a
k
b
k
, 若
• lim
k→∞
a
k
= 0
•
P
∞
k=1
b
k
的部分和序列有界，即 ∃M > 0, |
P
n
k=1
b
k
| ≤ M
证明. • 见课本P264
• 第二种证法见dilikelei
定理 4.11. 阿贝尔判别法
• 无穷序列 a
k
单调有界
•
P
∞
k=1
b
k
收敛
∞
X
k
=1
a
k
b
k
收敛
证明. 证明见P264
这两个定理很重要的一个应用是下面的一个例子
8
高数 II 部分笔记 4 无穷级数 Tsui Dik Sang
讨论
∞
X
k=1
a
k
coskϕ
的敛散性
其中 a
k
→ 0(k → ∞) 证明见课本 p265，当 a
k
是 p 级数时可以推出很多结论 > 一个重要的结论是
定理 4.12.
∞
X
n=1
sinnφ
n
是条件收敛的
(
φ
̸
=
kπ, k
∈
Z
)
“这个例子说明了狄利克雷和阿贝尔两个方法的不可替代性”
9