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系统建模与仿真笔记
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Tsui Dik Sang
2024 年 6 月 24 日——2025 年 6 月 26 日
写在笔记之前
看到这个笔记的开始日期了吧，26 号开始的考试，但是这本笔记在 24 号考试前开始的两天复习才开始制作。这门课其实是
有很多东西学的，但是可惜相当的抽象，内容太过于广泛，以至于只能讲一个浅显的内容，而并未能深入。只能是希望在以后数
学建模或者解决一些实际问题的时候能够用到这里学到的概念，在练习中继续深化理解了。
系统建模与仿真，说白了就是用数学和计算机的语言去描述现实世界的复杂系统。从 Monte Carlo 的随机抽样到 Markov 链
的状态转移，从 Lanchester 方程的战争建模到微分方程的动态描述，当时在听课的时候不太懂，但是在这几天一点点看懂 ppt 上
例题的过程，才发现其实利用一些数学工具的建模还是非常妙的。至于是否和真实一致呢？我觉得要回答这个问题再学一年也难
说完全学明白，不过至少建模的过程首先要是合理的，至少让看到模型的人觉得是合理的，如果是让建模人自己都不想看的模型，
那一定不是一个好模型后面的离散事件系统、分布式交互仿真、基于 Agent 的仿真和数字孪生，说实话如果不接触一些实际的
工具上手去建模一次，学到的东西一定是抽象的，所以 ppt 里面全是定义与概念也就不足为奇了——因为我们暂时只能学到这个
水平，想要有更多的提高只能去动手建模。
所以，这个笔记纯纯只是一个队 ppt 的思路整理，是应试性的……
Tsui Dik Sang
6.26
2
目录
第一章 绪论 7
1.1 系统的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 建模过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 建模依据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 建模方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 系统仿真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 特点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2.1 优点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2.2 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 系统分析器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 系统设计器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 系统观测器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.4 系统预测器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.5
系统训练器
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 复杂作战系统的仿真方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 方法分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 UML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
第二章 Monte Carlo 方法 10
2.1 Monte Carlo 方法基本原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 基本方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 方法特点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 模拟作战过程的思路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 逆变换法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 精度估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 一般估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 二项分布的一些估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
第三章 Markov 链 13
3.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 基本方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.2 转移矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 特殊 Markov 链 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
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系统建模与仿真笔记 目录 Tsui Dik Sang
3.2.1 正则 Markov 链 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 吸收 Markov 链 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2.1 期望向量推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 建模方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.1 找转移矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.2
判断是否正则
Markov
链
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.3 求稳态概率分布向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 稳定结构：Markov 链变式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.1 问题描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.1.1 基本模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.1.2 增加退出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4.1.3 增加团外来人员输入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4.1.4 三者关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4.2 建模过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4.2.1 人数确定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4.2.2 向着标准 Markov 链转化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
第四章 Lanchester 方程 19
4.1 基本假设 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Lanchester 第一线性律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.1 引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.2 Lanchester 第一线性律表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.3 利用第一线性律分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.3.1 红方获胜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.3.2 蓝方获胜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.3.3 平局 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Lanchester 第二线性律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3.1 Lanchester 第二线性律表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3.2 利用第二线性律分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Lanchester 平方律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4.1 Lanchester 平方律解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4.2 Lanchester 平方律表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4.3 利用平方律分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4.3.1 红方获胜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4.4 蓝方获胜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4.5 一些推论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4.5.1 平均战斗力与战斗数量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4.5.2 胜方的兵力对比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4.5.3 等号情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4.5.4 不等号情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4.5.5 战斗力差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4.5.6 使用场景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4.5.7 拆分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4.6 Lanchester 的其他形式：游击战 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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系统建模与仿真笔记 目录 Tsui Dik Sang
第五章 微分方程模型 25
5.1 传染病模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.1 简单模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.2 SI 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.3 SIS 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.4 SIR 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 经济增长模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
第六章 离散事件系统仿真 27
6.1 基本要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.1 实体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.1.1 临时实体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.1.2 永久实体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.2 属性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.3 状态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.4 活动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1.5 事件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.1.6
进程
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.1.7 仿真钟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.1.7.1 概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.1.7.2 仿真钟的推进 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.2 建模方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2.1 实体流图法 EFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.3 Petri 网法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.3.1 基本组成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4 仿真方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4.1 事件调度法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
第七章 基于 Agent 的仿真 30
7.1 背景：复杂智能系统建模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.1.1 方法论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.1.1.1 Agent 相比对象的优点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.1.1.2 Agent 的要素：BDI 架构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.1.1.3 建模方法论分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.2 Agent 模型设计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.3 多 Agent 交互模型设计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.3.1 与自然环境的交互 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.3.2 与其他 Agent 的交互 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
第八章 分布交互仿真 32
8.1 发展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.1.1 SIMENET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.1.2 DIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.1.2.1 缺点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.1.3 HLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.2 体系结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
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系统建模与仿真笔记 目录 Tsui Dik Sang
8.2.1 通讯机制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.2.1.1 需求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.2.1.2 实时性与可靠性的矛盾 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2.2 寻址方式需求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2.3 DIS 体系结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2.3.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2.3.2 特点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2.3.3 优化：引入 DR 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.2.3.4 DIS 第二种优化：PDU 层次数据过滤 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.2.4 HLA 体系结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2.4.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
第九章 数字孪生仿真 36
9.1 背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.1.1 VS 物理孪生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.1.2 数字孪生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.2 特征 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.2.1 多领域综合的数字化模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.2.2 以模型为核心的数据采集与组织 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.2.3 双向映射、动态交互、实时连接和迭代优化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.2.4 推演预测与分析等智能化功能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.3 数字孪生体的生命周期 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.3.1 前期阶段——数字胚胎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.3.2 中期阶段——数字化映射体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.3.3 后期阶段——孪生体智能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.4 数字孪生的技术基础 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.4.1 建模仿真技术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.4.1.1 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.4.1.2 数字制造模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.4.1.3 仿真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.4.1.4 仿真模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.4.1.5 建模和仿真的一般过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.4.1.6 建模仿真方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.4.2 虚拟制造技术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.4.2.1 虚拟制造的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.4.3 数字样机技术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.4.3.1 相关技术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.4.3.2 数字样机的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.4.3.3 数字样机特点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6
第一章 绪论
1.1 系统的概念
定义 1.1.1 (系统的概念). 系统 (System)是由相互联系、相互制约、相互依存的若干组成部分 (要素) 结合在一起形成的具有
特定功能和作用 (运动) 规律的有机整体。
系统中最小的即不需要再分的部分称为系统的元素，还可以进一步分解的对象称为子系统。元素和子系统统称为组分。
系统本身也可以由一系列相互作用的子系统构成，子系统又可以由更低一级的子系统构成，这就是系统的层次结构。
定义 1.1.2 (系统的有关概念). • 系统结构 (structure)：系统内部各组分之间相互联系和相互作用的方式、秩序和模式。
它反映了系统内部的组织形式和构成关系。
• 系统环境 (environment)：与系统发生相互作用但又不属于系统本身的外部条件和因素的总和。系统与环境之间存在物
质、能量和信息的交换。
• 系统演化 (evolution)：系统随时间推移而发生的状态变化和发展过程。系统演化体现了系统的动态特性和发展规律。
小、中、巨系统……
1.2 建模过程
1.2.1 建模依据
• 几何相似性
• 特性相似性
• 感觉相似性：比如失重模拟
• 逻辑相似性
• 过程相似性
• 功能相似性
1.2.2 建模方法
• 分析法
• 测试法
• 综合法
7
系统建模与仿真笔记 第一章 绪论 Tsui Dik Sang
1.3 系统仿真
定义 1.3.1 (仿真). 仿真是通过对模型的试验以达到研究系统的目的，或用模型对系统进行试验研究的过程。
定义 1.3.2 (系统仿真技术). 系统仿真技术是以相似原理、信息技术、系统技术为基础，以计算机和专用设备为工具，建立并
利用系统模型对实际或设想的系统进行动态实验研究的一门多学科的综合应用技术。
现代仿真技术均是在计算机支持下进行的，因此，系统仿真也称为计算机仿真。
1.3.1 分类
• 物理仿真
• 数学仿真
• 半实物仿真
1.3.2 特点
1.3.2.1 优点
• 安全性
• 经济性
• 可重复性
• 不天气场地限制
1.3.2.2 问题
• 复杂系统建模
• 仿真可信度
宏观地来看，系统仿真的技术体系由建模技术、建模与仿真支撑系统技术以及仿真应用技术为核心构成
1.4 作用
系统仿真技术正成为继理论研究和科学实验之后第三种认识和改造客观世界的重要手段。
1.4.1 系统分析器
• 人造系统：通过仿真提出改造意见
• 自然系统：通过仿真掌握规律
1.4.2 系统设计器
• 对未建系统进行设计验证
• 对分系统进行投运前试验
8
系统建模与仿真笔记 第一章 绪论 Tsui Dik Sang
1.4.3 系统观测器
• 提供系统历史、实时、预测信息
• 支持实时决策和故障分析
1.4.4 系统预测器
• 地震预报
• 森林火警预报
• 人口预测
• 天气预报
1.4.5 系统训练器
• 训练系统操作人员
• 避免实际系统训练的危险性和高成本
1.5 复杂作战系统的仿真方法
定理 1.5.1 (系统特点). • 非线性
• 涌现行为
• 自使用性
• 自组织性
1.5.1 方法分类
建议去看 ppt 原图。
• 结构级
• 行为级
• 基于 Agent 的
1.6 UML
分解任务，画图
9
第二章 Monte Carlo 方法
定义 2.0.1 (Monte Carlo 方法定义). Monte Carlo 方法是利用与待解问题具有相同概率特性的随机试验和统计分析方法，寻
找和求解待解问题中人们所关心的随机规律性（概率特征，某些指标参数的统计估值）的数值计算方法。
2.1 Monte Carlo 方法基本原理
2.1.1 基本方法
Monte Carlo 方法的基本方法是用抽随机数来模拟作战过程中的随机因素。
2.1.2 方法特点
• 能充分体现随机因素对作战过程的影响
• 更确切地反映出作战活动中的动态变化
• 是一种统计试验的定量分析法
• 是用随机模型描述作战过程的标准方法
2.1.3 模拟作战过程的思路
定理 2.1.1 (Monte Carlo 法模拟作战过程). 1. 把所要描述的战术现象分解为一系列基本活动和事件
• 机动、搜索、发现
• 目标选择、目标分配
• 射击、命中、毁伤等
2. 用随机性的方法模拟每一项基本事件和活动
3. 按事件或活动的逻辑关系把它们组合到一起，从而达到模拟作战过程的目的
2.2 操作
大部分都是概统知识，这里重点写一些证明有点难度的结论的推导
2.2.1 逆变换法
10
系统建模与仿真笔记 第二章 MONTE CARLO 方法 Tsui Dik Sang
定理 2.2.1 (逆变换法). 设 X 是连续型随机变量，已知其分布函数为 F (x)。
令 Y = F (X)，则 Y 是 U [0, 1] 区间上均匀分布的随机变量。
设 ξ 为 [0, 1] 区间上均匀分布的随机数，则 X = F
−1
(ξ) 就是以 F (x) 为分布函数的随机变量。
证明. 由于 X 是连续型随机变量，其分布函数 F (x) 严格单调递增且连续。
对于 Y = F (X)，我们有：
P (Y ≤ y) = P (F (X) ≤ y) (2.1)
= P (X ≤ F
−1
(y)) (2.2)
= F (F
−1
(y)) (2.3)
= y, 0 ≤ y ≤ 1 (2.4)
这表明 Y 的分布函数为 G(y) = y，即 Y ∼ U[0, 1]。
反之，设 ξ ∼ U [0, 1]，令 X = F
−1
(ξ)，则：
P (X ≤ x) = P (F
−1
(ξ) ≤ x) (2.5)
= P (ξ ≤ F (x)) (2.6)
= F (x) (2.7)
因此 X 的分布函数确实为 F (x)。
当然，有一种对这个方法很好通俗解释：
根据抽中的概率刻度 ξ，反向查找对应的 x 值
然后记几种提到的分布
• 几何分布：
P (X = k) = p(1 − p)
k−1
, k = 1, 2, . . . (2.8)
• 瑞利分布：
f(x) =
x
σ
2
e
−
x
2
2σ
2
, x ⩾ 0 (2.9)
2.3 精度估计
首先，用的还是中心极限定理，并且这里的误差，指的是标准差 σ。
2.3.1 一般估计
定理 2.3.1 (精度).
|
¯
X − µ| ⩽ 2
s
ˆ
D
n
(2.10)
这里的 2 来源于左右两边的对称性
11
系统建模与仿真笔记 第二章 MONTE CARLO 方法 Tsui Dik Sang
推论 2.3.2 (精度与 n 的关系). 模拟精度与
1
√
n
成正比。
2.3.2 二项分布的一些估计
对于 Monte Carlo 方法经常用来估计的二项分布，有下面的一些列定理
定理 2.3.3 (二项分布的精度估计).
|ˆp − p
∗
| ⩽ 2
r
p
∗
(1 − p
∗
)
n
ˆp = p
∗
± 2
r
p
∗
(1 − p
∗
)
n
(2.11)
证明. 首先，由于 p =
X
n
，所以根据中心极限定义有
1
p ∼ N
p
∗
,
p
∗
(1 − p
∗
)
n
(2.12)
标准化，取置信区间为 2σ, 查表
P (|Z| ⩽ 2) = 0.9544 (2.13)
⇒ P
p − p
∗
q
p
∗
(1−p
∗
)
n
⩽ 2
= 0.9544 (2.14)
然后一波化简就得到了 eq. (2.11)
推论 2.3.4 (可靠度要求). 用 Monte Carlo 方法估计估计时间 A 的概率时，为了使得最大的可能误差不大于 ε，需要满足
n ⩾
4p
∗
(1 − p
∗
)
ε
2
(2.15)
扩展到一般情况
定理 2.3.5 (一般情况的精度估计).
µ = ¯x ± 2
s
ˆ
D
n
(2.16)
n =
4
ˆ
D
ε
2
(2.17)
1
应该是 DeMoivre-Laplace 定理
12
第三章 Markov 链
3.1 定义
3.1.1 基本方法
定义 3.1.1 (Markov 链). Markov 链是时间和状态均为离散的随机转移过程，具有无后效性：
• 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率
• 已知现在，将来与过去无关
数学表达为：
P (X
n+1
= j|X
n
= i, X
n−1
= i
n−1
, . . . , X
0
= i
0
) = P (X
n+1
= j|X
n
= i) (3.1)
其中 X
n
表示第 n 时刻的状态，P (X
n+1
= j|X
n
= i) 为转移概率。
3.1.2 转移矩阵
定义 3.1.2 (转移矩阵). 转移矩阵是描述 Markov 链状态转移概率的矩阵，记为 P 。其元素 P
ij
表示从状态 i 转移到状态 j
的概率，即：
P
ij
= P (X
n+1
= j|X
n
= i) (3.2)
然后，我觉得有必要理清楚概率分布向量的定义
1
定义 3.1.3 (概率分布向量). 概率分布向量 a(n) = (a
1
(n), a
2
(n), . . . , a
n
(n)) 表示在第 n 时刻各状态的概率分布，其元素
a
i
(n) 表示在时刻 n 处于状态 i 的概率，即：
a
i
(n) = P (X
n
= i) (3.3)
推论 3.1.1 (概率分布向量的性质).
n
X
i=1
a
i
(n) = 1 (3.4)
推论 3.1.2 (零时刻的概率分布向量). • 如果初值确定的话，并且出于第 i 个状态那么 a 中只有第 i 个元素为 1，其余元
素为 0。(比如卖钢琴那题)
• 如果初值不确定而是满足，或者是由于连续量满足一定的概率分布的话，则这个矩阵的各值表示相应的量的分布 (见
1
笔者一开始没有去认真看定义，误以为这是一个关于状态的变量，导致一开始在理解下面的稳态概率分布向量时困惑非常大！
13
系统建模与仿真笔记 第三章 MARKOV 链 Tsui Dik Sang
ppt 遗传题)
推论 3.1.3 (转移矩阵的性质). • 每行元素非负，且每行元素之和为 1：
P
j
P
ij
= 1。
• 转移矩阵是非负矩阵。
• 转移矩阵的幂 P
n
表示从状态 i 到状态 j 经过 n 步转移的概率。
定理 3.1.4 (状态转移关系).
a(n + 1) = P · a(n) (3.5)
3.2 特殊 Markov 链
3.2.1 正则 Markov 链
定义 3.2.1 (正则 Markov 链). 从任意状态出发经过有限次转移能以正概率到达另外任意状态的 Markov 链称为正则 Markov
链。
推论 3.2.1 (正则链的等价 1).
∃N, P
N
> 0 (3.6)
推论 3.2.2 (正则链的等价 2：稳态概率分布向).
∃w, lim
n→∞
a(n) = w (3.7)
也就是说在实践趋向于无穷时到每一种状态的概率就与初始状态无关了。
推论
3.2.3 (
w
的性质
).
wP = w (3.8)
n
X
i=1
w
i
= 1 (3.9)
3.2.2 吸收 Markov 链
应该说这是一种特殊的正则 Markov 链
定义 3.2.2 (吸收状态). 即到达后就不会离开的状态，
p
ii
= 1 (3.10)
14
系统建模与仿真笔记 第三章 MARKOV 链 Tsui Dik Sang
定义 3.2.3 (吸收 Markov 链). 形如
P =
I
r×r
O
R Q
!
(3.11)
称为有 r 个吸收状态的 Markov 链，前 r 行就是吸收状态，
现在我们需要更换一下下标，将前 r 个吸收状态记排除，从 Q 的第一个非吸收状态开始记为 1，一直到 s，则 Q = (q
ij
)
s×s
。
推论 3.2.4 (q
ij
). q
ij
表示从非吸收状态 i 转移到非吸收状态 j 的概率。
3.2.2.1 期望向量推导
我们现在要推的是从第 i 个状态起始经过多少步到达平衡态的期望，由 1 ∼ s 构成了期望矩阵 M。首先从第一步开始
• 显然，0 步到的只有自己，所以首先有一个是 Q
0
= I
s×s
,
2
• 走一步，则根据 theorem 3.2.4，可以知道乘一个 Q，即可
• 走两步，则可以理解为 i → k → j，则概率为对 k 的遍历求和
P
s
k=1
q
ik
q
kj
，从矩阵乘法的角度理解就是 Q
2
• 同理类推到走 n 步，乘 Q
n
，
所以得到结论
定理 3.2.5 (期望向量).
M =
∞
X
n=0
Q
n
= (I
s×s
− Q)
−1
(3.12)
定理 3.2.6 (吸收 Markov 链的性质).
一个很直观的例子是近亲繁殖导致最后种群中某种基因型的个体占比为 100%。(ppt 例题)
3.3 建模方法
那么我们直接从一个具有普遍性的问题入手
假设一个系统中有 n 个状态，且每一个状态都有一个特征数 k
i
状态之间的转移概率已知。
P (X
n+1
= j|X
n
= i) = P
ij
(3.13)
下面需要计算一系列值
• 稳态时每一个特征值的概率 P (k
i
)
• 稳态时特征值的期望 E(k)
2
其实我有一点不明白，为什么 0 也要算到期望里面呢？
15
系统建模与仿真笔记 第三章 MARKOV 链 Tsui Dik Sang
3.3.1 找转移矩阵
目标是找到算出转移矩阵 P，显然，题目已经很清晰的给出了
P =
P
11
P
12
··· P
1n
P
21
P
22
··· P
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
P
n1
P
n2
··· P
nn
(3.14)
事实上，如果题目不友好没有直接给出还需要用贝叶斯公式去算，比如课件中的钢琴销售问题。
3.3.2 判断是否正则 Markov 链
使用 theorem 3.2.1最方便，只要有一个例子就说明了，
3
3.3.3 求稳态概率分布向量
如果是正则 Markov 链，则使用 eq. (3.8) 求出 w 则
P (k
i
) = w
i
(3.15)
进一步期望也就不难求了，请结合概统的学习
3.4 稳定结构：Markov 链变式
这道题考虑了好几个因素，得出转移矩阵之后就不难了，但是怎么样得出这个矩阵的过程却是相当有技巧的，或者说，我觉
得相当考验线性代数矩阵分析的功底能力
3.4.1 问题描述
3.4.1.1 基本模型
一个团队中有 k 个等级，数量分布为 n(t) = (n
1
(t), n
2
(t), . . . , n
k
(t)), 总人数为 N (t), 比例分布
4
a(t) = (a
1
(t), a
2
(t), . . . , a
k
(t)) (3.17)
转移矩阵 Q = p
ij
k×k
，
5
其中 p
ij
表示从等级 i 转移到等级 j 的概率。
3.4.1.2 增加退出
假设每年都会有人退出这个团队系统，设退出比例
w = (w
1
, w
2
, . . . , w
k
) (3.18)
其中 w
i
表示等级 i 的退出比例，那显然退出总人数为
W (t) =
k
X
i=1
w
i
n
i
(t) (3.19)
3
如果出题的话一般都是，否则不是正则 Markov 链就不存在什么 w 了，结果发散，so sad
4
显然比例分布满足
a(t) =
n(t)
N(t)
(3.16)
5
为什么不用 P 呢？看到下面就会知道，P 要留给更像 Markov 链的东西
16
系统建模与仿真笔记 第三章 MARKOV 链 Tsui Dik Sang
3.4.1.3 增加团外来人员输入
假设每年有新成员加入团队，调入比例为
r = (r
1
, r
2
, . . . , r
k
) (3.20)
因此调入总人数为
R(t) =
k
X
i=1
r
i
n
i
(t) (3.21)
这里要注意，调入或者退出比例是不随时间变换的，否则模型将更加难以建立
3.4.1.4 三者关系
为了防止读者迷糊，先归纳一下组内互调，组外输入、退出三者的关系 (ppt 上也有写)
推论 3.4.1 (组内互调，组外输入、退出三者的关系).
p
ij
, w
i
, r
i
⩾ 0,
k
X
i=1
r
i
= 1 (3.22)
k
X
i=1
p
ij
+ w
i
= 1, i = 1, 2, . . . , k (3.23)
3.4.2 建模过程
3.4.2.1
人数确定
首先，总人数应该是没有异议的
N(t + 1) = N (t) − W (t) + R(t) (3.24)
关于第 j 个等级的人数可能有解不理解
n
j
(t + 1) =
k
X
i=1
p
ij
n
i
(t) + r
j
R(t) −
X
X
X
X
w
j
n
j
(t) (3.25)
我甚至连 ai 在自动补全的时候也加上了最后一项，可是实际上应该是不存在的！原因是因为右边本身不存在的 n(t),
6
将 eq. (3.25)
写成矩阵形式
n(t + 1) = n(t)Q + R ( t) r (3.26)
设总人数增长
M(t) = N (t + 1) − N (t) (3.27)
那么由 eq. (3.25) 和 eq. (3.27) 可以得到
R(t) = W (t) + M( t) =
k
X
i=1
w
i
n
i
(t) + M (t) = n(t)w
T
+ M(t) (3.28)
代入 eq. (3.25) 得到
n(t + 1) = n(t)(Q + w
T
r) + M (t)r (3.29)
6
也就是说右边构造 n
j
(t + 1) 用的是加法不是减法，加减法思维可以这样子去理解
• 减法思维：已知一个 n
j
(t), 通过对其做修修补补得到 n
j
(t + 1)，这时候不仅要考虑输入，也要考虑输出，因此就有加加减减
• 加法思维：从所有 t + 1 时刻该等级调入人数的来源出发去构 n
j
(t + 1)，因此基本上只涉及加法
这里的构造用的就是加法思维
k
∑
i=1
p
ij
n
i
(t) 来源于所有自 t ∼ t + 1 时刻从其他时刻 (当然，其实也包括从自己时刻没有调走的) 调来的人，因此实际上 p
jj
n
j
(t)
就已经减去了调出系统的人了，而后面一项 r
j
R(t) 则是从外部调入的，这不属于第一项从其他等级调入的，因此要额外单列。除此之外，没有来源了，因此式
子就是这样
17
系统建模与仿真笔记 第三章 MARKOV 链 Tsui Dik Sang
3.4.2.2 向着标准 Markov 链转化
如果输入团队的人数与退出的人数持平，也就是说总人口不变，M(t) = 0，且设
P = Q + w
T
r (3.30)
那么总人口就也可以约去变成比例系数取而代之，此时，方程就变成了标准的 Markov 链形式
a(t + 1) = a(t)P (3.31)
剩下的计算与前面说过的标准 Markov 链的计算方法一致，不再赘述
18
第四章 Lanchester 方程
4.1 基本假设
• 战斗个体的随机损伤，对双方整体态势的影响很小，不致引起战斗力总量的急剧变化
• 每个作战阶段的实际总兵力，处于一种统计平衡状态，接近当时的兵力平均值
• 参战兵力的损耗可以看成是连续变化的过程
4.2 Lanchester 第一线性律
4.2.1 引入
定义 4.2.1 (Lanchester 第一线性律解决的问题 1). 双方交战兵力互相暴露，战斗由单个战斗成员之间的一对一格斗组成，单
位时间内杀伤对方的数量与双方兵力数量无关。
适用范围：同兵种，损耗系数为常数，能进行直接瞄准的一对一格斗作战过程 (如步兵对步兵，坦克对坦克格斗)。
基本特征：在作战过程中，双方不断减员，兵力对比关系不断变化，但双方在单位时间内的对敌杀伤数却保持恒定，即
双方的对敌杀伤率不因战斗减员而变化，不因兵力对比的变化而变化。
dx(t)
dt
= −α
dy(t)
dt
= −β
(4.1)
x |
t=0
= x
0
, y |
t=0
= y
0
(4.2)
有上面可以解出
x(t) = x
0
− αt
y(t) = y
0
− βt
(4.3)
然而，我们关注的是谁会获胜，翻译成数学语言就是在对方兵力为 0 的时候，获胜方应该还有兵力剩余。如果画图画出 x(t) 和
y(t) 的图像，显然可以知道，但是这样就不能发现规律了，所以我们想从两者“关系”的角度入手找关系
4.2.2 Lanchester 第一线性律表达式
由 eq. (4.3) 不难推出
定义 4.2.2 (Lanchester 第一线性律).
β( x
0
− x(t)) = α(y
0
− y(t)) (4.4)
19
系统建模与仿真笔记 第四章 LANCHESTER 方程 Tsui Dik Sang
或者写成
αy(t) − βx(t) = αy
0
− βx
0
(4.5)
4.2.3 利用第一线性律分析
接下来我们就仅通过 eq. (4.5) 来分析谁会获胜
4.2.3.1 红方获胜
若红方 x(t) 获胜，即在蓝方 y(t) 为 0 时, 红方兵力仍然大于零，对 eq. (4.5) 取 y(t) = 0
−βx ( t) = αy
0
− βx
0
> 0 (4.6)
得
推论 4.2.1 (红方获胜条件).
αy
0
< βx
0
(4.7)
然后要算持续时间和兵力，对于剩余兵力，另 y(t) = 0，代入 eq. (4.5)
x
e
=
βx
0
− αy
0
β
(4.8)
而时间就只能代入 eq. (4.3) 去算得到
t
f
=
y
0
β
(4.9)
4.2.3.2 蓝方获胜
同理可得
推论 4.2.2 (蓝方获胜条件).
αy
0
> βx
0
(4.10)
同理剩余兵力
y
e
=
αy
0
− βx
0
α
(4.11)
t
f
=
x
0
α
(4.12)
4.2.3.3 平局
αy
0
= βx
0
(4.13)
4.3 Lanchester 第二线性律
定义 4.3.1 (Lanchester 第二线性律解决的问题 2). 双方交战兵力互相暴露，但仅知对方兵力的分布地域，不知战斗单位准确
位置，单位时间内杀伤对方的数量与己方当前兵力以及对方的兵力分布密度有关。
适用范围：同兵种，仅知对方兵力的分布地域，但不知战斗单位准确位置的战斗过程 (如炮兵间瞄射击)。
基本特征：在作战过程中，双方不断减员，兵力对比关系不断变化，双方在单位时间内的对敌杀伤数与己方当前兵力以
及对方的兵力分布密度有关。
20
系统建模与仿真笔记 第四章 LANCHESTER 方程 Tsui Dik Sang
假设红蓝双方的兵力随时间的函数分别为 x(t) 和 y(t)，则有
dx(t)
dt
= −αx(t)y(t)
dy(t)
dt
= −βx(t)y(t)
(4.14)
x |
t=0
= x
0
, y |
t=0
= y
0
(4.15)
推论 4.3.1 (Lanchester 第二线性律解).
x(t) =
−x
0
(k−1)
e
−αy
0
(k−1)t
−k
y(t) =
−y
0
(k−1)e
−αy
0
(k−1)t
e
−αy
0
(k−1)t
−k
(4.16)
其中 k =
βx
0
αy
0
，表示初始战力比
4.3.1 Lanchester 第二线性律表达式
定义 4.3.2 (Lanchester 第二线性律). 与 eq. (4.5) 一致
4.3.2 利用第二线性律分析
除了在 t → ∞ 时才能战争结束，兵力以及赢的条件相同。
4.4 Lanchester 平方律
定义 4.4.1 (Lanchester 平方律解决的问题 3). 双方任何一个战斗单位均在对方视线内，每个战斗单位射击对方任一战斗单位
的机会大体相等，可运用全部兵力并集中火力攻击对方兵力。
适用范围：现代信息化战争条件下的远程精确打击作战。
基本特征：在作战过程中，双方的杀伤效率与自身当前兵力成正比，与对方当前兵力成正比。
假设红蓝双方的兵力随时间的函数分别为 x(t) 和 y(t)，则有
dx(t)
dt
= −αy(t)
dy(t)
dt
= −βx(t)
(4.17)
x |
t=0
= x
0
, y |
t=0
= y
0
(4.18)
4.4.1 Lanchester 平方律解
推论 4.4.1 (Lanchester 平方律解).
x(t) = x
0
cosh(
√
αβt) −
βy
0
√
αβ
sinh(
√
αβt)
y(t) = y
0
cosh(
√
αβt) −
αx
0
√
αβ
sinh(
√
αβt)
(4.19)
其中 cosh 和 sinh 分别为双曲余弦和双曲正弦函数。
21
系统建模与仿真笔记 第四章 LANCHESTER 方程 Tsui Dik Sang
4.4.2 Lanchester 平方律表达式
定义 4.4.2 (Lanchester 平方律).
α(y
2
0
− y(t)
2
) = β(x
2
0
− x(t)
2
) (4.20)
或者写成
αy(t)
2
− βx(t)
2
= αy
2
0
− βx
2
0
(4.21)
4.4.3 利用平方律分析
4.4.3.1 红方获胜
推论 4.4.2 (红方获胜条件).
αy
2
0
< βx
2
0
(4.22)
推论 4.4.3 (剩余兵力与持续时间).
x
e
=
s
αy
2
0
− βx
2
0
β
(4.23)
t
f
=
1
2
√
αβ
ln
√
βx
0
+
√
αy
0
√
βx
0
−
√
αy
0
(4.24)
4.4.4 蓝方获胜
推论 4.4.4 (蓝方获胜条件).
αy
2
0
> βx
2
0
(4.25)
推论 4.4.5 (剩余兵力与持续时间).
y
e
=
r
βy
2
0
− αx
2
0
α
(4.26)
t
f
=
1
2
√
αβ
ln
√
αy
0
+
√
βx
0
√
αy
0
−
√
βx
0
(4.27)
4.4.5 一些推论
4.4.5.1 平均战斗力与战斗数量
定理 4.4.6 (平均战斗力与战斗数量). 假定 α = kβ，即蓝方平均战斗力为红方的 k 倍，若
x
0
=
√
ky
0
(4.28)
那么双发的战斗力之比
βx
2
0
αy
2
0
= 1 (4.29)
22
系统建模与仿真笔记 第四章 LANCHESTER 方程 Tsui Dik Sang
4.4.5.2 胜方的兵力对比
不妨设红方赢
4.4.5.3 等号情况
即要
x
0
− x
e
= y
0
(4.30)
结合 eq. (4.21)，可以得到
α
β
=
2x
0
y
0
(4.31)
4.4.5.4 不等号情况
来看战胜小于战败方的情况，即
x
0
− x
e
< y
0
(4.32)
由于平方律人越多，越可以几种火力群殴，所以，应该是战胜方 (在这里是红方) 初始兵力越大，损失越少，所以等号变为 < ，即
α
β
<
2x
0
y
0
− 1 (4.33)
4.4.5.5 战斗力差
定义 4.4.3 (战斗力差).
c = αy
2
− βx
2
(4.34)
4.4.5.6 使用场景
• 作战双方中每一方都拥有大量使用同类武器的战斗成员参加战斗
• 作战双方任何一个作战单位都处于暴露状态且处于对方的视线和武器射程之内
• 每一个作战单位射击对方任何一个作战单位的机会大体相等（不预先进行目标分配）
• 在给定时间内双方都进行了一定数量的有效射击并能确认双方有哪些成员被消灭
4.4.5.7 拆分
即将某一支部队拆分成多支部队
定理 4.4.7 (线性律的拆分). 不影响战斗力
定理
4.4.8 (
平方律的拆分
).
会削弱战斗力
这其实是很难理解的，有点不符合直觉
a
然而这是方程描述的结果。有一点连续的意味，如果拆成个数稀少的离散情况赢
会有偏差
a
比如想一个场景，四对一，拆分了应该也是四对一
23
系统建模与仿真笔记 第四章 LANCHESTER 方程 Tsui Dik Sang
4.4.6 Lanchester 的其他形式：游击战
如果红方正规军，蓝方打游击，则方程变为
dx(t)
dt
= −αx(t)y(t)
dy(t)
dt
= −βy(t)
(4.35)
24
第五章 微分方程模型
5.1 传染病模型
5.1.1 简单模型
定义 5.1.1 (简单传染病模型). 人数不限，每个病人每天有效接触人数为 λ，由于人数基数充分大，可以认为病人接触到的都
是健康人
定理 5.1.1 (简单传染病模型的微分方程).
di
dt
= λi
i(0) = i
0
(5.1)
5.1.2 SI 模型
定义 5.1.2 (SI 模型). 总人数有限为 N，
• 病人与健康人的比例分别为 i(t) 和 s(t)，且满足
s(t) + i(t) = 1 (5.2)
• 每个病人每天有效接触人数为 λ，并且这些人可能有病人也可能是健康人
可以先列出离散形式
N[i(t + ∆ t) −i(t)] = [λs(t)]N i(t)∆t (5.3)
也就是说接触的人之中只有 λs(t) 个健康人，由此得出微分方程
定理 5.1.2 (SI 模型的微分方程).
di
dt
= λis
s + i = 1
i(0) = i
0
(5.4)
5.1.3 SIS 模型
25
系统建模与仿真笔记 第五章 微分方程模型 Tsui Dik Sang
定义 5.1.3 (SIS 模型). 总人数有限为 N，
• 病人与健康人的比例分别为 i(t) 和 s(t)，且满足
s(t) + i(t) = 1 (5.5)
• 每个病人每天有效接触人数为 λ，并且这些人可能有病人也可能是健康人
• 每个病人每天有 µ 的概率恢复成健康人
可以先列出离散形式
N[i(t + ∆ t) −i(t)] = [λs(t)]N i(t)∆t − µi(t)N ∆t (5.6)
定理
5.1.3 (SIS
模型的微分方程
).
di
dt
= λis − µi
s + i = 1
i(0) = i
0
(5.7)
定义 5.1.4 (接触数). 定义
σ =
λ
µ
(5.8)
为
接触数
，表示每个病人每天平均接触的健康人数。
5.1.4 SIR 模型
定义 5.1.5 (SIR 模型). 病人在治愈后即溢出感染系统
先写出离散形式
N[i(t + ∆ t) −i(t)] = [λs(t)]N i(t)∆t − µi(t)N ∆t
N[s(t + ∆ t) −s(t)] = [λs(t)]N i(t)∆t
(5.9)
定理 5.1.4 (SIR 模型的微分方程).
di
dt
= λis − µi
ds
dt
= −λis
s + i + r = 1
i(0) = i
0
, s(0) = s
0
, r(0) = r
0
(5.10)
这个方程没有解析解，只能用相图或者求数值解了
5.2 经济增长模型
类似，此处这一章先跳。
26
第六章 离散事件系统仿真
6.1 基本要素
6.1.1 实体
定义 6.1.1 (实体). 实体是指组成系统的个体，为系统的三要素（实体、属性、活动）之一。在离散事件系统中，实体可分为
两大类：临时实体和永久实体。
6.1.1.1 临时实体
定义 6.1.2 (临时实体). 在系统中只存在一段时间的实体。如服务系统中的顾客。
6.1.1.2 永久实体
定义 6.1.3 (永久实体). ：永久性地驻留在系统中的实体。只要系统处于活动状态，这些实体就存在。如服务系统中的服务
员。
6.1.2 属性
定义 6.1.4 (属性). 属性是实体特征的描述，也称为描述变量，一般是实体所拥有的全部特征的一个子集，用特征参数或变
量表示。
选择特征参数作为实体属性的一般原则：
• 便于实体的分类
• 便于实体行为的描述
• 便于排队规则的确定
6.1.3 状态
定义 6.1.5 (状态). 状态是对实体活动的特征状况或性态的划分，可用状态变量表示。
6.1.4 活动
27
系统建模与仿真笔记 第六章 离散事件系统仿真 Tsui Dik Sang
定义 6.1.6 (活动). 活动通常用于表示两个可以区分的事件之间的过程，标志着系统状态的转移
6.1.5 事件
定义 6.1.7 (事件). 事件是引起系统状态发生变化的瞬间操作或行为。事件的发生会导致状态的变化，实体的活动与状态相
对应，因此可以用事件来标识活动的开始与结束。
定义 6.1.8 (事件表). 事件表记录每一发生了的或者将要发生的事件类型、发生时间以及与该事件相联系的实体的有关属性
等等。
6.1.6 进程
定义 6.1.9 (进程). 进程由若干有序事件及若干有序活动组成。一个进程描述了相应事件及活动之间的逻辑关系及时序关系。
图 6.1: 事件、活动、进程三者的关系示意图
6.1.7 仿真钟
6.1.7.1
概念
定义 6.1.10 (仿真钟). 仿真钟用于表示仿真时间的变化，是离散事件系统仿真中的重要概念。
• 连续系统仿真时，仿真时间的变化基于仿真步长，可以是定步长，也可以是变步长
• 离散事件仿真时，由于引起状态变化的事件的发生是随机的，因而仿真钟的推进步长完全是随机的
• 仿真钟的推进呈现跳跃性，推进的速度具有随机性
6.1.7.2 仿真钟的推进
• 事件调度法：事件表按事件发生时间先后顺序安排事件。时间控制部件始终从事件表中选择具有最早发生时间的事件记录，
然后将仿真钟修改到该事件发生时刻。
• 固定增量法：选择适当的时间单位 T 作为仿真时钟推进时的增量，每推进一步作如下处理：若该步无事件发生，则仿真钟
再推进一个单位时间 T ；若该步内有若干事件发生，则认为这些事件均发生在该步的结束时刻。
28
系统建模与仿真笔记 第六章 离散事件系统仿真 Tsui Dik Sang
6.2 建模方法
6.2.1 实体流图法 EFC
就是程序流程图那种。从略了
6.3 Petri 网法
定义 6.3.1 (Petri 网). Petri 网是一种用于描述并发、异步和分布式系统的数学建模工具。它能够有效地表示和分析系统的
状态变化、资源共享和多线程等复杂情况。
6.3.1 基本组成
Petri 网由位置、变迁和弧三部分组成：
• 位置（Place）：表示系统的状态或资源，通常以圆圈表示。
• 变迁（Transition）：表示事件或动作，通常以矩形或条形表示。
• 弧（Arc）：连接位置和变迁，用箭头表示，表示系统的转换关系。
• 标记（Token）：位于位置中，表示系统的状态。
6.4 仿真方法
6.4.1
事件调度法
可以理解为只是关于事件的拓扑结构，并且由事件历程触发，可以理解为系统流图在仿真的延续
1
1
没找到证实，但是我觉得应该就是
29
第七章 基于 Agent 的仿真
7.1 背景：复杂智能系统建模
• 非线性
• 涌现行为
• 自适应性
• 自组织性
7.1.1 方法论
定义 7.1.1 (Agent 的概念). Agent（智能体/主体）是具有自主性、社会性、反应性和主动性的计算实体，能够感知环境并
根据目标做出决策和行动。
7.1.1.1 Agent 相比对象的优点
• Agent 具有更高的自主性：能够独立决策和行动
• Agent 具有高度的社会性：能够与其他 Agent 进行交互和协作
7.1.1.2 Agent 的要素：BDI 架构
定义 7.1.2 (BDI 架构). Agent 的核心要素包括：
信念（Belief, B）：Agent 对环境和自身状态的认知
•• 愿望（Desire, D）：Agent 希望达到的目标状态
• 意图（Intention, I）：Agent 为实现愿望而制定的计划
• 行为（Action）：Agent 基于 BDI 执行的具体动作
BDI 要素之间的因果关系为：信念 → 愿望 → 意图 → 行为
7.1.1.3 建模方法论分类
基于 Agent 的建模方法论是相对于传统建模方法提出的：
• 结构级建模方法论：自顶向下，关注系统整体结构
• 行为级建模方法论：关注系统的输入输出行为
30
系统建模与仿真笔记 第七章 基于 AGENT 的仿真 Tsui Dik Sang
1
7.2 Agent 模型设计
知识库的设计如下
• 领域知识：主要包括关于任务结构描述方面的知识。
• 推理知识：用于对 Agent 的通信、协作、决策、任务管理等进行推理。
• 控制知识：用于将 Agent 获得的信息通过逻辑推理转换而得到领域知识。
7.3 多 Agent 交互模型设计
7.3.1 与自然环境的交互
7.3.2 与其他 Agent 的交互
• 对立方
• 同一方
1
然后 ppt 中给了一堆流程图，其实也就是这个意思，要体现出分类
31
第八章 分布交互仿真
定义 8.0.1 (分布交互仿真). 分布交互仿真（Distributed Interactive Simulation, DIS）是一种新兴的仿真技术，采用协调一
致的结构、标准、协议和数据库，用计算机网络（局域网和广域网）将分散配置的仿真系统（武器装备仿真硬件、软件和仿
真环境）联结起来，通过仿真实体间的数据交换构成的综合仿真环境。
分布交互仿真也称为先进分布仿真，是现代仿真技术发展的重要方向，能够实现多个仿真节点的协同工作和实时交互。
8.1 发展
8.1.1 SIMENET
8.1.2 DIS
8.1.2.1 缺点
• DIS 协议仅适于平台级实体的仿真，很难与整建制的仿真实体实现互操作
1
• 节点间采用广播方式进行通信，
2
当节点数量增加时，网络带宽的消耗成级数增长，同时对大量不相关的数据包的处理也浪
费了宝贵的节点系统资源，大大限制了仿真的规模
• 只能进行实时仿真，各节点的虚拟时间必须同步推进，对时钟同步的要求高，而且不能适应离散事件的仿真
8.1.3 HLA
8.2 体系结构
8.2.1 通讯机制
8.2.1.1 需求
• 网络通讯服务需求
• 实时性需求
3
• 可靠性需求
• 寻址方式需求
1
也就是说适用于还没有建好的系统，如果是本身已经存在了一些其他协议，就很难去使用
2
这似乎和 ros 很像……
3
并不是所有数据都必须采用实时方式传输
32
系统建模与仿真笔记 第八章 分布交互仿真 Tsui Dik Sang
8.2.1.2 实时性与可靠性的矛盾
为了兼顾到实时性和可靠性，在分布交互仿真中还使用了一种介于可靠和不可靠方式之间的一种新的通讯方式，即 Best
Eort 方式－－一种不完全可靠的通讯服务方式。可进行一些差错控制，可提供有限的重发机制，但不保证绝对正确地被接收到。
8.2.2 寻址方式需求
在实体间有三类交互情况
• 该实体与另一实体交互
• 该实体与其它几个实体交互
• 该实体与其它所有实体交互
仿真应用间有三种通讯传输方式：
• 单点传送（Unicast）
• 广播（Broadcast）
• 组播（Multicast）
8.2.3 DIS 体系结构
8.2.3.1 基本概念
定义 8.2.1 (DIS 基本概念). • 仿真实体（Simulation Entity）：在分布交互仿真中，代表真实世界对象的虚拟对象，是
仿真系统中的基本组成单元。
• 仿真节点（Simulation Node）：网络中的一个独立计算单元，可以承载一个或多个仿真实体，负责处理本地仿真计算
和网络通信。
• 仿真应用（Simulation Application）：运行在仿真节点上的软件程序，实现特定的仿真功能和逻辑。
• 仿真管理计算机（Simulation Manager）：负责整个分布仿真系统的协调、控制和管理，包括仿真的启动、停止、监控
等功能。
• 仿真演练（Simulation Exercise）：一次完整的分布仿真活动，涉及多个仿真节点的协同工作。
• 仿真主机（Simulation Host）：承载仿真应用的物理计算机设备，为仿真节点提供硬件支撑。
关系之间有点类似于总线结构
4
8.2.3.2 特点
• 仿真应用负责维护一个或多个仿真实体的状态
• 用标准 PDU(Protocol Data Unit) 传送数据
• 仿真应用负责发送仿真实体的状态和交互信息
• 采用广播方式传输数据
• 由接收仿真应用来感知事件或其它实体的存在
• 用 DR 算法来减少网络中的通讯负荷
4
更确切的，这就是“广播”
33
系统建模与仿真笔记 第八章 分布交互仿真 Tsui Dik Sang
图 8.1: DIS 体系结构示意图
8.2.3.3 优化：引入 DR 算法
定义 8.2.2 (DR 算法（Dead Reckoning 算法）). DR 算法（Dead Reckoning 算法），即” 航位推测算法”，是一种用于减少
分布交互仿真中网络通信负荷的优化算法。该算法借鉴了航海中的航位推测概念，通过在本地维护简化的运动模型来预测远
程实体的状态变化。
DR 算法的工作原理包括以下几个方面：
1. 双重模型机制：每个仿真实体除维护精确的运动模型外，还在本节点维护一个简化的运动模型（DR 模型）。
2. 分布式预测：在每个仿真节点中放置可能与之发生交互的其他节点的 DR 模型，并以这些模型为依据推算其他节点的
状态，供本节点的相关功能模块使用。
3. 阈值触发更新：当自身精确模型输出与 DR 模型输出之差超过预设阈值时，向其他节点发送状态更新信息，同时更新
自身 DR 模型的状态。
4. 减少通信频次：通过本地预测机制，大幅减少网络中实体状态信息的传输频次，有效降低网络通信负荷。
8.2.3.4 DIS 第二种优化：PDU 层次数据过滤
定义 8.2.3 (PDU 数据包过滤). PDU 数据包过滤包括输出过滤和输入过滤两种方式：
• 输出过滤：一般应用在网关管理，指屏蔽本局域网内部的 PDU 数据包，只将必要的 PDU 发送到广域网或其他局域
网段上。
• 输入过滤：可以同时应用在网关和仿真计算机上，指屏蔽外部的 PDU 数据包，只将本局域网（仿真计算机）内部所预
定的 PDU 接收进来。
定理 8.2.1 (5 级层次过滤). PDU 过滤采用 5 级层次结构，确保网络带宽和计算机资源的有效利用：
1. DIS 演练号过滤：根据演练标识符过滤数据包
34
系统建模与仿真笔记 第八章 分布交互仿真 Tsui Dik Sang
2. PDU 类型过滤：根据协议数据单元类型进行筛选
3. 实体类型过滤：根据仿真实体类型进行过滤
4. 实体作用域过滤：根据实体的作用范围进行筛选
5. 实体位置过滤：根据实体的地理位置进行过滤
8.2.4 HLA 体系结构
8.2.4.1 基本概念
定义
8.2.4 (
仿真应用（联邦成员）
).
仿真应用，也称为联邦成员（
Federate
），是
HLA
体系结构中的基本仿真单元，负责
特定的仿真功能。
定义 8.2.5 (仿真演练（联邦）). 仿真演练，也称为联邦（Federation），一个联邦由多个联邦成员构成，也就是由多个仿真
应用构成。
定义 8.2.6 (联邦执行). 联邦成员互相交互的过程称为联邦执行（Federation Execution）。
定义 8.2.7 (管理联邦成员). 仿真管理软件仍然存在，往往位于一台独立的仿真主机中，并被称为管理联邦成员（Management
Federate）。
定义 8.2.8 (运行时间框架). 运行时间框架（Run Time Infrastructure, RTI）是 HLA 中的一个新概念，为联邦成员之间的通
信和协调提供基础支撑服务。
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第九章 数字孪生仿真
9.1 背景
9.1.1 VS 物理孪生
定义 9.1.1 (物理孪生). 两个完全相同的物理系统
9.1.2 数字孪生
定义 9.1.2 (数字孪生). 数字孪生（Digital Twin）是以模型和数据为基础，通过多学科耦合仿真将物理实体精准映射到虚拟
数字化模型，并利用双向交互反馈实现物理实体状态在数字空间的同步呈现，通过数字模型的诊断、分析和预测来优化物理
实体全生命周期的决策控制，最终实现实体与数字模型的协同发展。
9.2 特征
9.2.1 多领域综合的数字化模型
9.2.2 以模型为核心的数据采集与组织
9.2.3 双向映射、动态交互、实时连接和迭代优化
9.2.4 推演预测与分析等智能化功能
9.3 数字孪生体的生命周期
数字孪生系统是某个产品、某个系统在其生命周期中的一个具象表达，是一个包括物理实体、虚拟实体以及虚实之间的交互
迭代关系，并最终形成以实体对象或行为” 以实到虚” 全要素层级映射、” 以虚控实” 为目标的体系，所以称之为 Digital twins，
区别于 Digital twin（数字孪生体）。
根据数字孪生体的特征和功能将其生命周期分为三个阶段：
9.3.1 前期阶段——数字胚胎
定义 9.3.1 (数字胚胎阶段). 数字胚胎阶段是” 以虚拟实” 阶段。数字胚胎是在物理实体对象设计阶段产生的，数字胚胎先于
物理实体对象出现，所以用数字胚胎去表达尚未实现的物理对象的设计意图是对物理实体进行理想化和经验化的定义。
9.3.2 中期阶段——数字化映射体
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系统建模与仿真笔记 第九章 数字孪生仿真 Tsui Dik Sang
定义 9.3.2 (数字化映射体阶段). 数字化映射体阶段的功能为以虚映实。通过对物理对象的多层级数字化映射，建立面向物
理实体与行为逻辑的数据驱动模型，孪生数据是数据驱动的基础，可以实现物理实体对象和数字化映射对象之间的映射，包
括模型行为逻辑和运行流程，并且这个映射模拟会根据实际反馈，随着物理实体的变化而自动做出相应的变化。
9.3.3 后期阶段——孪生体智能
定义 9.3.3 (孪生体智能阶段). 孪生体智能阶段是数字孪生体具备智能化的阶段，该阶段数字孪生体继承了前面两个阶段的
数据和模型，同时借助大数据挖掘和智能算法，按照” 知识模型-智慧决策-精准执行” 的方式精准控制物理实体对象，以达
到” 以虚控实” 的功能目标。
数字孪生体的三个生命周期阶段体现了从虚拟设计到实体映射再到智能控制的渐进式发展过程，实现了数字化技术对物
理实体全生命周期的深度融合与优化。
9.4 数字孪生的技术基础
定义 9.4.1 (数字孪生的技术基础). 数字孪生的技术基础是指在数字孪生这一概念出现之前，就已经广泛研究和应用的技术。
这些技术的发展促使” 数字孪生” 这一概念的产生，同时，数字孪生技术的出现和发展也会对这些技术产生新的发展需求。
这些技术主要包括建模仿真技术、虚拟制造技术和数字样机技术。
9.4.1 建模仿真技术
9.4.1.1 模型
定义 9.4.2 (模型分类). 模型是对现实系统有关结构信息和行为的某种形式的描述，是对系统的特征与变化规律的一种定量
抽象，是人们认识事物的一种手段或工具。模型大致可以分为三类：
1. 物理模型：指不以人的意志为转移的客观存在的实体，如飞行器研制中的飞行模型、船舶制造中的船舶模型等。
2. 形式化模型：用某种规范表述方法构建的、对客观事物或过程的一种表达。形式化模型实现了一种客观世界的抽象，便
于分析和研究。例如，数学模型，是从一定的功能或结构上进行抽象，用数学的方法来再现原型的功能或结构特征。
3. 仿真模型：指根据系统的形式化模型，用仿真语言转化为计算机可以实施的模型。
推论 9.4.1 (建模体系). 模型的构建一般都会有一套规范的建模体系，包括模型描述语言、模型描述方法、模型构建方法等。
数学就是一种表达客观世界最常用的建模语言。在软件工程里面常用的统一建模语言（UML）也是一种通用的建模体系，支
持面向对象的建模方法。
9.4.1.2 数字制造模型
定义 9.4.3 (数字制造模型). 在制造行业，数字制造模型是数字制造全生命周期中的一个不可缺少的工具。数字制造全生命
周期包括数据处理、数字传输、执行控制、事务管理和决策支持等，它是由一系列有序的模型构成的，这些有序模型通常为：
功能模型、信息模型、数据模型、控制模型和决策模型。
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系统建模与仿真笔记 第九章 数字孪生仿真 Tsui Dik Sang
定理 9.4.2 (数字制造模型分类). 数字制造模型有多种分类方式：
• 从形式上分：有全局结构模型（如制造系统体系结构）、局部结构模型（如 FMS 模型）、产品结构模型和生产计划调
度模型等
• 从方法上分：有数学解析模型（如状态空间模型）、图示概念模型（如 IDEF 模型）及图示—解析混合模型（如 Petri
网模型）等
• 从功能上分：有结构描述模型、系统分析模型、系统设计实施模型和系统运行管理模型等
推论 9.4.3 (数字制造模型的主要对象). 在数字制造中，需要用模型加以描述的对象包括：
1. 产品：产品的生命周期需要采用各种产品模型和过程模型来描述
2. 资源：机器设备、资金、各种物料、人、计算设备、各种应用软件等制造系统中的资源，需要用相应模型描述
3. 信息：对数字制造全过程的信息的采集、处理和运用，需要建立适当的信息模型
4. 组织和决策
：将数字制造的组织和决策过程模型化是实现优化决策的重要途径
5. 生产过程：将生产过程模型化是实现制造系统生产、调度过程优化的前提
9.4.1.3 仿真
定义 9.4.4 (仿真技术的产生). 在对一个已经存在或尚不存在但正在开发的系统进行研究的过程中，为了了解系统的内在特
性，必须进行一定的试验，由于系统不存在或其他一些原因，无法在原系统上直接进行实验，只能设法构造既能反映系统特
征又能符合系统实验要求的系统模型，并在该系统模型上进行实验，于是，仿真技术就产生了。
定义 9.4.5 (模拟与仿真的区别). • 模拟（Simulation）：选取一个物理的或抽象的系统的某些行为特征，用另一系统来
表示它们的过程。
• 仿真（Emulation）：用另一数据处理系统，主要是用硬件来全部或部分地模仿某一数据处理系统，使得模仿的系统能
像被模仿的系统一样接收同样的数据、执行同样的程序，获得同样的结果。
习惯上的” 计算机仿真” 应该是” 计算机模拟”。仿真就是建立系统的模型（数学模型、物理模型或数学—物理效应模
型），并在模型上进行实验。
定理 9.4.4 (仿真的定义). 仿真是建立在控制理论、相似理论、信息处理技术和计算技术等理论基础之上的，以计算机和其
它专用物理效应设备为工具，利用系统模型对真实或假想的系统进行实验，并借助于专家经验知识、统计数据和资料对实验
结果进行分析研究并做出决策的一门综合性和实验性的学科。
9.4.1.4 仿真模型
定义 9.4.6 (建模与仿真). 建模与仿真是指构造现实世界实际系统的模型和在计算机上进行仿真的复杂活动，它主要包括实
际系统、模型和计算机三个基本部分，同时考虑三个基本部分之间的关系，即建模关系和仿真关系。
• 建模关系：通过对实际系统观测和检测，在忽略次要因素及不可监测变量的基础上，用规范表述方法（如数学的方法）
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系统建模与仿真笔记 第九章 数字孪生仿真 Tsui Dik Sang
进行描述，从而获得实际系统的简化近似模型。
• 仿真关系：主要研究计算机程序的实现与模型之间的关系，其程序能为计算机所接受并在计算机上运行。
推论 9.4.5 (仿真研究过程). 仿真研究就是把构建好的形式化模型（如数学模型）放在计算机上运行求解。数学模型是人类
用数学语言描述客观事物的一种表达，它不能直接在计算机上进行运算。需要把数学模型转换成计算机可以理解的模型，即
按照计算机语言和计算机运算的特点进行重新构造模型，这个过程被称为仿真建模。
9.4.1.5 建模和仿真的一般过程
定理 9.4.6 (建模仿真的双重转换). 建模与仿真分别代表了两个不同的过程，整个过程有两个抽象和转换的过程：
1. 转换 1：从物理系统到形式化模型（如数学模型），这是物理空间到信息空间的一个抽象
2. 转换 2：形式化模型（如数学模型）到计算机仿真模型的转换，这个过程是为了保障仿真能顺利开展
9.4.1.6 建模仿真方法
定理 9.4.7 (建模方法选择原则). 在选择建模方法时，应该考虑被讨论的系统的特征，以及所要跟踪问题的性质。常用的仿
真建模方法包括静态/动态建模方法、连续/离散建模、随机/确定性建模方法以及面向对象和多智能体仿真建模方法。
推论 9.4.8 (不同抽象层级的建模方法). 每一种建模方法都适用于其特定的抽象层级范围：
• 系统动力学建模：适合较高的抽象层级，在决策建模中已经得到了典型应用
• 离散事件建模：支持中层和偏下层的抽象层级
• 基于智能体建模：适合于多抽象层级的模型，既可以实现较低抽样层级的物理对象细节建模，也可以实现公司和政府
等较高抽象层级的建模
9.4.2 虚拟制造技术
定义 9.4.7 (虚拟制造技术). 虚拟制造技术（Virtual Manufacturing Technology，VMT）是以虚拟现实和仿真技术为基础，
对产品的设计、生产过程统一建模，在计算机上实现产品全生命周期的模拟仿真，从设计、加工和装配、检验、使用到回收，
无需进行物理样品的制造，从产品的设计阶段开始就能够模拟出产品性能和制造流程，通过该种方式来优化产品的设计质量
和制造流程，优化生产管理和资源规划，最小化产品的开发周期以及开发成本，最优化制造产品的设计质量，最高化企业的
生产效率，从而形成企业强大的市场竞争力。
定理 9.4.9 (虚拟制造的特点). 虚拟制造的特点有：
1. 模型化：虚拟制造以模型为核心，本质上还是属于仿真技术，离不开对模型的依赖，涉及到的模型有产品模型、过程
模型、活动模型和资源模型
2. 集成化：虚拟制造以模型信息集成为根本，虚拟制造对单项仿真技术的依赖决定了它所面临的是众多的适应各单项仿
真技术的异构模型，如何合理地集成这些模型就成为虚拟制造成功的基础
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系统建模与仿真笔记 第九章 数字孪生仿真 Tsui Dik Sang
3. 拟实化：虚拟制造以拟实仿真为特色，主要指仿真结果的高可信度，以及人与这个虚拟制造环境交互的自然化。虚拟
现实（Virtual Reality，VR）技术是改善人机交互自然化的普遍认可的途径
9.4.2.1 虚拟制造的分类
定义 9.4.8 (虚拟制造的三种类型). 根据虚拟制造所涉及的工程活动类型不同，虚拟制造分成三类：
• 以设计为核心的虚拟制造（Design-centered VM）
• 以生产为核心的虚拟制造（Production-centered VM）
• 以控制为核心的虚拟制造（Control-centered VM）
这种划分结果也反映了虚拟制造的功能结构。
定理 9.4.10 (三种虚拟制造的具体内容). • 设计性虚拟制造：把制造信息引入到产品设计全过程，强调以统一制造信息
模型为基础，对数字化产品模型进行仿真、分析与优化，从而在设计阶段就可以对所设计的零件甚至整机进行可制造
性分析，包括加工工艺分析、铸造热力学分析、运动学分析、动力学分析、可装配性分析等。
• 生产性虚拟制造：在生产过程模型中融入仿真技术，是在企业资源（如设备、人力、原材料等）的约束条件下，实现
制造方案的快速评价以及加工过程和生产过程的优化。它对产品的可生产性进行分析与评价，对制造资源和环境进行
优化组合。
• 控制性虚拟制造：为了实现虚拟制造的组织、调度与控制策略的优化以及人工现实环境下虚拟制造过程中的人机智能
交互与协同，需要对全系统的控制模型及现实加工过程进行仿真。
9.4.3 数字样机技术
定义 9.4.9 (数字样机技术). 数字样机（Digital mock-up，DMU）技术兴起于 20 世纪 90 年代。数字样机技术是以 CAD/-
CAE/DFx（Design for X，是一种面向产品生命周期的设计理念，其中”X” 代表产品生命周期中某一环节，如装配、安装、
维护等）技术为基础，以机械系统运动学、动力学和控制理论为核心，融合计算机图形技术、仿真技术以及虚拟现实技术，
将多学科的产品设计开发和分析过程集中到一起，使产品的设计者、制造者和使用者在产品设计研制的早期就可以直观形象
地对产品数字原型进行设计优化、性能测试、制造仿真和使用仿真，为产品的研发提供了全新的数字化设计方法。
9.4.3.1 相关技术
定理 9.4.11 (数字样机技术的相关技术). 数字样机技术涉及的相关技术包括：
• 几何形体的计算机辅助设计（CAD）技术：用于机械系统的几何建模，或者用来展现机械系统的仿真分析结果
• 计算机辅助工程（CAE）技术，主要是有限元分析（FEA）技术
• 模拟各种工况的软件编程技术
• 控制系统设计与分析技术
• 优化分析技术
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系统建模与仿真笔记 第九章 数字孪生仿真 Tsui Dik Sang
9.4.3.2 数字样机的分类
定义 9.4.10 (数字样机分类). 按照实现功能的不同，数字样机可分为：
• 结构数字样机：主要用来评价产品的外观、形状和装配
• 功能数字样机：主要用于验证产品的工作原理，如机构运动学仿真和动力学仿真
• 结构与功能综合数字样机：综合前两者功能
9.4.3.3 数字样机特点
定理 9.4.12 (数字样机的主要特点). 1. 真实性：真实性是数字样机最本质的属性。包括：
• 几何真实性：数字样机具有和实际产品相同的几何结构与几何尺寸，相同的颜色、材质与纹理
• 物理真实性：数字样机具有和实际产品相同或相近的运动学与动力学属性
• 行为真实性：在外部环境的激励下，数字样机能够做出与实际产品相同或相近的行为响应
2. 面向产品全生命周期：数字化样机技术是对物理产品全方位的计算机仿真技术，包括产品的 CAD 模型、外观表示模
型、功能和性能仿真模型、各种分析模型（可制造性、可装配性等）、使用模型、维护模型和环境模型
3. 多领域多学科：复杂产品设计往往会涉及机械、控制、电子、液压、气动等多个不同的领域。要想对这些复杂产品进
行完整、准确的仿真分析，必须将多个不同的学科领域的子系统进行综合
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