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信号与系统笔记
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Tsui Dik Sang
2024 年 2 月 8 日——2025 年 6 月 30 日
t
x(t)
系统
x(t) y(t)
LF
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
写在笔记之前
诚然，由于课时限制，我们只能浅尝辄止，许多深层次的理论和应用都未能深入探讨。不过，这门课程也算是用系统的思维
来理解和分析电路及各类工程系统的一个基础。
课程内容主要涉及复变函数理论，并融合了矩阵分析的相关知识。
Tsui Dik Sang
2025 年 6 月 30 日
2
目录
第一章 信号与系统概论 9
1.1 分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 确定性 & 随机性信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 连续时间信号 & 离散时间信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 周期信号 & 非周期信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 能量 & 功率信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 基本信号处理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 信号的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1.1 平移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1.2 反褶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1.3 尺度变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1.4 加法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1.5 乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1.6 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1.7 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 信号的拆解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 典型的信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 基本信号 (初等函数构成的) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1.1 因果指数信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1.2 复指数表示的正弦类信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1.3 抽样信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1.4 高斯信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 奇异信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2.1 符号函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2.2 斜变信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2.3 单位跃迁函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2.4 单位冲激函数 δ = u
′
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2.5 冲激偶函数 δ
′
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 常用的离散信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 信号的分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 奇偶分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 交直流分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3 正交分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 系统的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.0.1 输入输出分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.0.2 线性 or 非线性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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1.5.0.3 时变 or 时不变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.0.4 因果 or 非因果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.0.5 稳定 or 不稳定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.0.6 可逆 or 不可逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 系统的描述: 框图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 20
2.1 广义线性系统 (增量线性系统) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 LTI 经典分析方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1.1 自由响应和强迫响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1.2 零输入响应 (zero situation)& 零状态响应 (zero input) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1.3
从例题看求解
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 冲击匹配法 (待定系数法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2.1 解上面的例题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2.2 关注激励的差量 (方程右边) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2.3 由激励设置待定形式 (方程左边) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2.4 抽象题目的通用解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 定义阐述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 两个经典的零状态响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4.1 单位冲激响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4.2 单位阶跃响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4.3 单位脉冲响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4.4 单位阶跃响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 框图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 寻找元输入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 元输入累加得原输出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 找到元输入、元输出以及原输出的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.4 绘制框图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.5 最高阶导不为零的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3
卷积以及卷积和
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 两种奇异响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1.1 冲激响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 卷积的引入以及其物理意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 卷积的计算方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3.1 解析法：针对因果信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3.2 图解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3.3 对位相乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.4 卷积的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.4.1 时移性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.4.2 交换律 & 结合律 & 分配律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.4.3 微积分性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.4.4 与 δ 函数 (冲激信号) 等信号的卷积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.4.5 离散卷积和的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.5 扩展应用 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.5.1 解卷积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.5.2 用算子符号来表示微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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2.4 LTI 系统的性质 (从卷积的角度看) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 记忆性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 因果性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.3 可逆性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
第三章 Fourier 变换 35
3.1 周期信号的 Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Fourier 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1.1 三角函数形式的 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1.2 指数形式的 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2
函数对称性与
Fourier
系数的关系
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2.1 偶函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2.2 奇函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2.3 奇谐函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.3 典型的周期信号的 Fourier 级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.3.1 周期矩形脉冲信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.3.2 周期锯齿波信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.3.3 周期三角脉冲信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 典型非周期信号的 Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1.1 单边指数信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1.2 双边指数信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1.3 矩形脉冲信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1.4 钟形脉冲信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1.5 符号函数 sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1.6 升余弦脉冲信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 冲激函数以及阶跃函数的 Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Fourier 变换的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1
已经被复变玩烂了的性质
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1.1 线性性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1.2 奇偶的对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1.3 尺度变换性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1.4 时移性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1.5 频移性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1.6 微分性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1.7 积分性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1.8 卷积性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 变换对称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.3 奇偶虚实性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.3.1 f(t) 是实偶函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.3.2 f(t) 是实奇函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.3.3 通用的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 周期信号的 Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.1 正余弦信号的 Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.1.1 经典无限正余弦信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
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3.4.1.2 有限正余弦信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2 一般周期信号的 Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2.1 Fourier 系数形式的表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2.2 单脉冲形式的表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2.3 冲激抽样函数的 Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 抽样信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.1 时域抽样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.1.1 矩形脉冲抽样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.1.2 冲激抽样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.2 频域抽样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.3 抽样定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.3.1 不失真的条件：Nyquist 频率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.3.2 信号的还原：理想低通滤波器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.3.3 频域抽样定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
第四章 Laplace 变换: 连续时间系统的 s 域分析 50
4.1 数学过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.1 存在性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.1.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.1.2 收敛域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.1.3 常用的 Laplace 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.2 性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.2.1 线性性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.2.2 时移性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.2.3 s 域频移性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.2.4 对 t 的微分性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2.5 对 t 的积分性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2.6 对 s 的微分性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2.7 对 s 的积分性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2.8
尺度变换性质
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2.9 初值 & 终值性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.2.10 卷积性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.3 逆变换的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.3.1 部分分式法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.3.2 留数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 s 域分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1 解方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2 正解方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2.1 逆推方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.3 元件简化：元件模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.3.1 KVL 元件模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.3.2 KCL 元件模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.4 方程组建模：系统函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.4.1 阻抗导纳的引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.4.2 由响应激励比定义系统函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.4.3 从系统函数反推微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
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4.2.4.4 网络的求解：多维 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.5 系统函数零点、极点对应的时域特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.5.1 几何特性对应的时域特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.5.2 自由 or 强迫相应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.6 系统函数零点、极点对应的频响特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.6.1 因式分解角度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.6.2 复数视角分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.7 二阶系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.7.1 方程建立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.7.2 由极点零点分析性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.8 一些特殊网络 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.8.1 全通网络 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.8.2 最小相移网络 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.1.1 字面定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.1.2 数学定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3.2 Routh-Hurwitz 稳定性判据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.2.1 一个必要条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.2.2 定义与构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3.2.3 应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
第五章 Fourier 变换与应用于通信系统 65
5.1 Fourier 形式的系统函数 H(jω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 无失真传输 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.1.1 从目的理解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.1.2 从频率分量理解 (物理角度) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.2 应用：通过无失真衍生失真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3
滤波器
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.1 理想低通滤波器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.1.1 理想与现实的矛盾 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.1.2 理想低通滤波器的阶跃响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.1.3 对矩形脉冲的响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 物理可实现的滤波系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.1 RLC 并联系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.2 Paley-Wiener 准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4.3 Hilbert 变换研究的可构造系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.3.1 推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.5 调制与解调 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.1 调制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.2 解调 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.2.1 乘积解调/同步解调 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.2.2 调幅 AM 解调 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.6 带通滤波系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.6.1 幅相分离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7
信号与系统笔记 目录 Tsui Dik Sang
5.6.1.1 理想带通 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.6.1.2 利用幅相分离解题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.6.2 频率窗函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.7 从抽样信号恢复连续时间信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.7.1 几何理解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.7.2 可实现的抽样方式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.7.2.1 零阶抽样保持 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
第六章 下册的章节：图和系统 75
6.1 信号流图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.1 形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.2 拓扑转换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.3
Mason
增益公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 连续系统方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.1 方程 or 图构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.1.1 根据方程画图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.2 根据图列出方程：状态变量的引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.3 根据方程分解画图求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2.3.1 正常例题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.3.2 有重根的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.4 求解方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.4.1 时域法和对角化法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.4.2 Laplace 变换法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
第七章 课内部分完结 82
附录 A 附录 84
A.1 抽样函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.2 2t 系统变换的绘制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A.3 RLC 并联低通滤波器的系统函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8
第一章 信号与系统概论
1.1 分类
这一部分相当于是对之前比较熟悉的内容做一个分类，并没有什么实质性的内容，但是必须要有这一章的重新定义，才可以
有后面更加深入的讨论。
1.1.1 确定性 & 随机性信号
定义 1.1.1 (确定性信号). 对于任意确定的时间变量，信号有有确定的函数值。
那么随机性信号的定义就完全相反了，描述他们只能用统计的规律
1
1.1.2 连续时间信号 & 离散时间信号
显而易见
1.1.3 周期信号 & 非周期信号
道理虽然显然，但是这里引入了一种用有限长信号来描述无限长信号的方法
定理 1.1.1 (连续非周期信号的周期延拓). 任意一个周期信号 f(t) 都可以表示成
f(t) =
+∞
X
n=−∞
f
0
(t − nT ) (1.1)
其中
f
0
(t) =
f(t), t ∈ [0, T ]
0, t /∈ [0, T ]
(1.2)
使用取整符号同理有离散信号的周期信号表示，并且其为严格周期信号时必须满足
2π
ω
0
是有理数，否则其只是包络线是周期信号，
但本身不满足周期信号等式
1.1.4 能量 & 功率信号
定义 1.1.2 (连续时间信号能量).
E =
ˆ
+∞
−∞
|f(t)|
2
dt (1.3)
1
均值、方差、概率密度函数
9
信号与系统笔记 第一章 信号与系统概论 Tsui Dik Sang
定义 1.1.3 (连续时间信号功率).
P = lim
T →∞
1
2T
ˆ
+T
−T
|f(t)|
2
dt (1.4)
同样有关于离散信号的。
2
由此可以有结论
推论 1.1.2. 有限持续时间且有界的信号一定是能量有限信号，反之则未必
之后书中定义的能量信号与功率信号大致如下：
定义 1.1.4 (能量信号). 如果信号能量是有限值的就是能量信号 (也就是说这个信号表征的信息是能量)
定义 1.1.5 (功率信号). 能量为无限值的就是了，(因为这个信号表征的就不是能量了，而是功率了)
1.2 基本信号处理
1.2.1 信号的运算
1.2.1.1
平移
F (t) = f (t − τ ) (1.7)
1.2.1.2 反褶
F (t) = f (−t) (1.8)
1.2.1.3 尺度变换
F (t) = f (at) (1.9)
1.2.1.4 加法
F (t) = f
1
(t) + f
2
(t) (1.10)
1.2.1.5 乘法
F (t) = f
1
(t)f
2
(t) (1.11)
2
E =
+∞
−∞
|x[n]|
2
(1.5)
P = lim
N→∞
1
2N + 1
+N
−N
|x[n]|
2
(1.6)
10
信号与系统笔记 第一章 信号与系统概论 Tsui Dik Sang
1.2.1.6 微分
F (t) =
df(t)
dt
(1.12)
1.2.1.7 积分
F (t) =
ˆ
t
−∞
f(τ)dτ (1.13)
1.2.2 信号的拆解
定理 1.2.1 (信号的拆解). 任何复合的信号可拆解成上面的基本信号运算的组合
但是还是有一些技巧的，来看复习 ppt 上面的这道题
已知 f(t) 的波形如图 (图就略了)，求 f(−2t + 1) 的波形
很容易知道，反褶、尺度变换和时移都有涉及。理论上，这三种变换顺序是可以调换的，事实上也确实如此！
1. • 先反褶:f(t) → f (−t)，图像关于 y 轴对称
• 再尺度变换:f(−t) → f (−2t)，图像关于 y 轴缩放 (也就是 y 轴位置不变，两边分别缩放)
• 最后平移:f(−2t) → f
−2
t −
1
2
，直接进行对应的位移
2. • 先平移:f(t) → f (t + 1)，图像向左平移 1 个单位
3
• 再尺度变换:f(t + 1) → f(2t + 1)，图像关于 y 轴缩放
• 最后反褶:f(2t + 1) → f(−2t + 1)，图像关于 y 轴对称
这两种结果是一样的，相比之下第一种方法容易理解，而第二种稍有点难度
1.3 典型的信号
1.3.1 基本信号 (初等函数构成的)
1.3.1.1 因果指数信号
f(t) =
0, t < 0
e
−
t
τ
(1.14)
1.3.1.2 复指数表示的正弦类信号
f(t) = Ke
(σ+jω)t
(1.15)
根据指数实际情况分为三种
• σ ̸= 0, ω ̸= 0, 指数衰减信号 (重点)
3
这是很关键的，不是
1
2
, 是 1！否则会出错，具体可参见书本 [2]p13 的例题
11
信号与系统笔记 第一章 信号与系统概论 Tsui Dik Sang
• σ = 0, 就是正余弦信号
• ω = 0, 前面的指数信号
• σ = 0, ω = 0，直流信号
1.3.1.3 抽样信号
-10 -5 5 10
t
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Sa(t) = sin(t)/t
图 1.1: 抽样函数
Sa(t) =
sin t
t
(1.16)
推论 1.3.1 (抽样函数的积分).
ˆ
+∞
−∞
Sa(t)dt = π (1.17)
1.3.1.4 高斯信号
f(t) = Ee
−(
t
τ
)
2
(1.18)
也就是所谓的钟形曲线正态分布，没有什么可以多说的。
1.3.2 奇异信号
定义 1.3.1 (奇异信号). 函数本身有不连续点或其导数与积分有不连续点的信号
1.3.2.1 符号函数
sgn(t) =
1, t > 0
0, t < 0
(1.19)
1.3.2.2 斜变信号
u = tu(t) (1.20)
12
信号与系统笔记 第一章 信号与系统概论 Tsui Dik Sang
1.3.2.3 单位跃迁函数
u(t) =
0, t < 0
1, t > 0
(1.21)
1.3.2.4 单位冲激函数 δ = u
′
关于其更深的讨论请看复变函数的 Fourier 变换那一部分。不过我觉得这本书 [2] 还是有一些很好的内容，比如下面的对 δ
函数的极限法定义。
我们之前学的是下面的的矩形定义
定义 1.3.2 (δ 函数的矩形脉冲定义).
δ(t) = lim
τ →0
1
τ
h
u
t +
τ
2
− u
t −
τ
2
i
(1.22)
定义 1.3.3 (δ 函数的三角脉冲定义).
δ(t) = lim
τ →0
1
τ
1 −
|t|
τ
[u(t + τ) − u(t − τ )]
(1.23)
定义 1.3.4 (双边指数脉冲).
δ(t) = lim
τ →0
1
2τ
e
−
|t|
τ
(1.24)
定义 1.3.5 (钟形脉冲).
lim
τ →0
1
τ
e
−π
(
t
τ
)
2
(1.25)
定义 1.3.6 (抽样函数).
lim
k→∞
k
π
Sa(kt)
(1.26)
这里给出其在这门课中常用的性质
定理 1.3.2 (赋值性质).
f(t)δ(t − t
0
) = f (t
0
)δ(t − t
0
) (1.27)
定理 1.3.3 (抽样性质 (筛选性质)).
ˆ
+∞
−∞
δ(t − t
0
)f(t)dt = f (t
0
) (1.28)
书 [2] 的 p27 提到了一种脉冲分解的证明方法，我觉得对理解这个定理非常有帮助：
13
信号与系统笔记 第一章 信号与系统概论 Tsui Dik Sang
引理 1.3.4 (脉冲分解). 对于任意一个连续的函数都可以近似分解成宽度为 ∆t 的一系列脉冲分量，在 t
1
处的分解表达式为
f(t
1
)[u(t − t
1
+ ∆t) − u(t − t
1
− ∆t)] (1.29)
对于近似分解取 ∆t → 0 就可以得到严格的分解
证明.
f(t) = lim
∆t→0
+∞
X
t
1
=−∞
f(t
1
)
u(t − t
1
+ ∆t) − u(t − t
1
)
∆t
1
· ∆t
1
= lim
∆
t
1
→0
+∞
X
t
1
=−∞
f(t
1
)δ(t − t
1
)∆t
1
=
ˆ
+∞
−∞
f(t
1
)δ(t − t
1
)dt
1
(1.30)
定理 1.3.5 (尺度性质).
δ(at) =
1
|a|
δ(t) (1.31)
定理 1.3.6 (检零性质).
δ[f(t)] =
n
X
i=1
1
|f
′
(t
i
)|
δ(t − t
i
) (1.32)
a
a
主要是证明前面的系数是怎么个回事: 对 f(t
i
) = 0 在零点小邻域内近似
f(t) ≈ f (t
i
) + f
′
(t
i
)(t − t
i
) = f
′
(t
i
)(t − t
i
) (1.33)
代入再利用 δ 函数的尺度性质得
δ[f(t)] =
n
i=1
δ[f
′
(t
i
)(t − t
i
)] = δ[f(t)] =
n
i=1
1
|f
′
(t
i
)|
δ(t − t
i
) (1.34)
1.3.2.5 冲激偶函数 δ
′
从符号就可以看出来了，就是冲激函数的导数，有下面的性质
定理 1.3.7.
ˆ
+∞
−∞
f(t)δ
′
(t − t
0
) = f
′
(t
0
) (1.35)
1.3.3 常用的离散信号
从略，因为只是多了个取整符号，性质也易推。
1.4 信号的分解
1.4.1 奇偶分解
14
信号与系统笔记 第一章 信号与系统概论 Tsui Dik Sang
定理 1.4.1 (奇偶分解定理). 任何一个信号都可以分解为一个偶分量和奇分量的叠加
f(t) = f
e
(t) + f
o
(t) (1.36)
其中
f
e
(t) =
1
2
[f(t) + f(−t)]
f
o
(t) =
1
2
[f(t) − f(−t)]
(1.37)
容易看出这个分解是唯一的，理解就可以类比模电中的差模和共模信号，就是典型的信号分解的例子了。
1.4.2 交直流分解
定理 1.4.2 (交直流分解). 任何一个可积信号都可以分解为一个直流分量和交流分量的叠加。
f(t) =
¯
f +
e
f(t) (1.38)
其中
¯
f = lim
T →∞
1
T
ˆ
T
2
−
T
2
f(t)dt
e
f(t) = f (t) =
¯
f
(1.39)
推论 1.4.3.
lim
T →∞
1
T
ˆ
T
2
−
T
2
e
f(t)dt = 0 (1.40)
也就是说交流分量一个周期内积分为零，物理上的理解就是无功功率!
1.4.3 正交分解
详见数理方法中的分离变量法的内容，包括 Fourier 分解、贝塞尔函数分解以及勒让德多项式分解等。
1.5 系统的分类
对于这一部分，笔者认为书 [2] 给的概念太过于抽象了，因此下面笔者将尝试对每一个分类都给出严格的具体的数学公式定
义
4
。顺便说一句，为了与书 [2] 上统一，我们之后都用 e(t) 来指代输入信号、r(t) 来指代输出信号。
1.5.0.1 输入输出分类
连续/离散/数字
1.5.0.2 线性 or 非线性
线性系统接触过很多了，这里给出定义性质
4
书上是短短一句话，并没有给出一个具体形式的数学公式，当时我做题的时候反复碰壁，无法检验，只能言之有理即可，但是当自己的想法与没有解释的答
案冲突时就晕了。因此必须要有数学形式一个定义才能得到很好的应用。
15
信号与系统笔记 第一章 信号与系统概论 Tsui Dik Sang
定义 1.5.1 (线性系统). 一个同时满足
• 叠加性:
e
1
(t)
system
→ r
1
(t)
e
2
(t)
system
→ r
2
(t)
⇒ e
1
(t) + e
2
(t)
system
→ r
1
(t) + r
2
(t) (1.41)
• 齐次性:
e(t)
system
→ r(t) ⇒ λe(t)
system
→ λr(t) (1.42)
的系统为线性系统。
拿着这个公式定义，我们就可以验证得出下面的结论
定理 1.5.1. 平移、反褶、尺度运算都是线性的
定理 1.5.2. 乘常数或与输入无关的变量，是线性的
定理 1.5.3. 加常数或与输入无关的变量，是非线性的(不满足齐次性)
定理 1.5.4. 微分积分差分累计四种运算都是线性的
上面的定理表述有不严谨的地方，平移反褶等都是对信号的运算，而线性是对于一个系统的性质，对信号本身的运算本身
并不会改变系统的性质，所以，这些结论更严谨的表述应该是“通过这种运算所构建的系统”是线性的
定理 1.5.5. 非正比例的即时映射都是非线性的
推论 1.5.6. 由零初始状态的线性电路或由线性常系数微分方程描述的连续时间系统都是线性的
然而在实际中常引入更为宽泛的增量线性系统，只需输入量的增量与输出量的增量之间满足线性系统即可
5
1.5.0.3 时变 or 时不变
定义 1.5.2 (时不变系统). 首先存在一个系统
e(t)
system
→ r(t) (1.43)
如果位移变换与系统变换可交换 (下面是这句话的数学表示)：
e(t − t
0
)
system
→ r(t − r
0
) (1.44)
成立，则系统称为时不变系统。
5
我认为模电中的 h 参数分析是这样的一个例子
16
信号与系统笔记 第一章 信号与系统概论 Tsui Dik Sang
我觉得时变时不变的表述是这一系列分类中最抽象的，形象的举例很容易理解
6
对于一个系统仍然不知道怎么样去判断，不过胡
浩基老师的网课给出了一个方法论
推论 1.5.7 (判断时变与时不变).
• 判断时不变需要根据定义严格证明
• 但是判断时变只需要给出一个反例即可
下面用三个例子来说明
• r(t) = e
e(t+1)
这个系统实际上是一个时不变系统，怎么看呢，证明！
首先对于这个系统已知
e(t)
system
→ r(t) = e
e(t+1)
(1.45)
我们现在要考察 e(t −t
0
) 经过系统能不能映射为 r(t −t
0
), 有点抽象，于是我们设函数 f(t) = e(t −t
0
), 那么经过映射应该
有
f(t)
system
→ r(t) = e
f(t+1)
(1.46)
将换元代回去1.46就可以得到
e(t − t
0
) = e
e(t−t
0
+1)
= r(t − t
0
) (1.47)
也就是说满足了关系式了，所以是时不变的。这个例子说明了 非线性系统也可能是时不变系统，两个性质并没有什么必然
的联系
• r(t) = e(2t)
证明一个东西不满足一个等式其实还是比较难理解的
7
，但是只需找到一个具象的反例就可以证得时不变不成立，即时变。
于是我们使用单位脉冲信号 e(t) =
1, t ∈ [0, 1]
0, t /∈ [0, 1]
作为输入，并且给予平移量 t
0
= 1 如果是时不变的话，系统只对输入信
号做压缩处理，但是平移量不会变，如图1.3所示，然而实际输出的是1.4, 位移量也被压缩了。当然，可以严格证明
8
，不
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
图 1.2: 输入信号
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
图 1.3: 期望看到的时不变信号
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
图 1.4: 实际输出的信号
过我还是觉得反例的方法更加直观。
• r(t) = e(t)u(t) 直接给结果，他是时变的，这与笔者第一眼的直觉违背，不过细看是这样一个道理，反例随便取一个 t
0
< 0
的情况就可以作为反例了。
6
胡老师的原话：“今天给一个孩子一颗糖，他会笑；明天再给同样的糖果，他会以同样的幅度笑，再后天……，这就是时不变系统”
7
笔者今天 (2025.3.11) 就是卡在了这题的证明上, 直觉上觉得他就是时变的! 但是却一直给不出一个严谨逻辑清晰的证明。
在期末复习的时候 (2025.6.28)，刚刚梳理到了前面平移变换的信号，觉得可以参考先平移后尺度的情景来理解这里尺度之后为什么会出现时变现象的本质 (3)
8
期望的图像应该是 e(2t − 1)，而实际的是 e(2t − 2)，对于括号内的尺度变换处理，前者才符合时不变特性
17
信号与系统笔记 第一章 信号与系统概论 Tsui Dik Sang
推论 1.5.8. 平移是时不变的，但是反褶和尺度运算都是时变的！
a
a
简单理解就是反褶和尺度运算不能与延迟信号交换，举一个尺度的例子
y
1
= a(t − t
0
) ̸= y
2
= at − t
0
(1.48)
反褶只是特殊的一种尺度
推论 1.5.9 (偏置的时变性质). 乘或加常数是时不变的；乘或加变量是时变的。可以理解为所加或乘的变量不随着输入的延
迟而延迟
推论 1.5.10. 微分、差分以及
ˆ
t
−∞
的积分是时不变的，但是下限为零的积分是时变的
a
a
一个很经典的例子是，对于系统
ˆ
t
0
f(x)dx,
ˆ
t
0
f(x − τ )dx =
ˆ
t−τ
−τ
f(x)dx ̸=
ˆ
t−τ
0
f(x)dx = y(t − τ ) (1.49)
1.5.0.4 因果 or 非因果
定义 1.5.3 (因果系统). 若该系统在任何时刻的响应仅仅取决于现在以及过去的激励，则该系统为因果系统，这类系统也成
为不可预测系统
很明显的，从 −∞ 开始对激励的积分信号就是典型的因果系统, 因果系统从坐标轴上可以理解为只与左边有关。因此有下面的推
论:
推论 1.5.11 (平移反褶尺度的因果性). 右平移 (延迟) 是因果的，左平移 (超前) 是非因果的。反褶 (即时间反褶) 以及尺度
(时间加速减速) 都是非因果的。
其实从物理上“时间”这个概念去理解就非常容易了。比如来一个尺度变换为何非因果的例子：r(t) = e(2 t) 这个系统意味着如
果我想要知道 t = t
0
= 1s 时候的输出, 我需要知道 t = 2t
0
= 2s 时刻的输入，这显然就不是因果的。
推论 1.5.12 (乘法和加法的因果性). 乘法和加法运算都是因果的 (都是针对信号值的运算而已)
推论 1.5.13 (微积分运算的因果性). 微分以及前向积分/差分都是非因果的 (与未来有关)，后向积分/累积是因果的。
推论 1.5.14 (非零响应). 若激励 f(t) = 0, ∀t < t
0
则一定有 y(t) = 0, ∀t < t
0
定义 1.5.4 (无记忆系统 ∈ 因果系统). 系统响应仅仅取决于当前时刻的激励信号
1.5.0.5 稳定 or 不稳定
18
信号与系统笔记 第一章 信号与系统概论 Tsui Dik Sang
定义 1.5.5. 对于有界的输入信号，系统输出有界的输出信号
大部分常见运算都是稳定的，除了下面几个：
推论 1.5.15 (不稳定运算). 积分和累积运算是不稳定的
1.5.0.6
可逆
or
不可逆
其实可以理解为单调性
定义 1.5.6 (可逆系统). 若系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应，则称此系统未可逆系统。
推论 1.5.16 (逆系统). 每一个可逆系统都存在一个逆系统，当原系统与逆系统级联之后输出为输入信号
一个最经典的例子就是：
推论 1.5.17 (微分系统与积分系统的可逆性判断). 微分系统是不可逆的，而积分系统
ˆ
t
−∞
···dt 是可逆的
这是显而易见的，因为不定积分会带上不确定的积分常数
1.6 系统的描述: 框图
不过我觉得这一块的内容放在下面讲完微分方程后理解会清晰一点，所以请看：2.2
19
第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析
有三种解法，一种是直接解法
1
、卷积法
2
，然后的就是拉普拉斯法，这在后面的章节会单独介绍。
3
2.1 广义线性系统 (增量线性系统)
2.1.1 LTI 经典分析方法
2.1.1.1 自由响应和强迫响应
书中 [1] 在附录部分写了一堆，不过其实就是可以归纳成下面的一句话：
定理 2.1.1 (LTI 的全响应). 可以将系统的全响应分为齐次解 (零状态响应) 和特解 (零输入响应) 的部分：
r(t) = r
h
+ r
p
(t) =
n
X
i=1
A
i
e
λ
i
t
+ r
p
(t) (2.1)
其中 r
p
(t) 部分是由激励源项决定的
推论 2.1.2 (唯一的解). 利用 Vandermonde 矩阵，可以知道对于初值条件
r(t
0
) = C
1
.
.
.
d
n−1
dt
n−1
r(t
0
) = C
n
(2.2)
式2.1有唯一确定的解
齐次解的待定系数 A
i
由初始条件决定；特解可以通过和高数常微分方程那一部分的知识选取特定形式，利用待定系数求得。
4
书本后面实际上又有很多种不同的称呼
5
2.1.1.2 零输入响应 (zero situation)& 零状态响应 (zero input)
前面对于自由响应以及强迫响应的分类很简单，直接从解的数学形式上就可以判断区分出来，但是对于零输入响应和零状态
响应就需要从物理意义上去理解了。不过我们仍然能从数学上去理解，这里先给一个我的数学理解，能看懂的话可以通过下面的
1
就是用高数方法直接求解微分方程
2
这一章也会介绍
3
书 [2]，也就我使用的规定教材，是将这一章合到下一章去的，在书本 [2] 上这一章是第二章
4
因此书上说这么多其实就是介绍了一种系统的解微分方程的思路，在这个思路下我们分析电路系统题就更多的关注方程的数学本身，下面的经典分析方法是
这样，后面冲击匹配法也是这样，使得我们单纯从条件得到的式子本身的微分积分操作就可以得到初始条件。
5
在 [1] 这本书中使用了相当多的文字来描述这些概念，把笔者搞晕了，后面以为下面的概念只是对同一个现象的不同说法，实际上还是有差异的，在 [2] 中
P61 仅用几个数学式子和少量文字就解释清楚了这个概念
20
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
物理定义验证，没看懂的话看完下面的物理解释后再上来看看这句话
• 零输入响应约束的是方程右端需要无 e(t)(输入) 项，且对初始条件要求是连续值
• 零状态响应表征的是初始条件必须为零值，不约束方程右端的激励项
下面做详细解释：
定义 2.1.1 (零输入响应). 没有外加激励信号作用，只由起始状态 (起始时刻系统的储能) 所产生的响应 r
zi
(t)。比如数理方
程中描述的初始偏移产生的机械振动就是这种响应
从数学上表示，r
zi
(t) 就是指齐次方程的解
6
因此其可以表示为
r
zi
(t) =
n
X
k=1
A
zik
e
α
k
t
(2.4)
另一方面：无输入，也就意味着无在参考点 (不妨设就是零点，并不影响结果) 连续为常数
7
。即
r
(k)
zi
(0
+
) = r
(k)
zi
(0
−
) (2.5)
A
zik
由上式决定，换句话说，题目给什么就用什么来确定。
定义 2.1.2 (零状态响应). 不考虑起始时刻系统储能的作用 (起始状态等于零)，由系统外加激励信号所产生的响应 r
zs
(t)
有输入激励，意味着 r
zs
(t) 是非齐次方程
8
的解, 因此解中含有特解项
r
zs
(t) =
n
X
k=1
A
zsk
e
α
k
t
+ B(t) (2.7)
且其初始条件可不连续，但初始状态之前响应必须为零
9
, 即
r
(k)
(0
−
) = 0 (2.8)
因此 A
zsk
由上式决定，或者准确来说，由 r
(n)
zs
(0
+
) = r
(n)
(0
+
) − r
(n)
(0
+
) 决定。而求解 r(0
+
) 需要用到冲击匹配法。
下面我们用一个式子 (即完全解) 清晰表示各种表示的区别
6
C
0
d
n
dt
n
r
zi
(t) + C
1
d
n−1
dt
n−1
r
zi
(t) + · · · + C
n−1
d
dt
r
zi
(t) + C
n
r
zi
(t) = 0 (2.3)
7
一般不为零，即一般系统有储能，这也与下面的零状态响应形成对比
8
C
0
d
n
dt
n
r
zs
(t) + C
1
d
n−1
dt
n−1
r
zs
(t) + · · · + C
n−1
d
dt
r
zs
(t) + C
n
r
zs
(t) = E
0
d
m
dt
m
e(t) + E
1
d
m−1
dt
m−1
e(t) + · · · + E
m−1
d
dt
e(t) + E
m
e(t) (2.6)
9
没有“状态”引起的响应嘛
21
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
定理 2.1.3 (完全解).
r(t) = r
zi
(t) + r
zs
(t)
=
n
X
k=1
A
zik
e
α
k
t
| {z }
零输入响应
+
n
X
k=1
A
zsk
e
α
k
t
+ B(t)
| {z }
零状态响应
=
n
X
k=1
A
k
e
α
k
t
| {z }
自由响应
+ B(t)
|{z}
强迫响应
(2.9)
因此我们可以归纳关于自由响应与零输入响应的一些关系
推论 2.1.4 (自由响应与零输入响应的关系 1). 自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解 (即不带特解形如2.4的形式)
推论 2.1.5 (自由响应与零输入响应的关系 2). 然而两者系数不同。
• 零输入响应系数 A
zik
仅由初始储能 (即初始状态) 决定
• 自由响应的 A
k
同时依赖于初始状态和激励信号 (因为本身合并了零状态响应的一部分项)
2.1.1.3 从例题看求解
我们书上的例题来阐述一下
−
+
e(t)=4V
−
+
e(t)=2V
C=1F
L =
1
4
H
R
2
=
3
2
Ω
R
1
解：
• 列出线性微分方程组
由 KCL 与 KVL 显然可以列出如下的微分方程 (i 指的是 R
1
的电流)
i
′′
(t) + 7i
′
(t) + 10i(t) = e
′′
(t) + 6e
′
(t) + 4e(t) (2.10)
这个式子左右两边非常清晰的展示了零状态响应与零输入响应。并且注意！虽然这题开关变化似乎应该考虑 ∆e(t)，然而
其实我们已经把 e(t) = 0 当成了零点，因此这里的 e(t) 就是 4u(t)!
• 得出齐次解与特解
于是分别就可以得到齐次解与特解
i
p
(t) =
8
5
u(t)
i
h
(t) = (C
1
e
−2t
+ C
2
e
−5t
)u(t)
(2.11)
22
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
• 代入初始条件
同样由电基知识求得初始条件为 i(0
+
) = 2.8A, i
′
(0
+
) = −2A/s 代入，最终得全响应为
i(t) =
8
5
+
4
3
e
−2t
−
2
15
e
−5t
u(t) (2.12)
2.1.2 冲击匹配法 (待定系数法)
本质上这个方法在教我们如何从数学的式子里直接提取出电路分析中通过 KCL 与 KVL 得到的初始条件。实际上是一个待
定系数法。
下面将先用这个方法解决上面的例题，接着再解一道相对更为抽象的例题，以此来展示这个方法使用的通用形式
10
2.1.2.1 解上面的例题
我们还是以刚刚的例题2.1.1.3入手：刚刚我们在列方程的时候只关注了 e(t) 最后的状态，然而想要求得初始条件，我们就要
关注差量
2.1.2.2 关注激励的差量 (方程右边)
显然,∆e(t) = 2u(t)，进一步求导可以得到
e
′
(t) = 2δ(t)
e
′′
(t) = 2δ
′
(t)
(2.13)
2.1.2.3 由激励设置待定形式 (方程左边)
由方程右边的增量形式次数最多是 δ
′
(t), 可以设 i
′′
(t) 的形式为
∆i
′′
(t) = aδ
′
(t) + bδ(t) (2.14)
于是与前面步骤相反
11
，两次积分得
∆i
′
(t) = aδ(t) + bu(t)
∆i(t) = au(t)
(2.15)
将式2.13、2.15代入微分方程, 解得 a = 2, b = −2 , 于是由2.15可以算出
∆i(0) = a, ∆i
′
(0) = b (2.16)
这里其实应该留意一个东西，
引理 2.1.6 (冲激偶的性质).
ˆ
+∞
−∞
δ
′
(t)dt = 0 (2.17)
这个性质想说的是冲激偶的积分是零，因此对冲激响应没有影响，有影响的只有 δ(t)!
所以我们想要的起始条件就可以知道了
i(0
+
) = i(0
−
) + ∆i(0
+
) = 0.8 + 2 = 2.8A
i
′
(0
+
) = i
′
(0
−
) + ∆i
′
(0
+
) = 0 − 2 = −2A/s
(2.18)
这与电路分析的结果是相同的。
10
在预习的时候我是使用例题来理解的，当时其实对初始时刻、起始时刻等概念还是有混淆，而这道理例题基本上什么东西都给了，并且是以电路系统作为背
景的，因此即使不去理解这个方法，我从电路的角度去看，也大概能对参考答案的方法给出我认为合理的解释，我以为我理解了，然而实际上并没有，在求解下
面我将要讲的抽象性更高的例题时候我脑子转不过弯了，对零输入响应与零状态响应的概念开始混淆了，解出来的也模模糊糊都不知道是什么东西，遂学习参考
答案，整理出了下面的通用方法
11
上面是已知物理上的增量 ∆e(t) 反复微分来求导数，而这里是由前面推出已知二阶导的形式，要积分来得到原式以及一阶导
23
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
2.1.2.4 抽象题目的通用解法
上面的例题依托的是一个实际的系统，下面我们将对一个抽象的系统给出通法。
给定系统的微分方程
r
′′
(t) + 3r
′
(t) + 2r(t) = e
′
(t) + 3e(t) (2.19)
以及初始条件
e(t) = u(t)
r(0
+
) = 1
r
′
(0
+
) = 2
(2.20)
求系统的全响应以及：零状态响应与零输入响应、自由响应与强迫响应
• 零输入响应:
12
由特征方程解得 α
1
= −1, α
2
= −2，因此零输入响应为
r
zi
(t) = A
1
e
−t
+ A
2
e
−2t
(2.21)
代入起始状态
13
得 A
1
= 4, A
2
= −3，因此
r
zi
(t) = 4e
−t
− 3e
−2t
(2.22)
• 确定初始状态 0
+
: 这是重头戏，冲激匹配法将会在这里被使用
– 由输入项的最高阶奇异函数导为 δ(t)
– 可设
14
r
′′
(t) = aδ(t) + b∆u(t)
r
′
(t) = a∆u(t)
r(t) = 0
(2.23)
代入方程：
aδ(t) + 3a∆u(t) + 2 · 0 = 2δ(t) + 3u(t) (2.24)
解得 a = 1, b = 0, 因此通过积分就可以知道冲激变化量
15
∆r
′
(t) =
ˆ
0
+
0
−
r
′′
(t)dt =
ˆ
0
+
0
−
δ(t)dt = 1 = r
′
(0
+
) − r
′
(0
−
)
∆r(t) =
ˆ
0
+
0
−
r
′
(t)dt =
ˆ
0
+
0
−
∆u(t)dt = 0 = r(0
+
) − r(0
−
)
⇒
r(0
+
) = 1
r
′
(0
+
) = 3
(2.25)
• 零状态响应:
– 确定零状态初值：注意，零状态初值与初始条件式不一样的，具体看2.8，这里直接给结论
r
zs
(0
+
) = r(0
+
) − r
zi
(0
+
) = r(0
+
) − r(0
−
) = 0
r
′
zs
(0
+
) = r
′
(0
+
) − r
′
zi
(0
+
) = r
′
(0
+
) − r
′
(0
−
) = 3 − 2 = 1
(2.26)
12
这是最简单的，相当于解一个齐次方程，并且初始条件也是现成的
13
也就是题目给的 0
−
时刻的东西
14
r
′′
(t) 中的 δ(t) 项与 r
′
(t) 中的 ∆u(t) 项相同，这由积分可以知道的
15
即初始状态 0
−
与起始状态 0
+
的差量
24
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
– 求解非齐次方程组：对于方程都是取 t > 0 的情况了，即在零状态初值的条件下解方程
r
′′
zs
(t) + 3r
′
zs
(t) + 2r
zs
(t) = 3 (2.27)
求特解、求通解，这不在话下，最后得到
r
zs
(t) = −2e
−t
+
1
2
e
−2t
+
3
2
(2.28)
• 全响应: 相加就是，即
r(t) = r
zi
(t) + r
zs
(t) = 2e
−t
−
5
2
e
−2t
+
3
2
(2.29)
• 自由响应与强迫响应: 就是找齐次解与特解而已，只是数学方法，也不在话下
r(t) = 2e
−t
−
5
2
e
−2t
| {z }
自由响应
+
3
2
|{z}
强迫响应
(2.30)
2.1.3 定义阐述
前面介绍的都是方法，有了前面的方法才能理解好这个扩充定义。
由第一章我们知道线性系统的定义是非常严格的，必须要求初始状态为零 (即没有激励的时候响应为零) 而这个系统显然不
是。不过他又具有以下性质:
• (零状态线性) 初始状态为零时，系统的零状态响应对输入信号呈线性。
• (零输入线性) 输入为零时，系统的零输入响应对初始状态呈现线性。
通俗一点来讲，在输入为零或者初始状态为零这两个条件任意一条成立这个系统都是线性的，但是实际上这个系统不能保证这两
个条件至少成立一个。于是可以下定义了
定义 2.1.3 (广义线性系统). 一个既具有零输入响应和零状态响应分解特性，又具有零输入线性和零状态线性的系统
2.1.4 两个经典的零状态响应
2.1.4.1 单位冲激响应
输入是 δ 函数的响应，即
h(t) = y
zs
(t) |
f(t)=δ(t)
(2.31)
2.1.4.2 单位阶跃响应
输入是阶跃函数的响应，即
s(t) = y
zs
(t) |
f(t)=u(t)
(2.32)
2.1.4.3 单位脉冲响应
是冲激响应的周期性离散形式
h[n] = y
zs
[n] |
f
[
n
]=
δ
[
n
]
(2.33)
25
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
2.1.4.4 单位阶跃响应
s[n] = y
zs
[n] |
f[n]=u[n]
(2.34)
16
之前说过，微分以及从负无穷开始的积分是时不变的，因此对与冲激 (脉冲) 以及阶跃 (单位阶跃序列) 产生的响应应该也满足
微积分的关系
推论 2.1.7.
h(t) =
d
dt
s(t)
s
(
t
) =
ˆ
t
−∞
h(τ)dτ
(2.35)
h[n] = s[n] − s[n − 1]
s[n] =
n
X
m=−∞
h(m)
(2.36)
2.2 框图
我们用就通过一道例题去讲如何由系统确定框图：请看下面的系统：
r
′′
(t) + a
1
r
′
(t) + a
0
r(t) = b
1
e
′
(t) + b
0
e(t) (2.37)
2.2.1 寻找元输入
根据前面微分方程的线性性质2.1，我们知道如果对这个系统单独输入 e(t) 或 e(t) 经过任何线性算子处理后的结果
17
，因此
如果输入是 e(t)，
18
经过该系统后的输出 x(t) 与此时的输入 e(t) 亦满足上面的微分方程的形式
e(t) = x
′′
(t) + a
1
x
′
(t) + a
0
x(t) (2.38)
2.2.2 元输入累加得原输出
该线性系统
19
满足线性性质, 即对于线性累加的输入有相应的线性累加的输出
e(t)
system
→ x(t)
⇒
n
X
i=1
λe
i
(t)
system
→
n
X
i=1
λx
i
(t)
⇒ b
1
e
′
(t) + b
0
e(t)
system
→ b
1
x
′
(t) + b
0
x(t) = r(t)
(2.39)
λ 可能是常数，也可以是微分算子或者积分算子, 因此现在我们已经有两个式子了, 我们将2.38写成元输出的形式，即
2.2.3 找到元输入、元输出以及原输出的关系
x
′′
(t) = e(t) − a
1
x
′
(t) − a
0
x(t)
r(t) = b
1
x
′
(t) + b
0
x(t)
(2.40)
16
不过这本书并没有给出函数图像，因此对离散的这两个还是不太好理解
17
对，我想说的就是微积分，线性算子不仅仅是加减乘除，微分算子与线性算子也属于线性算子
18
我们可以将其称为元输入 (我自己定义的概念罢了)
19
其证明见该章开头
26
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
2.2.4 绘制框图
于是就可以画出框图了，(这图中的十字交叉处是有交的) 标红的 x 函数部分是用来辅助理解的，在绘制时无需画出，通过
Σ
´ ´
e(t)
x
′′
(t) x
′
(t)
i(t)
Σ
b
1
b
0
−a
0
−a
1
x(t)
图 2.1: 线性系统的框图
我们上面的解释，就一目了然了。
2.2.5 最高阶导不为零的情况
这只是一个提醒点，上面的例题是对于二阶导的，但是从推导上看适用于于高阶导的所有线性系统，然而还有一个情况，最
高阶导系数不为 1 的情况，比如电路方程
LC
d
2
dt
2
i(t) + RC
d
dt
i(t) + i(t) = C
d
dt
e(t) (2.41)
有两种解决方案：
• 除过去，使得最高阶导的系数为 1
• 保留，但是会使得框图输入不再是 e(t)，而是带上了某一个系数，丑一点而已
切忌乱设元输入！因为微分方程的输入系数不能乱改！比例对了也不行！
2.3 卷积以及卷积和
事实上，在学完后面的系统函数后就会发现分析如此简单 (denition 4.2.3)，但是保留这部分相对繁琐的笔记对于初学者
是有意义的
2.3.1 两种奇异响应
如果说卷积所要做的事“求和”，那么研究这两种响应相当于是对卷积求和的元信号分析。
2.3.1.1 冲激响应
2.3.2 卷积的引入以及其物理意义
卷积是信号与系统中非常重要的工具，此处我们先对其进行一个引入
27
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
引理 2.3.1 (离散序列的分解). 任意一个离散时间序列都可以分解为单位脉冲序列的线性组合即
f[n] =
+∞
X
k=−∞
f[k]δ[n − k] (2.42)
根据 LTI 系统的是不变性与线性性，
20
推论 2.3.2 (f[n] 产生的激励). 任意一个离散的 f[n] 输入产生的激励 (输出) 为
+∞
X
k=−∞
f[k]h[n − k] 即
f[n] =
+∞
X
k=−∞
f[k]δ[n − k]
!
system
→
+∞
X
k=−∞
f[k]h[n − k] (2.43)
这个运算从物理上是叠加法的应用，而从数学式上是对 f[n] 脉冲响应的加权和，我们将其定义为离散信号的卷积和
定义 2.3.1 (离散信号的卷积和).
+∞
X
k=−∞
f[k]h[n − k]
△
= f[n] ∗ h[n] (2.44)
如果对离散进行无穷分割得到的结果就是连续，于是2.42就有了我们熟悉的卷积形式
f(t) =
ˆ
+∞
−∞
f(τ)δ(t − τ )dτ (2.45)
然后突然就恍然大悟了，这不就是抽样特性1.3.3吗！，于是真正的卷积运算在此：
定义 2.3.2 (连续的卷积). 类比离散可以定义
ˆ
+∞
−∞
f(τ)h(t − τ )dτ
∆
= f(t) ∗ h(t) (2.46)
虽然在复变我们首先接触到的是连续的卷积定义，但是实际上从人的理解来看是先有了离散才推出连续，
21
如此我们才真正知
道了卷积的物理意义：
定理 2.3.3 (LTI 的零状态响应). LTI 系统的零状态响应是激励信号 f(t) 与冲激响应 h(t) 的卷积
推论 2.3.4 (卷积的作用). 卷积是一种通过将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲击响应，从而求解系统对任意输入信
号的零状态响应的方法。
2.3.3 卷积的计算方法
2.3.3.1 解析法：针对因果信号
顾名思义，就是从定义式直接入手, 容易证得下面的几个结论，利用因果负半轴的零值性质，将卷积的无穷积分转化为有限
积分
22
20
有点像格林函数由 δ 函数构成的场源求得累加产生的场的思想
21
在我在课堂上看 [2] 时发现他是反着讲的，即先讲连续再讲离散，应该说这其实也是一个理解的思路——在读者已经对抽样特性非常熟悉的情况下，先连续
再离散化反而会更好理解
22
这里为了防止与取整符号歧义，一切括号都用小括号
28
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
定理 2.3.5 (连续同向因果序列的卷积).
(f
1
(t)u(t)) ∗ (f
2
(t)u(t)) = u(t)
ˆ
t
0
f
1
(t − τ)f
2
(τ)dτ (2.47)
定理 2.3.6 (离散同向因果序列的卷积).
(f
1
[n]u[n]) ∗ (f
2
[n]u[n]) = u[n]
n
X
m=0
f
1
[n − m]f
2
[m] (2.48)
定理 2.3.7 (连续反向因果卷积).
(f
1
(t)u(t)) ∗ (f
2
(t)u(−t)) = u(t)
ˆ
min{0,t}
∞
f
1
(t − τ)f
2
(τ)dτ (2.49)
定理 2.3.8 (离散反向因果卷积).
(f
1
[n]u[n]) ∗ (f
2
[n]u[−n]) =
+∞
X
m=−∞
f[m]f
2
[n − m] (2.50)
当其中一个函数是冲激函数或者是其有限的加权和时候，有更直观的推论
推论 2.3.9.
f(t) ∗
M
X
i=1
w
i
δ(t − t
i
) =
M
X
i=1
w
i
f(t − t
i
) (2.51)
2.3.3.2 图解法
对于有限长信号非常直观，实际上就是利用图形的翻转平移，此处从略。
2.3.3.3 对位相乘法
这是一种利用竖式来计算离散卷积和的方法，理论依据是2.3.24
推论 2.3.10 (对位相乘法). 对于两个函数 f
1
[n] =
k
2
X
i=k
1
δ[n −i] 以及 f
1
[n] =
K
2
X
i=K
1
δ[n −i] 假设其各个 δ 函数的组成的 (k
2
−k
1
)
位数以及 (K
2
− K
1
) 位数分别为 m
k
2
m
k
2
−1
···m
k
1
以及 m
K
2
m
K
2
−1
···m
K
1
, 两数相乘的结果是
k = m
max{k
2
,K
2
}
m
max{k
2
,K
2
}−1
···m
min{k
1
,K
1
}
(2.52)
那么
f
1
[n] ∗ f
2
[n] = m
max{k
2
,K
2
}
δ[n − max{k
2
, K
2
} − 1] + ··· + m
min{k
1
,K
1
}
δ[n − min{k
1
, K
1
}]
=
min{k
1
,K
1
}
X
max{k
2
,K
2
}
m
i
δ[n − i]
(2.53)
29
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
其中 m
i
是 k 从右往左数第 i 位数
这意味着可以用竖式乘法来做这种题
2.3.4 卷积的性质
2.3.4.1 时移性质
定理 2.3.11 (卷积的时移性质). 若 y(t) = f (t) ∗ g(t), 则
y(t − a − b) = f (t − a) ∗ g(t − b) (2.54)
代入卷积定义式易证，这表明卷积与延迟运算可交换，且卷积后的信号延迟量是参与卷积的个信号延迟量之和。
2.3.4.2 交换律 & 结合律 & 分配律
定理 2.3.12 (交换律).
f
1
(t) ∗ f
2
(t) = f
2
(t) ∗ f
1
(t) (2.55)
定理 2.3.13 (结合律).
f
1
(t) ∗ (f
2
(t) ∗ f
3
(t)) = (f
1
(t) ∗ f
2
(t)) ∗ f
3
(t) (2.56)
定理 2.3.14 (分配律).
f
1
(t) ∗ (f
21
(t) + f
22
(t)) = f
1
(t) ∗ f
21
(t) + f
1
(t) ∗ f
22
(t) (2.57)
这些性质在图像上隐喻了一种系统间的串并联关系:串联系统使用卷积级联，并联系统使用加法求和，我们可以用这些框图直观
h
1
(t)
h
M
(t)
···
∑
+
+
图 2.2: 并联 (加法)：
M
X
i=1
h
i
(t)
h
1
(t) h
M
(t)
···
图 2.3: 串联 (卷积)：h
1
(t) ∗ h
2
(t) ··· ∗ h
M
(t)
表示出上面的性质，比如分配律
h
1
(t)
h
2
(t)
……
P
+
+
f(t)
h
1
(t)
h
2
(t)
……
P
+
+
f(t)
f(t)
……
图 2.4: 分配律的图像表示
30
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
2.3.4.3 微积分性质
满足下面的性质的信号首先有一个前提条件：信号中不包含直流分量 (其实也就是意味着积分收敛！)
引理 2.3.15 (满足卷积微积分性质的前提条件). 信号微分后再积分需要与原信号一致，即
f(t) =
ˆ
t
−∞
f
′
(τ)dτ (2.58)
，意思就是不含直流分量，否则只要一含直流分量，其无穷积分肯定不收敛
定理 2.3.16 (微分性质).
d
dt
(f
1
(t) ∗ f
2
(t)) =
df
1
(t)
dt
∗ f
2
(t) = f
1
(t) ∗
df
2
(t)
dt
(2.59)
这表明卷积运算与微分运算也是可交换的
23
，从物理上理解，微分器本身也是一个 LTI 系统，因此其与卷积运算这个 LTI 系统
的级联次序是可交换的。
定理 2.3.17 (积分性质).
ˆ
t
−∞
(f
1
(τ) ∗ f
2
(τ))dτ =
ˆ
t
−∞
f
1
(τ)dτ
∗ f
2
(τ) = f
1
(τ) ∗
ˆ
t
−∞
f
2
(τ)dτ
(2.60)
一样的，
ˆ
t
−∞
也是一个 LTI 系统，因此也是可交换的，
上面两个定理如果从数学上证明都不难证。
进一步的，单次可扩展到高阶
推论 2.3.18 (高阶导数与多重积分运算规律). 如果 f(t) = f
1
(t) ∗ f
2
(t), 那么
f
(
n
)
(t) = f
(m)
1
(t) ∗ f
(n−m)
2
(t) (2.61)
其中 n 与 m 无限制，f
(k)
(t), k < 0 表示
ˆ
t
−∞
···
ˆ
t
−∞
| {z }
k重积分
f(τ) dτ
|{z}
k个
其中最常用的是 ±1 阶的情况
推论 2.3.19 (一阶多重卷积定理).
f
1
(t) ∗ f
2
(t) = f
′
1
(t) ∗
ˆ
t
−∞
f
2
(τ)dτ (2.62)
2.3.4.4 与 δ 函数 (冲激信号) 等信号的卷积
下面所说的虽然只是微积分性质的推论
24
，但是对于简化运算非常有用。
23
因为卷积运算本质上只是一个特殊的积分运算
24
以后还是叫 δ 函数为冲激信号吧
31
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
推论 2.3.20 (信号与冲激信号的卷积).
f(t) ∗ δ(t − t
0
) = f (t − t
0
) (2.63)
推论 2.3.21 (信号与阶跃信号的卷积). 由2.3.19得
f(t) ∗ u(t − t
0
) = f
(−1)
(t − t
0
) (2.64)
推论 2.3.22 (信号与冲激偶 (冲激函数的导数) 的卷积).
f(t) ∗ δ
′
(t − t
0
) = f
′
(t − t
0
) (2.65)
···
2.3.4.5 离散卷积和的性质
与连续的类似，有所区别的是微分运算可以分为前差分 ∇ 和后差分 ∆，分别对应可交换，但不可混淆,
定理 2.3.23 (差分与卷积的可交换). 若 y[n] = f
1
[n] ∗ f
2
[n]
∇y[n] = ∇f
1
[n] ∗ f
2
[n] = f
1
[n] ∗ ∇f
2
[n]
∆y[n] = ∆f
1
[n] ∗ f
2
[n] = f
1
[n] ∗ ∆f
2
[n]
(2.66)
另外的，有一个非常特殊的推论, 其是对位相乘法的理论依据
推论 2.3.24 (冲激函数间的卷积).
A
1
δ[n − k
1
] ∗ A
2
δ[n − k
2
] = A
1
A
2
δ[n − k
1
− k
2
] (2.67)
其他的卷积性质就从略了
2.3.5 扩展应用 *
2.3.5.1 解卷积
也就是已知响应求激励。显然的，无穷积分的逆运算闻所未闻，所以只有离散卷积和的解卷积方法，也就是所谓的数值方
法。
定理 2.3.25 (解卷积). 对于因果激励信号 f[n] 作用下的系统响应为 y[n] =
n
X
m=0
f[m]h[n − m], 可以写成卷积的形式
y(0)
y(1)
···
y(n)
=
h(0) 0 0 ··· 0
h(1) h(0) 0 ··· 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
h(n) h(n − 1) h(n − 2) ··· h(0)
f(0)
f(1)
···
f(n)
(2.68)
32
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
然后就可以通过矩阵运算公式进行逆推
f(0) =
y(0)
h(0)
f(1) =
y(1)−f(0)h(1)
h(0)
···
f(n) =
y[n] −
n−1
X
m=0
f[m]h[n − m]
h(0)
(2.69)
2.3.5.2 用算子符号来表示微分方程
也就是将积分微分当成算子来处理，
定义 2.3.3 (微积分算子). 定义
p =
d
dt
(2.70)
则
1
p
=
ˆ
t
−∞
(·)dτ (2.71)
2.4 LTI 系统的性质 (从卷积的角度看)
这部分将要用卷积的角度去看待我们之前提到过的记忆性、因果性……等1.5，书上 [1] 一页纸就带过了，但是我觉得有必要
给出证明才能理解
2.4.1 记忆性
定理 2.4.1 (无记忆系统的零状态响应). 如果系统无记忆 (任意时刻的响应仅取决于当前时刻的激励)，那么其零状态响应可
以描述为冲激响应或脉冲响应
h(t) = Aδ(t), 连续
h[n] = Aδ[n], 离散
(2.72)
其中 A 是非零常数
直接看这个定义笔者是有一点懵的，后面想到其实代入卷积表达式就可以证明了。
即根据定理2.3.3，对于输入 x(t), 输出 y(t) 满足
y(t) =
ˆ
+∞
−∞
x(τ)h(t − τ )dτ =
ˆ
+∞
−∞
x(τ)Aδ(t − τ )dτ = Ax(t) (2.73)
也就是说输出只有当前时刻的输入成正比，并不涉及之前时刻的输入，清晰的看出就是无记忆啦。
2.4.2 因果性
定理 2.4.2 (因果性系统的零状态响应). 如果系统有因果性 (响应不能再激励来临之前产生)，那么其零状态响应可以描述为
33
信号与系统笔记 第二章 线性时不变系统 (LTI) 的时域分析 Tsui Dik Sang
冲激响应或脉冲响应
h(t) = h(t)u(t), 连续
h[n] = h[n]u[n], 离散
(2.74)
同样用卷积式我们也可以证明
y(t) =
ˆ
+∞
−∞
x(τ)h(t − τ )dτ =
ˆ
t
−∞
x(τ)h(t − τ )dτ (2.75)
即只与 t 时刻之前信号与激励卷积积分有关，这就是因果性，之前说过，无记忆性 ∈ 因果性，因此无记忆系统的结论显然也满
足因果性的结论。
2.4.3 可逆性
定理 2.4.3 (可逆性的非零相应). 原系统与逆系统是级联系统，即
h(t) ∗ h
i
(t) = δ(t)
h[n] ∗ h
i
[n] = δ[n]
(2.76)
用
ˆ
+∞
−∞
x(τ)δ(t − τ )dτ = x(t) 即可证。
2.4.4 稳定性
有界输入对应有界输出，其 h(t) 的性质也容易看到的
定理 2.4.4 (稳定性的系统条件). 脉冲响应与冲激响应满足绝对可和 or 绝对可积
+∞
X
k=−∞
|h(t)| < +∞
ˆ
+∞
−∞
|h(τ)|dτ < +∞
(2.77)
34
第三章
Fourier
变换
这一章节在数学上有大量与复变积分变换重复的地方，因此我们下面会省略大量与数学上学过的部分但是对于一些信号还是
给出了很多不同视角的看法，这是这里笔记的重点
3.1 周期信号的 Fourier 级数
3.1.1 Fourier 分解
为了反应从直观到抽象的过程，我们还是先从三角表示的 Fourier 开始
3.1.1.1 三角函数形式的 Fourier
基本与高数下的 Fourier 一致。
定义 3.1.1 (周期函数 Fourier 分解的三角形式).
f(t) = a
0
+
∞
X
n=1
[a
n
cos nω
1
t + b
n
sin nω
1
t] (3.1)
其中 a
0
称为直流分量，a
n
, b
n
分别就是余弦分量和正弦分量了。
当然，也可以合并同频率项写成仅含有 sin 或者 cos 的形式
推论 3.1.1 (相移形式).
f(t) = c
0
+
∞
X
n=1
c
n
cos(nω
1
t + φ
n
) (3.2)
或者写成
f(t) = d
0
+
∞
X
n=1
d
n
sin(nω
1
t + θ
n
) (3.3)
根据能量守恒得到的数学形式就是帕萨瓦定理
定理 3.1.2 (帕萨瓦定理).
1
T
ˆ
T
0
|f(t)|
2
dt =
1
2
a
2
0
+
∞
X
n=1
1
2
a
2
n
+
1
2
b
2
n
(3.4)
3.1.1.2
指数形式的
Fourier
需要明确指出！复数的周期是不存在的，引入复数的根本原因只是让其数学上更加简单
35
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
定义 3.1.2 (周期函数 Fourier 分解的复数形式).
f(t) =
+∞
X
n=−∞
F (nω
1
)e
jnω
1
t
(3.5)
其中 F (nω
1
) =
1
T
ˆ
T
0
f(t)e
−jnω
1
t
dt，c
n
称为 Fourier 系数
其中一些项的定义如下
推论 3.1.3 (Fourier 系数的定义).
c
n
2
=
p
a
2
n
+ b
2
n
2
= |F (nω)| = |F (−nω)| =
1
2
a
n
− j
1
2
b
n
(3.6)
3.1.2 函数对称性与 Fourier 系数的关系
3.1.2.1 偶函数
很简单，就是分解中不含 sin 项，b
n
= 0。同时又一系列结论
定理 3.1.4.
c
n
= d
n
= a
n
= 2F
n
F
n
= F
−n
=
1
2
a
n
φ
n
= 0
θ
n
=
π
2
(3.7)
3.1.2.2 奇函数
同样的，分解中不含 cos 项，a
n
= 0. 同时又一系列结论
定理 3.1.5.
c
n
= d
n
= b
n
= 2jF
n
F
n
= −F
−n
=
1
2
jb
n
φ
n
= −
π
2
θ
n
= 0
(3.8)
如果加上直流分量，虽然不再是奇函数，但是仍然只含有正弦项，
3.1.2.3 奇谐函数
下面将一个特殊的奇函数：奇谐函数
36
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
定义 3.1.3 (奇谐函数).
f(t) = f
t ±
T
1
2
(3.9)
推论 3.1.6 (奇谐函数的 Fourier 系数). 无论是正弦余弦都没有偶数分量
a
n
=
4
T
1
ˆ
T
1
2
0
f(t) cos(nω
1
t)dt, b
n
=
4
T
1
ˆ
T
1
2
0
f(t) sin(nω
1
t)dt, n = 1, 3, 5, ··· (3.10)
这个结论的证明要代入原始表达式
1
当然也有偶谐函数
2
，定义为
定义 3.1.4 (偶谐函数).
f(t) = f
t ±
T
1
2
(3.12)
3.1.3 典型的周期信号的 Fourier 级数
3.1.3.1 周期矩形脉冲信号
形式为
f(t) = E
h
u
t +
τ
2
− u
t −
τ
2
i
(3.13)
展开成三角形式：
f(t) =
Eτ
T
1
+
2Eτ
T
1
∞
X
n=1
Sa
nπτ
T
1
cos(nω
1
t) (3.14)
其中 T
1
=
2π
ω
1
3.1.3.2
周期锯齿波信号
f(t) =
E
T
1
t, t ∈ [−
T
1
2
,
T
1
2
] (3.15)
1
2
T
1
ˆ
T
1
2
−
T
1
2
f(t) cos(nω
1
t)dt
=
2
T
1
ˆ
0
−
T
1
2
f(t) cos(nω
1
t)dt +
2
T
1
ˆ
T
1
2
0
f(t) cos(nω
1
t)dt
=
2
T
1
ˆ
T
1
2
0
f(t −
T
1
2
) cos(nω
1
(t −
T
1
2
))dt +
2
T
1
ˆ
T
1
2
0
f(t) cos(nω
1
t)dt
= −
2
T
1
ˆ
T
1
2
0
f(t) cos(nω
1
(t −
T
1
2
))dt +
2
T
1
ˆ
T
1
2
0
f(t) cos(nω
1
t)dt
=
2
T
1
ˆ
T
1
2
0
f(t)
cos(nω
1
t) − cos(nω
1
(t −
T
1
2
))
dt
=
2
T
1
ˆ
T
1
2
0
f(t) (cos(nω
1
t) − cos(nω
1
t − nπ)) dt
(3.11)
上面最后一步用到了一个潜在的结论：ω
1
=
2π
T
1
，最后分奇偶分析即可
2
其实一开始我想当然认为偶写函数不含奇次谐波，形式也就是 2ω
1
, 4ω
1
, · · · , 2kω
1
，但是貌似没有除了一些 csdn 之外没有找到任何出处，并且书上也也没
有提及，后面回归基波定义，认为在偶写函数中可以将 ω
2
= 2ω
1
定义为一个新的基波，那么也就没有什么偶谐函数只含有偶次谐波的说法了，
37
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
推论 3.1.7 (周期锯齿波信号的 Fourier 级数).
f(t) =
E
π
∞
X
n=1
(−1)
n+1
n
sin(nω
1
t) (3.16)
3.1.3.3 周期三角脉冲信号
函数表达式有点抽象，那就描述图像，是以 y 轴对称的三角形，然后一路延拓
推论 3.1.8 (周期三角脉冲信号的 Fourier 级数).
f(t) =
E
2
+
4E
π
2
∞
X
n=1
1
n
2
sin
2
nπ
2
cos nω
1
t (3.17)
3.2 Fourier 变换
现在我们扩展到非周期信号
定义 3.2.1 (Fourier 变换).
F (ω) =
ˆ
+∞
−∞
f(t)e
−jωt
dt (3.18)
推论 3.2.1 (Fourier 变换式的积分推论).
F (0) =
ˆ
+∞
−∞
f(t)dt (3.19)
3.2.1 典型非周期信号的 Fourier 变换
3.2.1.1 单边指数信号
f(t) =
e
−αt
, t > 0
0, t ⩽ 0
(3.20)
推论 3.2.2 (单边指数信号的 Fourier 变换).
F (ω) =
1
α + jω
(3.21)
|F (ω)| =
1
√
a
2
+ω
2
φ(ω) = −arctan
ω
a
(3.22)
3.2.1.2 双边指数信号
f(t) = e
−1|t|
, a > 0 (3.23)
38
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
推论 3.2.3 (双边指数信号的 Fourier 变换).
F (ω) =
2a
a
2
+ ω
2
(3.24)
|F (ω)| =
2a
a
2
+ω
2
φ(ω) = 0
(3.25)
3.2.1.3 矩形脉冲信号
与前面周期性矩形脉冲信号类似，只是只有一段了
f(t) = E
h
u
t +
τ
2
− u
t −
τ
2
i
(3.26)
套公式3.2.1，得到
推论 3.2.4 (矩形脉冲信号的 Fourier 变换).
F (ω) = EτSa
ωτ
2
(3.27)
所以幅度谱和相位谱如下
推论 3.2.5 (矩形脉冲信号的幅度谱和相位谱).
|F (ω)| = EτSa
ωτ
2
φ(ω) =
0,
4nπ
τ
< |ω| <
2(2n + 1)π
τ
π,
2(2n + 1)π
τ
< |ω| <
4(n + 1)π
τ
(3.28)
3.2.1.4 钟形脉冲信号
f(t) = Ee
−
(
t
τ
)
2
(3.29)
推论 3.2.6 (钟形脉冲信号的 Fourier 变换).
F (ω) = Eτ
√
πe
−
(
ωτ
2
)
2
(3.30)
3.2.1.5 符号函数 sgn
定义 3.2.2 (符号函数 sgn).
sgn(t) =
1, t > 0
0, t = 0
−1, t < 0
(3.31)
39
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
这不是一个绝对可积的函数, 但是存在 Fourier 变换，我们借助双边指数衰减函数与 sgn 的乘积函数
3
来推导
引理 3.2.7 (双边指数衰减函数与 sgn 的乘积函数的 Fourier 变换).
F
1
(ω) =
2α
α
2
+ ω
2
(3.33)
推论 3.2.8 (符号函数 sgn 的 Fourier 变换).
F (ω) = lim
α→0
F
1
(ω) =
2
jω
(3.34)
3.2.1.6 升余弦脉冲信号
f(t) =
E
2
1 + cos
πt
τ
, (0 ⩽ |t| ⩽ τ ) (3.35)
推论 3.2.9 (升余弦脉冲信号的 Fourier 变换).
F (ω) =
ESa(ωτ )
1 −
ωτ
π
2
(3.36)
3.2.2 冲激函数以及阶跃函数的 Fourier 变换
复变的时候学得已经够多了
引理 3.2.10 (冲激函数的 Fourier 变换).
F (ω) = 1 (3.37)
称为白色谱
直接套公式去证明这个公式很容易，但是我们也可以从
δ
函数的极限形式去理解，即去矩形脉冲信号的极限来逼近，
推论 3.2.11 (阶跃函数的 Fourier 变换).
F (ω) = πδ(ω) +
1
jω
(3.38)
这个结论可以分解 u(t) 得到
u(t) =
1
2
+
1
2
sgn(t) (3.39)
3
即
f(t) =
αe
−αt
, t > 0
0, t = 0
−αe
αt
, t < 0
(3.32)
40
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
3.3 Fourier 变换的性质
给一个引理
引理 3.3.1 (反三角与对数的关系).
−j arctan ω =
1
2
ln
1 − jω
1 + jω
(3.40)
推导方法是利用幅角
3.3.1 已经被复变玩烂了的性质
3.3.1.1 线性性质
引理 3.3.2 (线性性质).
F {af(t) + bg(t)} = aF {f (t)} + bF {g(t)}
F {af[n] + bg[n]} = aF {f [n]} + bF {g[n]}
(3.41)
当然，如果用得好对于某些题，可以加速求解进度
−2 −1 1 2
1
2
t
f(t)
求上图所示阶梯函数的 Fourier 变换
如果直接求解能做，不过如果能看到这个图像是两个矩形窗图像的叠加，那结果就能直接出来了
F (ω) = 4Sa(2ω) + 2Sa(ω) (3.42)
3.3.1.2 奇偶的对称性
引理 3.3.3 (奇偶的对称性).
f(t) = f (−t) ⇒ F (ω) = F (−ω)
f(t) = f
∗
(−t) ⇒ F (ω) = F
∗
(−ω)
(3.43)
3.3.1.3 尺度变换性质
引理 3.3.4 (尺度变换性质).
F [f(at)] =
1
|a|
F
ω
a
(3.44)
41
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
3.3.1.4 时移性质
引理 3.3.5 (时移性质).
F [f(t − t
0
)] = e
−jωt
0
F (ω) (3.45)
3.3.1.5 频移性质
引理 3.3.6 (频移性质).
F [f(t)e
jω
0
t
] = F (ω − ω
0
) (3.46)
3.3.1.6 微分性质
引理 3.3.7 (微分性质).
F [f
′
(t)] = jωF (ω) (3.47)
下面给一道例题，
4
求傅里叶变换
f(t) = E sin(ω
1
t)
u(t) − u
t −
T
1
2
, T
1
=
2π
ω
1
(3.48)
解：
f
′
(t) = Eω
1
cos(ω
1
t)
u(t) − u
t −
T
1
2
− E sin(ω
1
t)
δ(t) − δ
t −
T
1
2
= Eω
1
cos(ω
1
t)
u(t) − u
t −
T
1
2
(3.49)
f
′′
(t) = Eω
2
1
sin(ω
1
t)
u(t) − u
t −
T
1
2
− Eω
1
cos(ω
1
t)
δ(t) − δ
t −
T
1
2
= Eω
2
1
sin(ω
1
t)
u(t) − u
t −
T
1
2
+ Eω
1
δ(t) − δ
t −
T
1
2
(3.50)
eq. (3.49) · ω
2
1
+ eq. (3.50) ⇒ ω
2
1
f(t) + f
′′
(t) = Eω
1
δ(t) − δ
t −
T
1
2
(3.51)
用 Fourier 变换两边即变为线性方程，求解即可, 最终得
F (ω) =
Eω
ω
2
1
− ω
2
1 + e
−jπ
ω
ω
1
(3.52)
这题的巧妙之处在于认识到 δ 函数在求导后如果没有“对齐”反而会简化式子，当然，这题的技巧性太强了！
3.3.1.7 积分性质
引理 3.3.8 (积分性质).
F
ˆ
t
−∞
f(τ)dτ
=
1
jω
F (ω) (3.53)
4
实际上这个例题并没有利用这个性质，不过用到了微分方程，并且我也实在不知道要将其归类到什么性质了，直接做能做，但是会很烦。
42
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
3.3.1.8 卷积性质
引理 3.3.9 (卷积性质).
F [f(t) ∗ g(t)] = F (ω)G(ω) (3.54)
其中 f(t) ∗ g(t) =
´
+∞
−∞
f(τ)g(t − τ )dτ ，称为卷积
3.3.2 变换对称性
定理 3.3.10 (变换对称性).
F (ω) = F [f (t)] ⇒ F [F (t)] = 2πf(−ω) (3.55)
3.3.3 奇偶虚实性
3.3.3.1 f(t) 是实偶函数
定理 3.3.11. 若 f(t) 是实偶函，则 F (ω) 是 ω 的实偶函数
3.3.3.2 f(t) 是实奇函数
定理 3.3.12. 若 f(t) 是实奇函，则 F (ω) 是 ω 的虚奇函数
3.3.3.3 通用的性质
定理 3.3.13.
F [f(−t)] = F (−ω)
F [f
∗
(−t)] = F
∗
(−ω)
F [f
∗
(−t)] = F
∗
(ω)
(3.56)
这里插播一条复习 ppt 上的题，巧妙利用了性质在不进行大计算的情况下算出了一些值
43
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
t
f(t)
−1 0 1 2 3
0
1
2
如图所示的信号 f(t)，设其傅里叶变换式为
F [d(t)] = F (ω) = |F (ω)|e
jφ(ω)
(3.57)
求
• φ(ω)
• F (0)
•
ˆ
+∞
−∞
F (ω)dω
解：这题无需硬算！先看一个平移的图
t
f(t)
−10 1 2 3
0
1
2
，显然 f(t + 1) 是一个实偶函数，则由 theorem 3.3.11F [f (t + 1)] 应
该也一个实偶函数，则 φ
t+1
(ω) = 0，因此有时移性质可得
φ(ω) = φ
t+1
(ω − 1) + (−ω) (3.58)
进一步的
F (0) = F [f (t)] = F [f (t + 1)]e
jφ
t+1
(0)
=
ˆ
+∞
−∞
f(t + 1)dt = 4 (3.59)
而第三问直接用一个反 Fourier 变换的定义也可以做出来了，结果是 2π
3.4 周期信号的 Fourier 变换
显然的，直接代入公式去算是可以出结果的，在广义的 Fourier 变换
5
情况下傅里叶变换都可算出。不过我们这一章的目的当
然不是硬算，而是想要找出一些周期信号 Fourier 系数独有的规律。
3.4.1 正余弦信号的 Fourier 变换
3.4.1.1 经典无限正余弦信号
定理
3.4.1 (
正余弦信号的
Fourier
变换
).
F [cos(ω
0
t)] =
1
2
[δ(ω − ω
0
) + δ(ω + ω
0
)] (3.60)
5
也就是包含了冲激信号等的 Fourier 变换
44
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
F [sin(ω
0
t)] =
1
2j
[δ(ω − ω
0
) − δ(ω + ω
0
)] (3.61)
3.4.1.2 有限正余弦信号
可以将其理解为矩形脉冲信号 G(t) 与正余弦信号的乘积，比如有限余弦信号
f
0
(t) = G(t) cos ω
0
t (3.62)
而
G(ω) = F [G(t)] = τ Sa
ωτ
2
(3.63)
于是我们就可以得到
6
推论 3.4.2 (有限正余弦信号的 Fourier 变换).
F
0
(ω) =
1
2
[G(ω − ω
0
) + G(ω + ω
0
)] =
τ
2
Sa
(ω − ω
0
)τ
2
+ Sa
(ω + ω
0
)τ
2
(3.64)
对有限取一个极限也可以验证无限正余弦信号的 Fourier 变换的正确性。
3.4.2 一般周期信号的 Fourier 变换
3.4.2.1 Fourier 系数形式的表示
定理 3.4.3 (一般周期信号的 Fourier 变换).
F (ω) = 2π
+∞
X
n=−∞
F
n
δ(ω − nω
1
) (3.65)
其中 F
n
= F [f (t)]，ω
1
=
2π
T
1
，F
n
为前面讲 Fourier 级数时候出现过的 Fourier 系数，即
F
n
=
1
T
ˆ
T
1
2
−
T
1
2
f(t)e
−jnω
1
t
dt (3.66)
3.4.2.2 单脉冲形式的表示
截取周期函数的一个周期作为一个有限信号 f(t)，其 Fourier 变换为
F
0
(ω) =
ˆ
T
1
2
−
T
1
2
f(t)e
−jωt
dt (3.67)
与式3.66比较可以得到
推论 3.4.4 (单脉冲形式的表示的周期函数的 Fourier 变换).
F
n
=
1
T
1
F
0
(ω)
ω=nω
1
(3.68)
6
因为三角函数可以表示为指数函数的线性叠加，因此由频移性质可以得下面的等式
45
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
3.4.2.3 冲激抽样函数的 Fourier 变换
下面看一下
δ
T
(t) =
+∞
X
n=−∞
δ(t − nT
1
) (3.69)
的 Fourier 变换首先写成 Fourier 级数的形式，不然
δ
T
(t) =
+∞
X
n=−∞
F
n
e
jnω
1
t
(3.70)
不难算得
F
n
=
1
T
1
, n ∈ Z (3.71)
代入 eq. (3.65) 得到
推论
3.4.5 (
冲激抽样函数的
Fourier
变换
).
F (ω) =
2π
T
1
+∞
X
n=−∞
δ(ω − nω
1
) = ω
1
+∞
X
n=−∞
δ(ω − nω
1
) (3.72)
3.5 抽样信号
抽样 量化编码
连续信号
抽样信号
数字信号
抽样脉冲
f(t) f
s
(t)
p(t)
定义 3.5.1 (抽样过程). 通过抽样脉冲序列 p(t) 从连续的信号抽取出离散值。
不过在这一节中我们只研究抽样前后的频谱以及信号之间的关系。
3.5.1 时域抽样
也就是对时间函数 f(t) 进行抽样，记
被抽样函数 F (ω) = F [f (t)]
抽样脉冲序列： P (ω) = F [p(t)]
抽样后函数： F
s
(ω) = F [f
s
(t)]
(3.73)
抽样过程为
定义 3.5.2 (时域抽样).
f
s
(t) = f (t)p(t) (3.74)
46
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
我们的目标是研究一下 F
s
(ω) 与 P (ω), F (ω) 之间的关系，由于 p(t) 是周期信号，因此其 Fourier 变换一定可以写成
7
P (ω) = 2π
∞
X
n=−∞
P
n
δ(ω − nω
s
) (3.75)
可以看到有 δ 函数，如果用好用来卷积将会将会非常爽, 所以对3.74两边都进行 Fourier 变换, 再利用频域卷积定理，得
F
s
(ω) = F [f (t)p(t)] =
1
2π
F (ω) ∗ P (ω) =
∞
X
n=−∞
P
n
F (ω − nω
s
) (3.76)
这个式子有非常明显的几何意义：
推论 3.5.1 (时域抽样后频谱的变化).
F
s
(ω) =
∞
X
n=−∞
P
n
F (ω − nω
s
) (3.77)
即是对原频谱进行了频移加权叠加处理，权值为抽样序列的 Fourier 系数 P
n
推论 3.5.2 (形状不变性). 由于 P
n
与 ω 无关，因此 F (ω) 重复过程中形状不会发生变化
下面根据抽样脉冲序列的不同列出几种抽样方法
3.5.1.1 矩形脉冲抽样
即 p(t) 是幅度为 E, 宽度为 τ 的矩形脉冲序列，
p(t) =
+∞
X
k=−∞
E[u(t − kτ ) − u(t − (k + 1)τ )] (3.78)
经过计算
8
推论 3.5.3 (矩形脉冲抽样的 Fourier 变换).
F
s
(ω) =
Eτ
T
s
+∞
X
n=−∞
Sa
nπτ
T
s
F (ω − nω
s
) (3.80)
此时抽样后频谱的包络线就是抽样函数——即单矩形脉冲信号的 Fourier 变换频谱 (看书本 P157 的图 3-50，会很清楚的)
3.5.1.2 冲激抽样
这是很有用的抽样，由于冲激函数的 Fourier 变换是白色频谱，于是对原信号抽样之后的频谱是原频谱的严格平移叠加 (形
象的请看书本图 3-51),
p(t) =
+∞
X
k=−∞
δ(t − kT
s
) (3.81)
7
P
n
的定义见前面
8
P
n
=
1
T
s
ˆ
T
s
2
−
T
s
2
p(t)e
−jnω
s
t
dt
=
1
T
s
ˆ
τ
2
−
τ
2
Ee
−jnω
s
t
dt
=
Eτ
T
s
Sa
nπτ
T
s
(3.79)
然后代入式3.77
47
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
可以推出 P
n
9
于是
推论 3.5.4 (冲激抽样的 Fourier 变换).
F
s
(ω) =
1
T
s
+∞
X
n=−∞
F (ω − nω
s
) (3.83)
3.5.2 频域抽样
即使用冲激脉冲序列去对信号的频谱进行抽样，看抽样后逆变换回去的信号与原信号的的关系。
定义 3.5.3 (频域抽样).
F
1
(ω) = F (ω)δ
ω
(ω) (3.84)
其中
δ
ω
(ω) =
+∞
X
n=−∞
δ(ω − nω
s
) (3.85)
由周期信号的 Fourier 变换的定义3.65可知，
F [
∞
X
n=−∞
δ(t − nT
1
)] = ω
1
+∞
X
n=−∞
δ(t − nω
1
) (3.86)
其中 ω
1
=
2π
T
1
，所以再结合对偶性质可知
F
−1
[δ
ω
(ω)] =
1
ω
1
+∞
X
n=−∞
δ(t − nT
1
) (3.87)
然后由时域卷积定理：频域的相乘对应于时域的卷积，就可以得到频率抽样的结果
定理 3.5.5 (频域抽样).
f
1
(t) = f (t) ∗
1
ω
1
+∞
X
n=−∞
δ(t − nT
1
) =
1
ω
1
+∞
X
n=−∞
f(t − nT
1
) (3.88)
3.5.3 抽样定理
3.5.3.1 不失真的条件：Nyquist 频率
首先需要知道在什么情况下会出现失真。看书本 p163 的图 3-54，如果采样后频谱出现了混叠的部分，则在逆变换的时候对
于混叠的部分实际上是模糊的，无法确定其具体的函数值，因此无法还原，也就出现了失真。
另一方面的，原始信号的 Fourier 变换的频谱函数首先要是一个有限函数，否则无限信号的平移加权叠加无论如何都会混叠，
即失真。
因此我们就可以归纳出不失真的条件，即时域抽样定理
9
P
n
=
1
T
s
(3.82)
48
信号与系统笔记 第三章 FOURIER 变换 Tsui Dik Sang
定理 3.5.6 (时域抽样定理). 一个信号 f(t) 能够用等间隔的抽样值唯一的表示出来当且仅当
• 自身限制：该信号的频谱是受限的，即 ∃ω
m
使得其频谱只占据 −ω
m
∼ +ω
m
• 抽样间隔的限制：抽样间隔必须不大于
1
2f
m
，即最低抽样频率为 2f
m
把这个结论归成一个新概念
定义 3.5.4 (Nyquist 频率 & 间隔). 把最低允许的抽样率 f
s
= 2f
m
称为 Nyquist 频率，对应时间的话是最大抽样间隔
T
s
=
1
2f
m
，称为
Nyquist
间隔。
3.5.3.2 信号的还原：理想低通滤波器
假设信号的提取是不失真的，得到了 F
s
(ω)，现在需要重新还原出 f(t)，即需要从 F
s
(ω) 还原出 F (ω)，易知需要通过一个
滤波器，即
10
F (ω) = F
s
(ω)H(ω) (3.90)
其中滤波器
H(ω) =
T
s
, |ω| < ω
m
0, |ω| > ω
m
(3.91)
3.5.3.3 频域抽样定理
反过来了，时域是频域受限
定理 3.5.7 (频域抽样定理). 对一个信号的频谱 F (ω) 抽样后可以唯一的表示原信号当且仅当
• 自身限制：该信号的时间受限 (有限信号)，即 ∃T
m
使得其时间只占据 −T
m
∼ +T
m
• 抽样间隔的限制：抽样的脉冲频率间隔 (即周期) 必须不大于
1
2t
m
，即最低抽样频率为 2t
m
10
回顾一下之前的内容，频域上的乘积对应于时域上的卷积，所以从时域上这个滤波器满足的形式为
f(t) = f
s
(t) ∗ h(t ) (3.89)
49
第四章 Laplace 变换: 连续时间系统的 s 域分析
4.1 数学过程
大部分都是复变的知识，这里快速梳理，从而更快到达应用层
4.1.1
存在性
4.1.1.1 定义
定义 4.1.1 (Laplace 变换).
F (s) =
ˆ
∞
0
f(t)e
−st
dt (4.1)
其中 s = σ + jω，σ 为实部，ω 为虚部
定义 4.1.2 (逆 Laplace 变换).
f(t) =
1
2πj
ˆ
σ+j∞
σ−j∞
F (s)e
st
ds (4.2)
其中 σ 为实部，ω 为虚部
4.1.1.2 收敛域
一定要知道，Laplace 只是引入了一个实指数 (衰减因子 σ) 来尝试让原函数的复合式子变得可积，σ 给多少能收敛就决定了
Laplace 的收敛域
定义 4.1.3 (收敛坐标 σ
0
). 如果 σ
0
满足
• σ > σ
0
, lim
t→∞
f(t)e
−σt
= 0
• σ < σ
0
, lim
t→∞
f(t)e
−σt
为无穷或者常数，反正不为零
则称 σ
0
为收敛坐标
不难得出
lim
t→∞
te
−σt
= 0, σ > 0
lim
t→∞
t
n
e
−σt
= 0, σ > 0, n = 0, 1, 2, ···
lim
t→∞
e
at
e
−σt
= 0, σ > a
(4.3)
且
∄σ
0
, σ
0
∈ R, lim
t→∞
f(t)e
−σt
= 0 (4.4)
50
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
其中 f(t) 是比指数函数增长快的函数
1
，
4.1.1.3 常用的 Laplace 变换
时域函数 f(t) s 域函数 F (s)
δ(t) 1
δ
′
(t) s
u(t)
1
s
e
−at
1
s+a
t
n
n
!
s
n+1
sin ωt
ω
s
2
+ω
2
cos ωt
s
s
2
+ω
2
e
−at
sin ωt
ω
(s+a)
2
+ω
2
e
−at
cos ωt
s+a
(s+a)
2
+ω
2
te
−at
1
(s+a)
2
t
n
e
−at
n!
(s+a)
n+1
t sin ωt
2ω
(s
2
+ω
2
)
2
t cos ωt
s
2
−ω
2
(s
2
+ω
2
)
2
sinhωt
ω
s
2
−ω
2
coshωt
s
s
2
−ω
2
表 4.1: 常用 Laplace 变换（第 3 页）
4.1.2 性质
4.1.2.1 线性性质
定理 4.1.1 (线性性质).
L [K
1
f
1
(t) + K
2
f
2
(t)] = K
1
L [f
1
(t)] + K
2
L [f
2
(t)] (4.5)
4.1.2.2 时移性质
定理 4.1.2 (时移性质).
L [f(t − t
0
)u(t − t
0
)] = e
−st
0
F (s) (4.6)
注意，里面的阶跃函数尤为重要！对于理解这个性质的起始位置
4.1.2.3 s 域频移性质
定理 4.1.3 (s 域频移性质).
L [f(t)e
at
] = F (s − a) (4.7)
1
即 lim
t→∞
e
at
f
(
t
)
= 0
51
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
4.1.2.4 对 t 的微分性质
定理 4.1.4 (对 t 的微分性质).
L [f
′
(t)] = sF (s) − f (0) (4.8)
定理 4.1.5 (对 t 的积分性质:n 阶).
L [f
(n)
(t)] = s
n
F (s) −
n−1
X
k=0
f
(k)
(0)s
n−1−k
(4.9)
4.1.2.5 对 t 的积分性质
定理 4.1.6 (对 t 的积分性质).
L [
ˆ
t
−∞
f(t)dt] =
1
s
F (s) +
f
(−1)
(0
−
)
s
(4.10)
这意味着将会给右边一个
1
s
的项，所以来看一道经典例题
求 L
−1
[
1
(s
2
+ 3)
2
]
解：
a
L
−1
s
(s
2
+ 3)
2
=
1
2
√
3
sin(
√
3t) (4.11)
⇒L
1
(s
2
+ 3)
2
=
ˆ
t
0
1
2
√
3
τ sin(
√
3τ)dτ
=
√
3
18
sin(
√
3t) −
t
6
cos(
√
3t) (t ⩾ 0)
(4.12)
a
这题第一想法是分解分式，但是发现已经是最简了。实际上，这题需要配凑
4.1.2.6 对 s 的微分性质
定理 4.1.7 (对 s 的微分性质).
L [−tf(t)] =
d
ds
F (s) (4.13)
4.1.2.7 对 s 的积分性质
定理 4.1.8 (对 s 的积分性质).
L
f(t)
t
=
ˆ
∞
s
F (s)ds (4.14)
4.1.2.8 尺度变换性质
52
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
定理 4.1.9 (尺度变换性质).
L [f(at)] =
1
a
F
s
a
(4.15)
4.1.2.9 初值 & 终值性质
推论 4.1.10 (初值性质).
lim
t→0
f(t) = lim
s→∞
sF (s) (4.16)
推论 4.1.11 (终值性质).
lim
t→∞
f(t) = lim
s→0
sF (s) (4.17)
4.1.2.10 卷积性质
定理 4.1.12 (时域的卷积).
L [f
1
(t) ∗ f
2
(t)] = L
ˆ
t
0
f
1
(τ)f
2
(t − τ)dτ
= F
1
(s)F
2
(s) (4.18)
定理 4.1.13 (频域的卷积).
L [f
1
(t)f
2
(t)] =
1
2πj
[F
1
(s) ∗ F
2
(s)] =
1
2πj
ˆ
σ+j∞
σ−j∞
F
1
(ω)F
2
(s − ω)dω (4.19)
4.1.3 逆变换的方法
4.1.3.1 部分分式法
当然，这种方法仅限于有理分式
定义 4.1.4 (有理分式).
F (s) =
A(s)
B(s)
=
a
0
+ a
1
s + ··· + a
n
s
n
b
0
+ b
1
s + ··· + b
m
s
m
(4.20)
其中 B(s) 可以写成因式形式
B(s) = b
n
m
Y
k=1
(s − s
k
)
n
k
(4.21)
然后就要对分式分解成线性简单形式，我觉得书上 [2] 提供了一种很有意思的思路，复变书上没有讲过：
定理 4.1.14 (有理式的分解). 对于有理式
F (s) =
A(s)
m
Y
k=1
(s − s
k
)
n
k
(4.22)
53
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
可以分解为
F (s) =
m
X
k=1
A
k
s − s
k
+
m
X
k=1
n
k
X
j=2
A
kj
(s − s
k
)
j
(4.23)
这里我直接一步给了包含重根的分解公式，如果 n
k
= 0, k = 1, 2, ··· , m, 那么第二项为零。
如何确定系数呢？我们看看一阶情况
2
的某个点 s
k
，用其因式去相乘之后另其为零，或直接表示成极限的形式
lim
s→s
k
F (s)(s − s
k
) = lim
s→s
k
A
k
+
A
1
s − s
1
+ ··· +
A
k−1
s − s
k−1
+
A
k+1
s − s
k+1
+ ··· +
A
m
s − s
m
= A
k
(4.24)
于是
推论 4.1.15 (一阶极点的分解系数).
A
k
= lim
s→s
k
F (s)(s − s
k
) (4.25)
如果求极限的式子在 s
k
处有定义，则可以直接取值也行
对于重极点的情况，复杂一点，但思路仍然类似，下面不再用
lim
s→s
k
F (s)(s − s
k
)
n
k
= lim
s→s
k
A
k1
(s − s
k
)
n
k
−1
+ A
k2
(s − s
k
)
n
k
−2
+ ··· + A
kn
k
+ D(s)
= A
kn
k
(4.26)
两边求一次导
lim
s→s
k
d
ds
F (s)(s−s
k
)
n
k
= lim
s→s
k
n
k
F (s)(s−s
k
)
n
k
−1
= lim
s→s
k
A
k1
(n
k
− 1)(s − s
k
)
n
k
−2
+ A
k2
(n
k
− 2)(s − s
k
)
n
k
−3
+ ··· + A
k(n
k
−1)
+ D
′
(s)
= A
k(n
k
−1)
(4.27)
如此类推
推论 4.1.16 (重极点的分解系数).
A
kj
=
1
(n
k
− j)!
lim
s→s
k
d
n
k
−j
ds
n
k
−j
F (s)(s − s
k
)
n
k
(4.28)
同样的，如果有定义，重根也可直接取等
有了上面的分解因数法，之后就完全不用再傻傻待定系数了，再次用复习 ppt 上的例题做证
求下面函数的逆变换
F (s) =
10(s + 2)(s + 5)
s(s + 1)(s + 3)
(4.29)
显然是先展开成分式
F (s) =
K
1
s
+
K
2
s + 1
+
K
3
s + 3
(4.30)
然后呢？如果在之前，是用待定系数解方程，但是在学完前面的知识后，有更方便的结论!
K
1
= sF (s)
s=0
=
100
3
K
2
= sF (s)
s=−1
= −20
K
3
= sF (s)
s=−3
= −
10
3
(4.31)
于是
F (s) =
100/3
s
+
−20
s + 1
+
−10/3
s + 3
(4.32)
剩下就直接出了
⇒ f(t) =
100
3
+ −20e
−t
−
10
3
e
−3t
u(t) (4.33)
2
即 n
k
= 1
54
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
4.1.3.2 留数法
这是复变中学过的方法，这里就不再赘述了，形式比较简单，计算复杂度就见仁见智了
定理 4.1.17 (留数法求逆变换).
f(t) =
1
2πj
ˆ
σ+j∞
σ−j∞
F (s)e
st
ds (4.34)
4.2 s 域分析
Laplace 变换可不止可以用来简化解方程过程，也可以让建模方法也轻松，或者说是：程序化了。
4.2.1 解方程
4.2.2 正解方程
看方程
n
X
i=0
a
i
y
(i)
(t) =
m
X
j=0
f
(j)
(t) (4.35)
两边取 Laplace 变换
3
n
X
i=0
a
i
"
s
i
Y (s) −
i−1
X
p=0
s
i−1−p
y
(p)
(0
−
)
#
=
m
X
j=0
b
j
s
j
F (s) (4.36)
移项
⇒
n
X
i=0
a
i
s
i
Y (s) =
m
X
j=0
b
j
s
j
F (s) +
n
X
i=0
a
i
i−1
X
p=0
s
i−1−p
y
(p)
(0
−
) (4.37)
整理得
定理 4.2.1 (象方程).
Y (s) =
n
X
i=0
a
i
"
i−1
X
p=0
s
i−1−p
y
(p)
(0
−
)
#
n
X
i=0
a
i
s
i
+
m
X
j=0
b
j
F (s)
n
X
i=0
a
i
s
i
= Y
zi
(s) + Y
zs
(s) (4.38)
然后按照前面求逆变换的方法4.1.3，就可以得到时域的解了
给通式易于理解，下面给复习 ppt 上的例题试试
已知某因果联系时间系统的微分方程为
d
2
y(t)
dt
2
+ 5
dy(t)
dt
+ 6y(t) = 2
dx(t)
dt
+ x(t) (4.39)
4
3
需要注意的是，左边的部分只包含 y(t) 以及其一系列导数项目，而右边的可以是任意的项，但都应该满足在 0
−
时刻之前是 0，这也就是为什么下面做
Laplace 变换与激励的之后左边有两组项，而右边只有一组的原因，理论上也是要有两组，只是因为输入部分的输入前初值 (起始条件) 为 0，
4
暂时没心情做，又需要看课件
55
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
4.2.2.1 逆推方程
同样可以由系统函数的形式推出微分方程。
4.2.3 元件简化：元件模型
无非就是阻容感三个基本元件，在时域中其电压电流关系为
v
R
(t) = Ri
R
(t)
v
L
(t) = L
di
L
(t)
dt
v
c
(t) =
1
C
ˆ
t
−∞
i
C
(τ)dτ
(4.40)
通过 Laplace 变换巧妙将微分积分算符以及初值条件变成一个线性形式
4.2.3.1 KVL 元件模型
引理 4.2.2 (s 域的 KVL 元件模型).
V
R
(s) = RI
R
(s)
V
L
(s) = sLI
L
(s) − Li
L
(0)
V
C
(s) =
1
sC
I
C
(s) +
I
C
(0)
s
(4.41)
4.2.3.2 KCL 元件模型
引理 4.2.3 (s 域的 KCL 元件模型).
I
R
(s) =
V
R
(s)
R
I
L
(s) =
1
sL
+
1
s
i
L
(0)
I
C
(s) = sCI
C
(s) + Cu
C
(0)
(4.42)
4.2.4 方程组建模：系统函数
4.2.4.1 阻抗导纳的引入
注意到刚刚的元件变换是关于 s 的函数，于是可以进一步定义阻抗、导纳
定义 4.2.1 (阻抗).
Z(s) =
V (s)
I(s)
(4.43)
定义 4.2.2 (导纳).
Y (s) =
I(s)
V (s)
(4.44)
4.2.4.2 由响应激励比定义系统函数
56
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
定义 4.2.3 (系统函数). 系统零状态响应的 Laplace 变换与激励的 Laplace 变换之比称为系统函数
H(s) =
O
zs
(s)
E
active
(s)
(4.45)
注意！在定义中我特意用了和 I 和 V 都完全不同的符号来描述系统函数是想要说明其形式是要具体分析的
5
，书上 p215 的例
4-17，用下面的一道题来看看系统函数在简化方法上的应用
对于一个 LTI 系统，
e
1
(t) =
1
2
u(t)
system
→ r
1
(t) = e
−
1
4
t
u(t) (4.46)
求 e
2
(t) = δ(t) 的响应 r
2
(t)
• 用系统函数法，
H(s) =
R
1
(s)
E
1
(s)
=
1
s+
1
4
1
2s
= 2 ·
1
s +
1
4
=
8
4s + 1
=
R
2
(s)
E
2
(s)
(4.47)
如此就可以接出 R
2
(s) =
8
4s+1
，然后做逆变换就可以
• 用线性性！由
e
2
(t) = 2e
′
1
(t) (4.48)
可知
r
2
(t) = 2r
′
1
(t) = −
1
2
e
−
1
4
t
u(t) (4.49)
是加上第二种方法是简单的，但是我当时居然没有想出来，不过系统函数是一定能解的
4.2.4.3 从系统函数反推微分方程
用分式之商来表示系统函数的话
H(s) =
P
1
(s)
P
2
(s)
=
R(s)
E(s)
(4.50)
其中
P
1
(s) =
n
X
i=0
a
i
s
i
P
2
(s) =
m
X
j=0
b
j
s
j
(4.51)
⇒ P
1
(s)E( s) = P
2
(s)R(s) (4.52)
展开可能会好理解一点
⇒
n
X
i=0
a
i
s
i
E(s) =
m
X
j=0
b
j
s
j
R(s) (4.53)
利用 t 的微分性质做逆变换
⇒
n
X
i=0
a
i
e
(i)
(t) =
m
X
j=0
b
j
r
(j)
(t) (4.54)
这也就是原微分方程
5
可以是 I 和 V 的比值，也可能是 I 和 I 的比值，或者是 V 和 V 的比值……
57
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
推论 4.2.4 (系统函数对应的微分方程). 若系统函数
H(s) =
P
1
(s)
P
2
(s)
=
R(s)
E(s)
(4.55)
其中
P
1
(s) =
n
X
i=0
a
i
s
i
P
2
(s) =
m
X
j=0
b
j
s
j
(4.56)
则对应的微分方程为
n
X
i=0
a
i
e
(i)
(t) =
m
X
j=0
b
j
r
(j)
(t) (4.57)
4.2.4.4 网络的求解：多维
无论是 KVL 还是 KCL，都可以 Laplace 变换后的 l 个回路方程
Z
11
I
1
(s) + Z
12
I
2
(s) + ··· + Z
1l
I
l
(s) = V
1
(s)
Z
21
I
1
(s) + Z
22
I
2
(s) + ··· + Z
2l
I
l
(s) = V
2
(s)
.
.
.
Z
l1
I
1
(s) + Z
l2
I
2
(s) + ··· + Z
ll
I
l
(s) = V
l
(s)
(4.58)
写成矩阵形式就是
V = ZI (4.59)
这扔给计算机就是相当简单的事了，不过这其实就是电路基础的内容，信号与系统还可以做更多东西！
4.2.5 系统函数零点、极点对应的时域特性
也就是分析其复数域内的极点和零点都有什么含义
4.2.5.1 几何特性对应的时域特性
看一遍书后，很显然就知道，就是衰减、指数增长、震荡这三种形式以及前两种和震荡的组合。具体看书本 p222-224 上大
量的图表，相信会更为直观
另一方面还有一个重点是多重零点和极点的情况
4.2.5.2 自由 or 强迫相应
这里关心的是相应的零点和极点是从哪里来的，由
R(s) = H(s)E(s) (4.60)
可知响应的零点极点可以来自激励和系统函数两部分，
前面我们对各种相应的分类定义的很抽象，笔者觉得似乎没有很明晰的界限，在系统函数这里找到了答案，这里将给出自由
响应和强迫响应的数学定义。
58
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
由前面可以 R(s) 的极点可以分成两部分，不妨设都是一重极点的情况，则
R(s) =
n
X
i
K
i
s − p
i
| {z }
来自系统函数
+
m
X
j
K
j
s − q
j
| {z }
来自激励函数
(4.61)
做逆 Laplace 变换变回时域后
定义 4.2.4 (自由响应 & 强迫响应).
r(t) =
n
X
i
K
i
e
p
i
t
| {z }
自由响应 (来自系统函数)
+
m
X
j
K
j
e
q
j
t
| {z }
强迫响应 (来自激励函数)
(4.62)
4.2.6 系统函数零点、极点对应的频响特性
4.2.6.1 因式分解角度
定义 4.2.5 (频响特性). 指系统在正弦信号激励下稳态响应随着频率变化的规律
即输入的形式是已知的: 正弦类信号
6
于是我们从时域出发进行推导，输入信号形如
e(t) = E
m
sin ω
0
t (4.63)
⇒ E(s) =
E
m
ω
0
s
2
+ ω
2
0
(4.64)
于是系统的响应：
R(s) =
H(s)E
m
ω
0
s
2
+ ω
2
0
=
K
−jω
0
s + jω
0
+
K
jω
0
s − jω
0
+
n
X
i=1
K
i
s − p
i
(4.65)
呃，然后由于线性性，其实都没有系统函数什么事了，变换前面两项得了。由结论4.66
K
±jω
0
=
E
m
H
0
e
±jφ
0
±2j
, H(jω
0
) = H
0
e
jφ
(4.66)
然后回代，做 Laplace 逆变换，
L
−1
[
K
−jω
0
s + jω
0
+
K
jω
0
s − jω
0
] = E
m
H
0
sin(ω
0
t + φ
0
) (4.67)
于是
定理 4.2.5 (正弦输入的系统完全响应).
r(t) = E
m
H
0
sin(ω
0
t + φ
0
) +
n
X
i=1
K
i
e
p
i
t
(4.68)
根据 eq. (4.66)，我们可以知道这个 φ
0
和 ω
0
以及 H 函数都有关系，对应的是一个相移。
另一方面，eq. (4.68) 中，后面的项指数都是实数，如果是固有频率的话必然是 p
i
小于零，因此都是衰减项，于是属于暂态
响应， lim
t→∞
K
i
e
p
i
t
= 0，而前面的项是正弦类的，属于稳态响应， lim
t→∞
E
m
H
0
sin(ω
0
t + φ
0
) = E
m
H
0
sin(ω
0
t + φ
0
)
6
或者，输入不是正弦类信号？那 Fourier 分解会吧？万物都可以 Fourier
59
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
4.2.6.2 复数视角分析
同样是注意 eq. (4.66)，H(jω) 是关于 ω 的复函数，因此如果直接从复数平面研究必然比分解法之类的直观
7
用零点和极点
表示关于 jω 的系统函数如下
H(jω) =
K
n
Y
j=1
(jω − z
j
)
m
Y
i=1
(jω − p
i
)
(4.69)
实际上，在复平面上可以用起点为 z
j
，终点为虚轴上动点的复数
8
来描述 (jω − z
j
)，而极点也是类似的，下面用指数形式表示
jω − z
j
= N
j
e
jψ
j
jω − p
i
= M
jθ
i
e
(4.70)
于是 eq. (4.69) 可以写成
H(jω) = |H(jω)|e
jφ(ω)
(4.71)
其中
|H(jω)| =
K
n
Y
j=1
N
j
m
Y
i=1
M
i
φ(ω) =
n
X
j=1
ψ
j
−
m
X
i=1
θ
i
(4.72)
于是分析增益性质就变成了复平面上动点连线的长度，和角度的变化问题，这在几何上是直观的，因此不再赘述了，有兴趣参见
书上 p231-235 的例题
4.2.7 二阶系统
同时有 L 和 C 两种元件的存在就可以构造出二阶系统了。然后我发现书上的分析其实和电路基础的基本没有区别，包括什
么品质因子之类的。这里以并联电路来举例
4.2.7.1 方程建立
I
s
R L C
V
1
V
2
GND GND
Z(s) =
V
(
s)
I(s)
=
1
G + sC +
1
sL
=
1
C
·
s
(s − p
1
)(s − p
2
)
(4.73)
极点
p
1,2
= −
G
2C
±
s
G
2C
2
−
1
LC
(4.74)
7
因为复数本质上可以理解为复平面的一个向量，因此这种方法有“几何”的性质
8
其实也是向量
60
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
继续简化
α
=
G
2C
ω
0
=
1
√
LC
ω
d
=
p
ω
2
0
− α
2
⇒ p
1,2
= −α ± jω
d
(4.75)
引入品质因子
9
定义 4.2.6 (并联时的品质因子 Q).
Q =
ω
0
2α
=
ω
0
C
G
(4.76)
4.2.7.2 由极点零点分析性质
实际上，用 eq. (4.69) 的视角来分析依然是行得通的，得到一个带通曲线
10
，
4.2.8 一些特殊网络
都是根据几何特性归纳出的一些有特殊性质的网络，本质没有不同
4.2.8.1 全通网络
这是一个根据 eq. (4.72) 就可以推出的性质
推论 4.2.6 (由系统函数极点零点判断全通网络). 如果一个系统函数的极点位于左半平面，且零点与极点对于 jω 互为镜像，
则称这种系统为全通网络，其系统函数为与 ω 无关的常数
4.2.8.2 最小相移网络
定义 4.2.7 (最小相移网络). 如果一个系统函数的极点和零点都在左半平面或者 jω 轴的系统函数称为最小相移网络，其系
统函数的幅频特性是一个常数，而相频特性是线性的
推论 4.2.7 (非最小相移网络). -
• 系统函数在右半平面有一个或者多个零点
• 亦可表示为最小相移函数与全通函数的乘积
4.3 稳定性
4.3.1 定义
4.3.1.1 字面定义
9
真纯电路理论知识
10
过程从略了，就是上面的方法
61
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
定义 4.3.1 (稳定性). 如果一个系统的输入是有界的，那么其零状态响应也是有界的，则称这个系统是稳定的，否则称为不
稳定的。
注意，是零状态响应 ，意味着不会出现震荡
推论 4.3.1 (稳定性与系统函数). 如果一个系统稳定，则
lim
t→∞
h(t) = 0 (4.77)
定义 4.3.2 (临界稳定). 如果一个系统的输入是有界的，那么其零状态响应 是有界的，但是当输入趋于无穷大时，输出趋于
无穷大，则称这个系统是临界稳定的。
推论
4.3.2 (
临界稳定与系统函数
).
如果一个系统临界稳定，则
lim
t→∞
h(t) = 常数or震荡 (即无极限但游街) (4.78)
意味着会震荡，但是不会由于正反馈而产生无限增大的自激振荡，那么所谓的不稳定，模电中遇到过的自激振荡即是了
11
，
推论 4.3.3 (系统函数角度理解稳定 & 不稳定 & 临界稳定). 若 H(s)
• 全部极点都在左半平面，则称为稳定系统，
• 有极点在右半平面，或者在有落在虚轴上二阶及以上的极点，则称为不稳定系统，
• 有极点落于虚轴上，并且都为一阶，没有极点落在右半平面，则称为临界稳定系统，
下面归纳一个表来理清楚一下三种情况极点情况 table 4.2，以及其对应的时域响应情况
表 4.2: 稳定性情况极点分布
左半平面 虚轴 右半平面
稳定 有 无 无
临界稳定 可能有 只能有一阶的 无
不稳定 可能有 可能有 (阶数不限) 可能有 (如果有二阶及以上虚轴极点就可以无)
如果从数学上来看的话，左半平面的极点对应的指数衰减，虚轴的极点对应的震荡，右半平面的极点对应的指数增长，而二
阶极点意味着引入了幂项，对于已有指数衰减的来说不影响，但是对临界稳定的来说就会引入单调增长的项。
4.3.1.2 数学定义
定义 4.3.3 (稳定性的数学定义).
∀|e(t)| ⩽ M
e
, ∀t ⩾ 0, ⇒ |r(t)| ⩽ M
r
(4.79)
有一个等价的充要套件来量化这个推论
11
当然，指数增大等也有可能
62
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
推论 4.3.4 (稳定性的充要条件).
ˆ
+∞
−∞
|h(t)|dt < ∞ (4.80)
证明见 P249，可以验证字面定义的一系列结论的判断都符合这个推论。
4.3.2 Routh-Hurwitz 稳定性判据
4.3.2.1 一个必要条件
有一个更加易用的结论
12
推论 4.3.5 (稳定性的必要条件). 设
H(s) =
N(s)
D(s)
, D(s) = a
n
s
n
+ a
n−1
s
n−1
+ ··· + a
0
(4.81)
系统的稳定的必要条件是：D(s) 的所有系数 a
i
, i = 0, 1, ··· , n 都为正数，
如果再加上 且其所有根都在左半平面 ，则为充要条件，证明参考 ppt，很有意思，通过因式分解来实现。
4.3.2.2 定义与构造
直接分析一般情况很抽象，所以这里也像 ppt 那样先吃透 n=6 的情况，也就是说分母多项式是
D(s) = a
6
s
6
+ a
5
s
5
+ a
4
s
4
+ a
3
s
3
+ a
2
s
2
+ a
1
s + a
0
(4.82)
列出 Routh-Hurwitz 阵列
a
0
a
2
a
4
a
6
a
1
a
3
a
5
0
b
1
b
2
b
3
0
c
1
c
2
0 0
d
1
d
2
0 0
e
1
0 0 0
f
1
0 0 0
(4.83)
12
证明先从略，但是确实很妙
63
信号与系统笔记 第四章 LAPLACE 变换: 连续时间系统的 S 域分析 Tsui Dik Sang
其中 b ∼ f 的计算规则如下
b
1
=
a
0
a
2
a
1
a
3
−a
1
, b
2
=
a
0
a
4
a
1
a
5
−a
1
, b
3
=
a
0
a
6
a
1
0
−a
1
c
1
=
a
1
a
3
b
1
b
2
−b
1
, c
2
=
a
1
a
5
b
1
b
3
−b
1
d
1
=
b
1
b
2
c
1
c
2
−c
1
, d
2
=
b
1
b
3
c
1
0
−c
1
e
1
=
c
1
c
2
d
1
d
2
−d
1
f
1
=
d
1
d
2
e
1
0
−e
1
= d
2
(4.84)
通过比较可以得出规律了
推论 4.3.6 (Routh-Hurwitz 阵列的填补规则). 如果阵列中有如下的结构
··· α β ···
··· γ δ ···
··· ϵ ··· ···
(4.85)
那么
ϵ =
α β
γ δ
−γ
0
(4.86)
其中 γ
0
是 γ 所在列的第一行元素，如果 γ 是第一列的元素，则 γ
0
= γ，
4.3.2.3 应用
然后下面来看看如何用 Routh-Hurwitz 阵列来判断稳定性
引理 4.3.7 (利用必要条件先确认). -
• 首先确 D(s) 的所有系数 a
i
, i = 0, 1, ··· , n 都为正数，否则不稳定
• 是正数了
– D(s) 是二次多项式，则一定是稳定的
– D(s) 是三次或以上的多项式，那就要请出 Routh-Hurwitz 阵列了
定理 4.3.8 (Routh-Hurwitz 稳定性判据 (充要条件)). 如果 Routh-Hurwitz 阵列中第一列的所有元素都为正数，且阵列中没
有出现全为零的行，则系统稳定，否则不稳定。
64
第五章 Fourier 变换与应用于通信系统
5.1 Fourier 形式的系统函数 H(jω)
我们在之前是用 Laplace 变换来推系统函数的，现在想知道如果用 Fourier 变换的形式来分析是否也有系统函数呢？答案是：
部分可以。
Laplace 变换拯救了一些不能傅里叶的函数，比如指数函数，所以这些函数的 Fourier 形式的系统函数也当然就没有了。
定理 5.1.1 (Fourier 形式的系统函数存在的条件). 当 H(s) 在虚轴上及右半平面上无极点时, 其对应的 Fourier 形式的系统函
数存在
H(jω) = H(s)
s=jω
(5.1)
对于一些电路问题的分析与 Laplace 形式的如出一辙，不再赘述。
5.2 无失真传输
5.2.1 定义
5.2.1.1 从目的理解
定义 5.2.1 (无失真传输). 响应信号与激励信号相比，只是幅度和相位发生变化，而没有波形上的变化, 即形式如下的系统
r(t) = Ke(t − t
0
) (5.2)
直接利用系统函数分析法对 eq. (5.2) 的系统进行分析, 很容易知道其系统函数应该满足的性质
定理 5.2.1 (无失真传输的系统函数).
H(jω) = Ke
−jωt
0
(5.3)
其中 K、t
0
为常数。
这意味着
• 幅频特性为常函数
• 相频特性为正比例函数
5.2.1.2
从频率分量理解
(
物理角度
)
万物都可 Fourier，所以我们就看两个不同频正弦信号入系统的反应，输入为
e(t) = E
1
sin ω
1
t + E
2
sin ω
2
t (5.4)
65
信号与系统笔记 第五章 FOURIER 变换与应用于通信系统 Tsui Dik Sang
响应的通式为
r(t) = KE
1
sin(ω
1
t − φ
1
) + KE
2
sin(ω
2
t − φ
2
) = KE
1
sin
ω
1
t −
φ
1
ω
1
+ KE
2
sin
ω
2
t −
φ
2
ω
2
(5.5)
与 eq. (5.2) 比较可知要想无失真传输，必须满足
φ
1
ω
1
=
φ
2
ω
2
= t
0
(5.6)
同理，任意由正弦波合成的信号都需要满足这个条件，从微分上理解这句话，φ
i
与 ω
i
的比值是一个常数，
1
推论 5.2.2 (无失真传输的条件).
dφ(ω)
dω
= −t
0
(5.7)
5.2.2 应用：通过无失真衍生失真
对无失真系统函数 eq. (5.2) 做逆变换，可知
推论 5.2.3 (无失真传输 = 冲激响应也是冲激函数).
h(t) = Kδ(t − t
0
) (5.8)
我们在此基础上进行修改系统函数就能得到不一样的响应
2
5.3 滤波器
5.3.1 理想低通滤波器
5.3.1.1 理想与现实的矛盾
字面意思上去理解，幅频特性应该是一个关于 y 轴对称的矩形函数，然后相频特性尽量保持无失真要求
3
定义 5.3.1 (理想低通滤波器). 其系统函数应该满足
H(jω) =
1, |ω| ≤ ω
c
0, |ω| > ω
c
φ(ω) = −ωt
0
(5.9)
或者可以写成
H(jω) =
e
−jωt
0
, |ω| ⩽ ω
c
0, |ω| > ω
c
(5.10)
然后，这种滤波器是不存在的，很简单的一个反例是其冲激响应
h(t) = F
−1
[H(jω)] = ··· =
ω
c
π
sin[ω
c
(t − t
0
)]
ω
c
(t − t
0
)
=
ω
c
π
San[ω
c
(t − t
0
)] (5.11)
这就引出了一个矛盾： 激励在 t=0 时加入，但是在 t < 0 时就有响应了！ 所以显然是无法在物理上实现的，不过研究这种理想
情况仍然有意义，可以作为一个 optical 的标尺。
1
为什么这个比例系数突然变成负数了呢，请看 eq. (5.2)，目前只能从数学形式上去解释，结论倒是对上了。
2
但是我觉得书上讲得比较抽象，还是后面滤波电路好好说一下怎么样“故意失真”吧
3
即 φ(ω) ∝ ω，
66
信号与系统笔记 第五章 FOURIER 变换与应用于通信系统 Tsui Dik Sang
5.3.1.2 理想低通滤波器的阶跃响应
这个特殊的响应将引入一个神奇的函数，先给出定义吧
定义 5.3.2 (正弦积分函数 Si).
Si(x) =
ˆ
x
0
sin t
t
dt (5.12)
推论 5.3.1 (Si 函数的一些特性). -
• Si 函数是奇函数
• lim
x→∞
Si(x) =
π
2
然后我们来求标题要求的东西
R(jω) = E(jω)H(jω) =
πδ(ω) +
1
jω
e
−jωt
0
, (| ω| ⩽ ω
c
) (5.13)
然后求逆变换看时域波形
4
r(t) = F
−1
[R(jω)]
=
1
2
+
1
2π
ˆ
ω
c
−ω
c
cos[ω(t − t
0
)]
jω
dω
| {z }
被积函数是奇，直接得 0
+
1
2π
ˆ
ω
c
−ω
c
sin[ω(t − t
0
)]
ω
dω
=
1
2
+
1
π
ˆ
ω
c
(t−t
0
)
0
sin x
x
dx
=
1
2
+
ω
c
π
Si[ω
c
(t − t
0
)]
(5.14)
深入探究 Si 函数的性质得其第一波峰和第一波谷为 t
0
±
π
ω
c
，于是可以给出带宽的定义
定义 5.3.3 (滤波器的带宽).
t
τ
= 2 ·
π
ω
c
=
1
B
, B =
ω
c
2π
(5.15)
反应的是这个滤波器上升的时间
5
推论 5.3.2. 阶跃响应的上升时间 与 带宽 (截止频率) 成反比
这时候我们就要类比电基中的一个结论
引理 5.3.3 (RLC 串联带宽).
BM =
R
2πL
(5.16)
4
没有办法了，无法使用分解因式法等，只能老实套入定义了, 详细见书 p288, 这里直接一步到位
5
从阶跃响应约等于 0 的上升时间被拉长到了 t
τ
67
信号与系统笔记 第五章 FOURIER 变换与应用于通信系统 Tsui Dik Sang
引理 5.3.4 (RLC 并联带宽).
BM =
1
2πRC
(5.17)
这是一个二阶的情况，如果是一阶的情况，时间常数 RC 和上升时间成正比，由此推论得带宽与 RC 成反比如 eq. (5.17) 所示，
6
5.3.1.3 对矩形脉冲的响应
从形式上无非是阶跃响应的扩展，不过提到这个的目的是想要解释一下前面提到的吉布斯现象。
首先先明确矩形脉冲响应有意义的界限
引理 5.3.5 (低通滤波器对矩形脉冲的响应有意义的情况).
2π
ω
c
<< τ (5.18)
否则矩形的“平台”特性将完全消失，更加像是正弦波。
矩形脉冲可以表示成
e
1
(t) = u(t) − u(t − τ ) (5.19)
用系统函数分析法很容易得到
推论 5.3.6 (理想低通滤波矩形脉冲的响应).
r
1
(t) =
1
π
{Si[ω
c
(t − t
0
)] − Si[ω
c
(t − t
0
− τ)]} (5.20)
然后我们就可以吉布斯现象，我们直接由 eq. (5.20) 算出 Si 函数第一个波峰即可证明
r(t)
max
=
1
2
+
Si(π)
π
≈ 1.0895 ≈ (1 + 9%) (5.21)
5.4 物理可实现的滤波系统
5.4.1 RLC 并联系统
L
C R
v
1
(t) v
2
(t)
+
-
+
-
图 5.1: RLC 并联系统
由电路知识容易推得
H(jω) =
1
1 −
ω
ω
c
2
+ j
ω
ω
c
, ω
c
=
1
√
LC
(5.22)
6
但是似乎一阶和二阶不能相提并论呢，总之，这部分的类比是没有搞清楚的
68
信号与系统笔记 第五章 FOURIER 变换与应用于通信系统 Tsui Dik Sang
其幅频相频特性如下
|H(jω)| =
1
s
1 −
ω
ω
c
2
2
+
ω
ω
c
2
,
φ(ω) = −arctan
ω
ω
c
1 −
ω
ω
c
2
(5.23)
-2 -1 1 2
ω
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
|H(jω)|
|H(jω)|
图 5.2: 幅频特性
-1.0 -0.5 0.5 1.0
ω
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
φ(ω)
φ(ω)
图 5.3: 相频特性
感兴趣也可以求一下他的冲激响应，这时候就不会再出现理想低通滤波器的非因果矛盾了。
5.4.2 Paley-Wiener 准则
该准则在于一眼看出一个系统函数是否是物理可构造的。这个结论开来很难证明，所以直接给出来
定理 5.4.1 (Paley-Wiener 准则 (物理可实现的必要条件)). 对于平方可积的函数 |H(jω)| , 即
ˆ
+∞
−∞
|H(jω)|
2
dω < ∞ (5.24)
如果其还满足
ˆ
+∞
−∞
|
ln
|
H
(
jω
)
|
2
|
1 + ω
2
dω < ∞ (5.25)
则 H(jω) 是物理可实现的。
推论 5.4.2 (Paley-Wiener 准则的几何意义). Paley-Wiener 准则
不允许网络特性在某一频带内为零 (可以出现单点的奇异点 0，但是如果整顿为零或者连续趋于零，几分之必然会超无
穷)
•• 幅频特性的衰减速度也收到了限制
需要注意的是，Paley-Wiener 准则只限定了幅频特性，对于一个系统函数，若其满足 Paley-Wiener 准则，并且其也是物理可构
造的，此时若将其时域函数 h(t) 左移至非因果，则同样可以得出一个满足 Paley-Wiener 准则但是不可构造的系统函数。但另一
方面
69
信号与系统笔记 第五章 FOURIER 变换与应用于通信系统 Tsui Dik Sang
推论 5.4.3 (利用 Paley-Wiener 准则判断系统函数是否可构造). 已知一个系统函数的幅频特性 |H(jω)| 满足 Paley-Wiener
准则，可找到适当的相位函数 φ(ω) 使得其与幅频特性 |H(jω)| 共同构造一个可物理实现的系统函数
5.4.3 Hilbert 变换研究的可构造系统
Paley-Wiener 准则是从系统函数幅度特性的角度来探究是否可构造，并且只是一个必要条件，这部分研究的 Hilbert 变换则
是从虚实部关系的角度去研究物理可构造性质。本质上他是从可构造的充要条件——因果性出发推得的，接下来我们一点点推导
这个结论
5.4.3.1 推导
对于一个系统函数，如果他是因果的的，根据 denition 1.5.3，即要在 t < 0 时值为 0，仅在 t ≥ 0 时有值。于是我们可以
写成
7
h(t) = h(t)u(t) (5.27)
假设其傅里叶变换后的虚实部为 R(ω) 和 X(ω)，则我们来变换一下看看变成怎么样
H(jω) = R(ω) + jX(ω)
=
1
2π
n
F [h(t)] ∗ F [u(t)]
o
=
1
2π
[R(ω) + jX(ω)] ∗
πδ(ω) +
1
jω
=
1
2π
R(ω) ∗ πδ(ω) + X(ω) ∗
1
ω
+
j
2π
X(ω) ∗ πδ(ω) − R(ω) ∗
1
ω
=
R(ω)
2
+
1
2π
ˆ
+∞
−∞
X(ω)
ω − λ
dλ
+ j
X(ω)
2
−
1
2π
ˆ
+∞
−∞
R(ω)
ω − λ
dλ
(5.28)
解得
定理 5.4.4 (Hilbert 变换对).
R(ω) =
1
π
ˆ
+∞
−∞
X(λ)
ω − λ
dλ
X(ω) = −
1
π
ˆ
+∞
−∞
R(λ)
ω − λ
dλ
(5.29)
也就是说满足因果关系的系统函数的虚实部是互为 Hilbert 变换的关系，有一定的牵制关系，这有一点像电磁场与电磁波中亥姆
霍兹方程的意味。
推论 5.4.5 (Hilbert 变换的对合性). 只要 theorem 5.4.4中的一个式子成立，则另一个式子也成立。
、由于 Hilbert 变换是直接从因果性出发推导出来的，所以
定理 5.4.6 (Hilbert 与物理可实现的关系). 系统函数虚实部是 Hilbert 对是该系统函数物理可实现的充分必要条件。
7
注意！他的意思是，如果因果就满足这个式子，有点类似于
∀x > 0, |x| = x (5.26)
这个结论的意味
70
信号与系统笔记 第五章 FOURIER 变换与应用于通信系统 Tsui Dik Sang
5.5 调制与解调
5.5.1 调制
如果不调制，那么不同信息的频率就会重叠，从而就会混在一起，因此
定义 5.5.1 (调制). 调制是将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围的过程，从而实现信号的互不干扰。
也就是说，调制是一个“系统”，将原始信号通过这个系统就完成了调制。我们就从三角函数开始吧，对于余弦函数
F [cos(ω
0
t)] = π[δ(ω − ω
0
) + δ(ω + ω
0
)]] (5.30)
调制信号
8
使用的 g(t) 的频谱 G(ω) 一个占据 −ω
m
到 ω
m
的有限频带。通过系统，得到响应
F [f(t)] =
1
2
[G(ω − ω
0
) + G(ω + ω
0
)] (5.31)
从表达式上来看，信号的频谱就被搬移到了 ω
0
处 (ω
0
>> ω
m
)，
9
5.5.2 解调
定义 5.5.2 (解调). 解调是将调制信号的频谱搬移回原始频率范围的过程。
同时，还要不失真，
5.5.2.1 乘积解调/同步解调
相乘
低通
g(t) cos ω
0
t g
0
(t) g(t)
cos ω
0
t
图 5.4: 乘积解调/同步解调
容易得到
g
0
(t) = ··· =
1
2
g(t) +
1
2
g(t) cos(2ω
0
t) (5.32)
然后滤波器的作用就是将第二项去掉即可还原波形
10
然而这意味着在解调的时候也需要发射载波信号，使得接收端的成本增加
了，所以就有了——
5.5.2.2 调幅 AM 解调
如果在发射端加入一个偏置的信号再经过调制，于是经过调制后就是关于 y 轴对称的包络
11
这时候在接收端只需要一个包
络检波器就可以了
12
这种方法虽然在发射端需要一个大功率的偏置信号，但是在接收端就不需要再发射载波信号了，因此总体
成本降低是降低的。
8
也就是调制系统的系统函数，至于为什么他后面给的是这个函数，不急，先看看
9
负数呢的波峰呢？实际上，笔者发现在 theorem 3.1.3中有提及，也就是说傅里叶变换后函数不一定具有对称性，但是其模/幅值，即 |F (ω)| 是对称的。这
就意味着，调制后的信号的频谱是对称的。所以也就无需在意负频谱的意义了，反正都是一个镜像
10
当然，幅值降低了，不过没有失真，幅值可调
11
也就是包络线不穿过 t 轴，有点抽象，可以看 p300 的图 5-19 加深理解
12
也就是一个整流器 + 低通滤波器，看起来工作要求是包络不能穿过 t 轴
71
信号与系统笔记 第五章 FOURIER 变换与应用于通信系统 Tsui Dik Sang
5.6 带通滤波系统
5.6.1 幅相分离
5.6.1.1 理想带通
定义 5.6.1 (理想带通滤波器). 幅频特性是两个关于 y 轴对称的矩形窗函数，而相频特性为通过载频 ω
0
的直线 (也是关于 y
轴对称的，或者也可以关于原点中心对称 (后面 5-10 就是这种架构))
然而，理想的研究意义确实不太大。所以也就到此为止，出几道小题。
5.6.1.2 利用幅相分离解题
13
来看这道题
若系统函数为
H(jω) =
1
1 + jω
(5.33)
试求下面激励信号的响应
e(t) = sin t + sin 3t (5.34)
这题有多种方法，前两种方法都是有关逆 Fourier 变换的，只能说各显神通，玩数学去了，先来欣赏一下
•
E(jω) = jπ [δ(ω − 1) − δ(ω + 1)] + jπ [δ(ω − 3) − δ(ω + 3)] (5.35)
所以
R(jω) = E(jω)H(jω)
=
jπ
1 + jω
[δ(ω − 1) − δ(ω + 1)] +
jπ
1 + jω
[δ(ω − 3) − δ(ω + 3)]
=
jπ
√
1 + ω
2
e
−j arctan(ω)
{δ(ω − 1) − δ(ω + 1) + δ(ω − 3) − δ(ω + 3) }
=
jπ
√
2
h
e
−j arctan(1)
δ(ω + 1) + e
−j arctan(1)
δ(ω − 1)
i
+
jπ
√
10
h
e
−j arctan(3)
δ(ω + 3) + e
−j arctan(3)
δ(ω − 3)
i
(5.36)
Fourier 逆变换后
r(t) =
1
√
2
sin(t − arctan(1)) +
1
√
10
sin(3t − arctan(3)) (5.37)
14
• 利用 δ 函数“众生平等”的特性，
15
但本质还是逆变换
R(jω) = E(jω)H(jω)
=
jπ
1 + jω
[δ(ω − 1) − δ(ω + 1)] +
jπ
1 + jω
[δ(ω − 3) − δ(ω + 3)]
=
jπ
1 + j
δ(ω − 1) −
jπ
1 − j
δ(ω + 1) +
jπ
3 + j
δ(ω − 3) −
jπ
3 − j
δ(ω + 3)
= ···
(5.38)
反正就是这样子，后面的逆变换不难
13
幅相分离是我发明的一个名词……
14
相当复杂，而且上面第 2 到 3 行用到了 theorem 3.3.1
15
只在 ω = 1, 3 处有值，其他地方都为 0
72
信号与系统笔记 第五章 FOURIER 变换与应用于通信系统 Tsui Dik Sang
• 利用幅相分离，不用逆变换
|H(jω)| =
1
√
1+ω
2
φ(ω) = −arctan(ω)
(5.39)
所以 sin t 的响应为
r
1
(t) = |H(j1)|sin(1t + φ(1)) =
1
√
2
sin(t − arctan(1)) (5.40)
同理
r
2
(t) = |H(j3)|sin(3t + φ(3)) =
1
√
10
sin(3t − arctan(3)) (5.41)
显然，最后一种方法是最迅速的。
5.6.2
频率窗函数
不从零开始推导了，直接上！
定义 5.6.2 (频率窗函数).
h
a
(t) =
√
a sin
πt
a
cos
πt
a
√
ππ
(5.42)
我们利用的事他的 Fourier 变换，
推论 5.6.1 (频率窗函数的 Fourier 变换).
H
a
(jω) =
1
2
r
a
π
, |ω| ∈ [
2π
a
,
4π
a
]
0, 其他
(5.43)
其中 u(t) 为单位阶跃函数。
可以看到，这实际上也是一个理想带通电路，优点是我们可以通过调节 a 来调节带宽，其有应用是小波变换
5.7 从抽样信号恢复连续时间信号
5.7.1 几何理解
时域的抽样是对有限频谱的加权无限复制平移，那么想要还原理所应当的就是保留原来“被”平移变换的波形，所以我们需
要一个带通滤波器作为恢复信号的系统
H(jω) =
T
s
, |ω| ⩽ ω
c
0, 其他
(5.44)
由 theorem 3.3.10可以得到冲激响应
h(t) = T
s
·
ω
c
π
Sa(ω
c
t) (5.45)
如果被处理的是冲激序列抽样信号
f
s
(t) =
+∞
X
n=−∞
f(nT
s
)δ(t − nT
s
) (5.46)
经过系统处理后就得到了原始信号
f(t) = h(t) ∗ f
s
(t) = ··· = T
s
·
ω
c
π
+∞
X
n=−∞
f(nT
s
)Sa[ω
c
(t − nT
s
)] (5.47)
73
信号与系统笔记 第五章 FOURIER 变换与应用于通信系统 Tsui Dik Sang
显然，既然抽样的时候是有条件才能确保在以后不失真还原，那么在还原的时候能够不失真也有条件。
定理 5.7.1 (抽样信号恢复连续时间信号的条件). 当抽样信号重复角频率 ω
s
满足 Nyquist 条件，即
ω
s
> 2ω
c
(5.48)
滤波系统的 ω
c
需要满足
ω
c
∈ [ω
m
, ω
s
− ω
m
] (5.49)
则抽样信号可以不失真地恢复为连续时间信号。
5.7.2 可实现的抽样方式
δ 信号其实是很难搞的，所以必须要找一些现实中更容易实现的抽样方式。
5.7.2.1 零阶抽样保持
定义 5.7.1 (零阶抽样保持). 零阶抽样保持是指在每个采样点处保持该点的值不变，直到下一个采样点到来。
现在，我们就根据这个目的来求一下其系统函数。
从冲激响应开始，不难想象，δ 函数经过这个系统的响应应是一个矩形窗，从 0 ∼ T
s
，即
h
0
(t) = u(t) − u(t − T
s
) (5.50)
其中 T
s
是抽样周期于是很容易得到其 Fourier 变换形式的系统函数
F [h
0
(t)] = T
s
Sa
ωT
s
2
e
−j
ωT
s
2
(5.51)
于是就得到了频域上输入输出信号的频域关系
推论 5.7.2 (零阶抽样保持的频域关系).
F
s0
(ω) = F
s
(ω)F [h
0
(t)] =
+∞
X
n=−∞
F (ω − nω
s
)Sa
ωT
s
2
e
−j
ωT
s
2
(5.52)
于是根据这个关系“定制”了恢复原信号的系统函数
推论 5.7.3 (零阶抽样保持的恢复系统函数).
H
s0
(jω) =
1
T
s
Sa
ωT
s
2
e
j
ωT
s
2
, |ω| ⩽
ω
s
2
0, 其他
(5.53)
74
第六章 下册的章节：图和系统
6.1 信号流图
6.1.1 形式
相当于是对之前框图的一个简化，从而能表示更加复杂的系统情况。来看一个节点处对应的方程
图 6.1: 信号流图一个示例
定义 6.1.1 (信号流图的节点方程). 若流图中有如所示的节点，则该节点处的方程为
X =
n
X
i=1
H
input,i
X
input,i
(6.1)
X
output,j
= H
output,j
X (6.2)
其实流图节点的概念有点电路分析 KCL 的意味，也就是入等于出
6.1.2 拓扑转换
看下面这张图：g. 6.1 e 和 f 的理解有点小困难，那我们就对要消去的节点列式
• 对于 e 的需要消去 x
3
，有
x
3
= ax
1
+ cx
2
x
4
= bx
3
x
5
= dx
3
⇒
x
4
= abx
1
+ bcx
2
x
5
= adx
1
+ cdx
2
(6.3)
，这也正是图中转换后的流图结构
75
信号与系统笔记 第六章 下册的章节：图和系统 Tsui Dik Sang
图 6.2: 信号流图的拓扑转换
• 对于 f 在画成环路后需要消去 x
3
x
3
= abx
1
+ bcx
3
⇒ x
3
=
abx
1
1 − bc
(6.4)
也是图中的样子
亲手做做例 11-14 就能理解这个拓扑转换的结论了。
6.1.3 Mason 增益公式
用拓扑转换的方法来化解求增益虽然直观，但是还是容易犯错的，一步错步步错，所以下面的方法相当于是一个严格的代数
方法
定理 6.1.1 (Mason 增益公式).
H =
1
∆
X
k
g
k
∆
k
(6.5)
其中
特征行列式 ∆ ：
∆ = 1 −
X
a
L
a
+
X
b,c∈a
L
a
L
b
−
X
d,e,f∈a
L
a
L
b
L
c
+ ··· (6.6)
其中 a 代表所有环路，而 b，c 代表两个不相交的环路，d，e，f 代表三个不相交的环路，以此类推
•• 增益 g
k
：每一条从输入 (源点) 到输出 (阱点) 的第 k 条前向通路的增益
76
信号与系统笔记 第六章 下册的章节：图和系统 Tsui Dik Sang
• 特征行列式 ∆
k
：除去与第 k 条前向通路相交的所有环路后，剩余的环路的特征行列式
参见课本 p294 的例题，这里不给例子。
6.2 连续系统方程
6.2.1 方程 or 图构造
是流图章节的延伸，根据增益去画图以及求解，或者是重新回归了之前提到的一个关于
1
p
可以表示积分器的概念。
6.2.1.1 根据方程画图
假定某物理系统可以表示成下面的微分方程
d
k
dt
k
r(t) + a
1
d
k−1
dt
k−1
r(t) + ··· + a
k−1
dr(t)
dt
+ a
k
r(t) = b
0
d
k
dt
k
e(t) + b
1
d
k−1
dt
k−1
e(t) + ··· + b
k−1
de(t)
dt
+ b
k
e(t) (6.7)
首先用算子去化简方程为
(p
k
+ a
1
p
k−1
+ ··· + a
k
−
1
p + a
k
)r(t) = (b
0
p
k
+ b
1
p
k−1
+ ··· + b
k
−
1
p + b
k
)e(t) (6.8)
于是就可以写出传输算子
H(p) =
b
0
p
k
+ b
1
p
k−1
+ ··· + b
k−1
p + b
k
p
k
+ a
1
p
k−1
+ ··· + a
k−1
p + a
k
(6.9)
eq. (6.9) 是微分形式的，为了便于选择状态变量
1
写成积分形式
H(p) =
b
0
+
b
1
p
+ ··· +
b
k−1
p
k−1
+
b
k
p
k
1 +
a
1
p
+ ··· +
a
k−1
p
k−1
+
a
k
p
k
(6.10)
然后需要用到 Mason 公式对 eq. (6.10) 进行拆解画图，
2
这样用积分器实现的系统就如下 g. 6.3所示
图 6.3: 积分器构成的一般流图
6.2.2 根据图列出方程：状态变量的引入
定义 6.2.1 (状态变量). 对 g. 6.3中直线上的每一个点表示的变量称为状态变量，记为 λ
i
(t)，其中 i 表示直线的编号
1
看下面的 λ
i
(t) 就知道了
2
不从正向构建了，而看图 g. 6.3对 eq. (6.10) 进行验证首先，将 eq. (6.10) 的分母对应到 eq. (6.5) 是 ∆. 显然，g. 6.3中不存在两两互不接触的环路，更
高阶数的不接触环路更加没有了，所以只需要考虑 ∆ = 1 −
a
L
a
，这些环路其实就是图下方的箭头部分，于是容易验证分母成立，
然后再看分子，g. 6.3的上半部分自然的就构成了这 k+1 条前向通路，因此也就容易验证了。
77
信号与系统笔记 第六章 下册的章节：图和系统 Tsui Dik Sang
定理 6.2.1 (由状态变量描述的输入输出).
˙
λ
1
(t) = −a
1
λ
1
(t) + λ
2
(t) + (b
1
− a
1
b
0
)e(t)
˙
λ
2
(t) = −a
2
λ
2
(t) + λ
3
(t) + (b
2
− a
2
b
0
)e(t)
.
.
.
˙
λ
k−1
(t) = −a
k−1
λ
k−1
(t) + λ
k
(t) + (b
k−1
− a
k−1
b
0
)e(t)
˙
λ
k
(t) = −a
k
λ
k
(t) + (b
k
− a
k
b
0
)e(t)
(6.11)
r(t) = λ
1
(t) + b
0
e(t) (6.12)
推论 6.2.2 (矩阵描述的输入输出).
˙
λ(t) = Aλ(t) + Be(t)
r(t) = Cλ(t) + De ( t)
(6.13)
其中
A =
−a
1
1 0 ··· 0
0 −a
2
1 ··· 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 −a
k−1
1
0 0 0 0 −a
k
, B =
b
1
− a
1
b
0
b
2
− a
2
b
0
.
.
.
b
k−1
− a
k−1
b
0
b
k
− a
k
b
0
, C =
h
1 0 ··· 0
i
, D =
h
b
0
0 ··· 0
i
(6.14)
当然，这仅是针对 g. 6.3的 r(t) 表示，如果题目中给的不是这种框图，那么 C 个 D(t) 的形式也会变化，不会是这么简单
6.2.3 根据方程分解画图求解
先迅速给一个抽象的方法论，然后用一道课本例题来尝试。
定理 6.2.3. 传输算子的标准形式
H
i
(p) =
β
i
p + α
i
(6.15)
对应的流图如下 g. 6.4
图 6.4: 一阶极点的分解流图
然后我们就来看例题
78
信号与系统笔记 第六章 下册的章节：图和系统 Tsui Dik Sang
6.2.3.1 正常例题
将下面的 H(p) 分解。用流图的并联结构形式建立状态方程
H(p) =
p + 4
p
3
+ 6p
2
+ 11p + 6
(6.16)
解：首先肯定是分解因式
H(p) =
p + 4
(p + 1)(p + 2)(p + 3)
=
K
1
p + 1
+
K
2
p + 2
+
K
3
p + 3
(6.17)
如何求这个 K
i
呢？待定系数法是可以的，但不是最优，这时候就要看回 theorem 4.1.15了，由此迅速就能完成系数分解 (如果是
多重极点，优势更加体现)
K
1
= (p + 1)H(p)
p=−1
=
3
2
K
2
= (p + 2)H(p)
p=−2
= −2
K
3
= (p + 3)H(p)
p=−3
=
1
2
(6.18)
于是可以分成三个基本单元，得到了图 于是方程也就不难得出了
图 6.5: 分解流图
˙
λ
1
= −λ
1
+
3
2
e(t)
˙
λ
2
= −2λ
2
− 2e(t)
˙
λ
3
= −3λ
3
+
1
2
e(t)
(6.19)
r(t) = λ
1
+ λ
2
+ λ
3
(6.20)
如果写成矩阵的形式就是
˙
λ
1
(t)
˙
λ
2
(t)
˙
λ
3
(t)
=
−1 0 0
0 −2 0
0 0 −3
λ
1
(t)
λ
2
(t)
λ
3
(t)
+
3
2
−2
1
2
e(t)
r(t) =
h
1 1 1
i
λ
1
(t)
λ
2
(t)
λ
3
(
t
)
(6.21)
79
信号与系统笔记 第六章 下册的章节：图和系统 Tsui Dik Sang
6.2.3.2 有重根的情况
将下面的 H(p) 分解。用流图的并联结构形式建立状态方程
H(p) =
p + 4
(p + 1)
3
(p + 2)(p + 3)
(6.22)
解：首先还是先分解
H(p) =
K
1
(p + 1)
3
+
K
2
(p + 1)
2
+
K
3
p + 1
+
K
4
p + 2
+
K
5
p + 3
(6.23)
然后用 theorem 4.1.15来求系数
K
1
=
1
2!
d
2
dp
2
((p + 1)
3
H(p))
p=−1
=
3
2
K
2
=
1
1!
d
1
dp
1
((p + 1)
2
H(p))
p=−1
= −
7
4
K
3
= (p + 1)H(p)
p=−1
=
15
8
K
4
= (p + 2)H(p)
p=−2
= −2
K
5
= (p + 3)H(p)
p=−3
=
1
8
(6.24)
然后，注意看下面流图的画法 可以看到，实际上这个图的重根部分借鉴了 Mason 公式进行构造，具体自己细品。
图 6.6: 有重根的分解流图
6.2.4 求解方程
书上重点介绍了 Laplace 变换法求以及时域法，实际上，在矩阵分析中还介绍了对角矩阵法。
6.2.4.1 时域法和对角化法
由于这些方法都在矩阵分析中做过笔记，所以这里从略，详细请看矩阵分析的笔记
6.2.4.2 Laplace 变换法
对于方程
d
dt
λ(t) = Aλ(t) + Be(t)
r(t) = Cλ(t) + De(t)
(6.25)
80
信号与系统笔记 第六章 下册的章节：图和系统 Tsui Dik Sang
做 Laplace 变换
⇒
sΛ(s) − λ(0) = AΛ(s) + BE(s)
R(s) = CΛ(s) + DE(s)
(6.26)
整理得
Λ(s) = (sI − A)
−1
λ(0
−
) + (sI − A)
−1
BE(s)
R(s) = C (sI − A)
−1
λ(0
−
) +
h
C (sI − A)
−1
B + D
i
E(s)
(6.27)
求回逆 Laplace 变换可得
定理 6.2.4 (Laplace 变换法求解方程).
λ(t) = L
−1
[(sI − A)
−1
λ(0
−
)] + L
−1
[(sI − A)
−1
B] ∗ e(t)
r(t) = CL
−1
[(sI − A)
−1
λ(0
−
)]
| {z }
零输入解
+
h
CL
−1
[(sI − A)
−1
B] + Dδ(t)
i
∗ e(t)
| {z }
零状态解
(6.28)
这里 (sI − A)
−1
是相对比较难求的，但是如果是二阶的矩阵也没什么。还是具体问题具体分析啊，并且如果是零输入相应的话
由于没有了后面的一坨东西，题目会大大简化，
求解
˙
λ
1
(t)
˙
λ
2
(t)
=
−1 −2
1 4
λ
1
(t)
λ
2
(t)
;
λ
1
(0
−
)
λ
2
(0
−
)
=
3
2
(6.29)
解：这题没有明确求什么输出，那么默认就是求“状态”也就是所有的 λ
i
(t)，那么首先求解逆
sI − A =
"
s + 1 2
−1 s − 4
#
(6.30)
⇒ (sI − A)
−1
=
1
(s − 2)(s − 3)
"
s − 4 −2
1 s + 1
#
=
"
−1
s−3
+
1
s−2
−2
s−3
+
2
s−2
1
s−3
−
1
s−2
2
s−3
−
1
s−2
#
(6.31)
答案的写法有点晕
3
，虽然并没有错，不过这里我们就直接代入公式
4
λ(t) = L
−1
h
(sI − A)
−1
λ(0
−
)
i
= L
−1
"
−1
s−3
+
1
s−2
−2
s−3
+
2
s−2
1
s−3
−
1
s−2
2
s−3
−
1
s−2
#
λ(0
−
)
=
"
−e
3t
+ 2e
2t
−2e
3t
+ 2e
2t
e
3t
− e
2t
2e
3t
− e
2t
#"
3
2
#
=
"
−7e
3t
+ 10e
2t
7e
3t
− 5e
2t
#
u(t)
(6.34)
3
由于是齐次方程
dλ
dt
= Aλ (6.32)
∴ λ = e
At
(6.33)
没有错, 所以求 e
At
即可，但本质上还是要求回 Laplace 变换
4
没有输出，所以第二项是零，即求的是零状态响应
81
第七章 课内部分完结
至此，信号与系统 ppt 课堂上学习的所有的内容都已经全覆盖了，如果能看到这里，就无需担心考超纲的内容了。
Tsui Dik Sang
2025.6.29
82
参考文献
[1] 任蕾, 杨忠根, 薄华, 金欣磊, 张韵农, 陈红亮. 信号与系统. 高等学校电子信息类专业系列教材·新形态教材. 教育部高等学校
电子信息类专业教学指导委员会规划教材, ISBN: 9787302543961, 2021.01.01 出版, 2025.01.08 印刷.
[2] 郑君里. 信号与系统（上册）（第 3 版）. 高等教育出版社, 2011 年 3 月 1 日. ISBN: 9787040315196.
83
附录 A 附录
A.1 抽样函数
1 (* 定 义 s i n c 函 数 *) s i n c [ t_ ] := Sin [ t ] / t
2
3 (* 绘 制 s i n c 函 数 图 像 *)
4 P lot [ s i n c [ t ] , {t , -10 , 10} , PlotRange -> All ,
5 AxesLabel -> {” t ” , ”Sa ( t ) = s i n ( t )/ t ” } , P l ot St y l e -> Blue ]
A.2 2t 系统变换的绘制
1 Pl ot [ P i e cew i s e [ { { 1 , 0 <= x <= 1}} , 0 ] , {x , -1 , 2} , PlotRange -> {0 , 1 } ]
A.3 RLC 并联低通滤波器的系统函数
1 (* Define the t r a n s f e r f u n c t i o n magnitude and phase *)
2 Hmag [ \ [ Omega]_, \ [ Omega] c_ ] :=
3 1/ Sqrt [ ( 1 - ( \ [ Omega] / \ [ Omega ] c )^2)^2 + ( \ [ Omega ] / \ [ Omega] c ) ^ 2 ]
4 phase [ \ [ Omega]_, \ [Omega ] c_ ] := - ArcTan [ ( \ [ Omega ] / \ [ Omega ] c ) / ( 1 - \
5 ( \ [ Omega ] / \ [ Omega] c ) ^ 2 ) ]
6
7 (* Defi ne the c u t o f f fr equ en cy \[Omega ] c *)
8 \[ Omega] c = 1 ;
9
10 (* Plot the magnitude |H( j \ [Omega ] ) | vs \ [ Omega] *)
11 magPlot =
12 Plot [Hmag [ \ [ Omega ] , \ [ Omega ] c ] , {\[Omega] , -2 \ [Omega] c ,
13 2 \ [Omega ] c } , PlotRange -> All , P lotLa bel -> ” |H( j \ [ Omega ] ) | ” ,
14 AxesLabel -> {” \ [Omega ] ” , ” |H( j \ [ Omega ] ) | ” } , Pl o tSt y l e -> Blue ,
15 GridLines -> Automatic ] ;
16
17 (* Plot the phase \ [ CurlyPhi ] ( \ [ Omega ] ) vs \ [Omega ] *)
18 phasePlot =
19 Plot [ phase [ \ [ Omega] , \ [ Omega ] c ] , {\ [ Omega] , - \ [ Omega] c , \ [Omega ] c } ,
20 PlotRange -> All , PlotL abel -> ” \ [ CurlyPhi ] ( \ [ Omega ] ) ” ,
21 AxesLabel -> {” \ [Omega ] ” , ” \ [ CurlyPhi ] ( \ [ Omega] ) ” } ,
22 P l o t Sty l e -> Red , Grid Lines -> Automatic ] ;
84
信号与系统笔记 附录 A 附录 Tsui Dik Sang
23
24 (* Displ ay the p l o t s s e p a r a t e l y *)
25 magPlot
26 phasePlot
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