数字信号处理
Jan 20, 2026·
·
28 min read
Dison Tsui
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数字信号处理笔记
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Tsui Dik Sang
2025 年 9 月 8 日——2026 年 2 月 9 日
t
x(t)
采样点
数字系统
x[n] y[n]
ZT
F
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
T
s
写在笔记之前
诚然，由于课时限制，我们只能浅尝辄止，许多深层次的理论和应用都未能深入探讨。不过，这门课程也算是用系统的思维
来理解和分析电路及各类工程系统的一个基础。
课程内容主要涉及复变函数理论，并融合了矩阵分析的相关知识。
Tsui Dik Sang
2026 年 1 月 3 日
2
目录
第一章 时域 5
1.1 序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 表示方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1.1 集合表示法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1.2 公式表示法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1.3 图形表示法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 常用典型序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2.1 单位脉冲序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2.2 单位阶跃序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2.3 正弦序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2.4 复指数序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2.5 周期序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 序列的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 经典分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4.1 线性系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4.2 时不变系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4.3 因果系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4.4 稳定系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 求解方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5.1 零输入与零状态响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5.2 卷积法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5.3 递推解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 模拟采样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 频域分析法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 序列 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1.2 性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 周期序列的 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 离散与模型的 Fourier 的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Z 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4.2 序列特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 逆 z 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5.1 留数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5.2 部分分式展开法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.6 Z 变换的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3
数字信号处理笔记 目录 Tsui Dik Sang
1.2.7 利用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.7.1 因果性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.7.2 稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.7.3 利用 z 变换解差分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.7.4 全通滤波器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.7.5 梳状滤波器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.7.6 最小相位系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第二章 离散变换 18
2.1 离散 Fourier 变换 DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1.1 一些理解上的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1.2
循环卷积
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1.3 复共轭序列的 DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2.1 频率域采样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2.2 计算卷积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2.3 谱分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3.1 2FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3.2 序列的倒序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3.3 各级的旋转因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3.4 频域抽取法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3.5 利用对称性简化运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
第三章 数字滤波器 28
3.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1 分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2 技术指标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2.1 频率节点相关 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2.2 一些衰减相关 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2.3 纹波幅度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 常用模拟滤波器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Butterworth 滤波器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1.1 基础定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1.2 归一化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1.3 相关指数计算与设计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Chebyshev 滤波器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2.2 归一化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
第四章 笔记结束 32
4
第一章 时域
1.1 序列
1.1.1 表示方法
1.1.1.1 集合表示法
定义 1.1.1 (离散时间信号).
x(n) = {x(n)|n ∈ Z} (1.1)
1.1.1.2 公式表示法
比如
x(n) = n
2
, n ∈ Z (1.2)
1.1.1.3 图形表示法
竖线 + 一个小黑点
1.1.2 常用典型序列
与连续有一些不同，主要是因为一些定义习惯的不同
1.1.2.1 单位脉冲序列
定义 1.1.2 (单位脉冲序列).
δ(n) =
1, n = 0
0, n ̸= 0
(1.3)
1.1.2.2 单位阶跃序列
定义 1.1.3 (单位阶跃序列).
u(n) =
1, n ≥ 0
0, n < 0
(1.4)
1.1.2.3 正弦序列
5
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
定义 1.1.4 (正弦序列).
x(n) = sin(ωn) (1.5)
如果其是用模拟信号得到的
x(n) = x
a
(t)
t=nT
= sin(Ωt)
t=nT
= sin(ΩnT ) = sin(ωn) (1.6)
定义 1.1.5 (角频率). 离散时间信号的角频率
ω = ΩT (1.7)
其中这里的 T 指抽样的采样周期
1.1.2.4 复指数序列
定义 1.1.6 (复指数序列).
x(n) = e
σ +jω n
= e
σn
[cos(ωn) + j sin(ωn)] (1.8)
其中 ω ̸= 0
1.1.2.5 周期序列
定义 1.1.7 (周期序列). 若存在一个非零常数 N，使得对所有整数 n 都有
x(n) = x(n + N) (1.9)
则称序列 x(n) 为周期序列，N 为其周期
1.1.3 序列的运算
从略
1.1.4 经典分类
其实是重温信号与系统的知识
1.1.4.1 线性系统
记住标准定义式，都从此出发证明或证伪
定义 1.1.8 (线性系统). 设
x
1
(n)
system
→ T [y
1
(n)]
x
2
(n)
system
→ T [y
2
(n)]
(1.10)
线性系统满足
a
1
x
1
(n) + a
2
x
2
(n)
system
→ T [a
1
y
1
(n) + a
2
y
2
(n)] (1.11)
6
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
有一点易错的是
y(n) = 2x(n) + 3 (1.12)
是非线性的，但是根据定义其实也很容易证明
然后再来一个反直觉的例子
y(n) = x(n) sin(ωn) (1.13)
这实际上是一个线性系统
1.1.4.2 时不变系统
定义 1.1.9 (时不变系统). 设
x(n)
system
→ T [x(n)] (1.14)
若对任意整数 n0，有
x(n − n
0
)
system
→ T [x(n − n
0
)] = y(n − n
0
) (1.15)
则称系统 T 为时不变系统
推论 1.1.1 (时变性质的直观理解). 先延迟 (或提前) 再系统处理 与先系统处理再延迟 (或提前) 是一样的，这就是时不变系
统，否则时变
举一个例子清晰认识时变判断两边的过程
y(n) = x(−n) (1.16)
则
x(n − n
0
)
system
→ T [x(n − n
0
)] = x(−n − n
0
) (1.17)
显然不等于 y(n − n
0
) = x(−n + n
0
)，所以是时变系统。
如果从一个直观的理解就是先反向再右移动与先右移动再反向是不一样的
再看一个例子是
y(n) = x(n
2
) (1.18)
则
x(n − n
0
)
system
→ T [x(n − n
0
)] = x(n
2
− n
0
) (1.19)
显然不等于 y(n − n
0
) = x((n − n
0
)
2
)，所以是时变系统。
然而这却是一个线性系统
忍不住再举一个有趣的例子
7
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
y(n) =
n
X
k=0
x(k) (1.20)
这是一个时变且非线性系统，非线性这个结论有点反直觉，但是不难证明，请自证
1.1.4.3 因果系统
后面所有的判断都只围绕这个判据
定义 1.1.10 (因果系统).
h(n) = 0, n < 0 (1.21)
则称系统为因果系统
1.1.4.4 稳定系统
后面所有的内容也都只围绕下面的判据
定义 1.1.11 (稳定系统). 线性时不变系统稳定的充要条件是单位脉冲响应绝对可积
∞
X
n=−∞
|h(n)| < ∞ (1.22)
1.1.5 求解方法
1.1.5.1 零输入与零状态响应
略
1.1.5.2 卷积法
卷积本身就是起源于离散的
定义 1.1.12 (离散时间卷积和).
y(n) = x(n) ∗ h(n) =
∞
X
m=−∞
x(m)h(n − m) (1.23)
关于离散的卷积，书中提供了两种方法，分别是表解法和图解法，具体看 P14
1.1.5.3 递推解法
利用的其实是因果性
y(n) =
N
X
k=1
a
k
y(n − k) +
M
X
m=0
b
m
x(n − m) (1.24)
想要知道 y(n ) ，需要知道之前的输出值 y(n −1), y(n −2), . . . , y(n −N)，以及当前和之前的输入值 x(n), x(n −1), . . . , x ( n −M)
再利用一些归纳法技巧就可以得到最终的结果
1
1
至于归纳技巧如何使用，这个必须去看题
8
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
1.1.6 模拟采样
又是信号与系统讲过的 Nyquist 之类的东西，从略，
1.2 频域分析法
1.2.1 序列 Fourier
1.2.1.1 定义
先给出存在性条件
引理 1.2.1 (序列 Fourier 变换存在性条件). 序列 x(n) 的 Fourier 变换存在的充分必要条件是绝对可和
∞
X
n=−∞
|x(n)| < ∞ (1.25)
定义 1.2.1 (序列 Fourier 变换). 序列 x(n) 的 Fourier 变换定义为
X(e
jω
) =
∞
X
n=−∞
x(n)e
−jωn
= F T [x(n)] (1.26)
a
其中 ω 为连续变量，但是 n 为离散变量
a
再一些书里面写成 DTFT，从而与连续的做区分
推论 1.2.2 (离散 Fourier 级数). 序列 x(n) 的离散 Fourier 级数可以表示为
˜
X(k) = DFS[x(n)] =
N−1
X
n=0
x(n)e
−j
2π
N
kn
(1.27)
进一步的就可以定义出反变换
推论 1.2.3 (序列 Fourier 反变换). 序列 x(n) 的 Fourier 反变换可以推导出为
x(n) = IF T [X(e
jω
)] =
1
2π
ˆ
π
−π
X(e
jω
)e
jωn
dω (1.28)
2
1.2.1.2 性质
2
其实上面的这个定义以及结论完全可以由抽样的原始序列推得, 即
F (Ω) =
ˆ
+∞
−∞
f(t)e
−jΩt
dt
f(t) =
1
2π
ˆ
+∞
−∞
F (Ω)e
jΩt
dΩ
(1.29)
9
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
定理 1.2.4 (FT 的周期性).
X(e
j(ω+2π)
) = X(e
jω
) (1.30)
定理 1.2.5 (线性性). 若 x
1
(n)FTX
1
(e
jω
)，x
2
(n)FTX
2
(e
jω
)，则有
FT[a
1
x
1
(n) + a
2
x
2
(n)] = a
1
X
1
(e
jω
) + a
2
X
2
(e
jω
) (1.31)
定理 1.2.6 (时移与频移). 若 x(n)FTX(e
jω
)，则有
FT
[
x
(
n
−
n
0
)] =
e
−jωn
0
X(e
jω
) (1.32)
以及
FT[e
jω
0
n
x(n)] = X(e
j(ω−ω
0
)
) (1.33)
下面将讨论对称性，在这之前，先给出共轭对称序列的概念
定义 1.2.2 (共轭对称序列). 若序列 x(n) 满足
x(n) = x
∗
(−n) (1.34)
则称序列 x(n) 为共轭对称序列
定理 1.2.7 (共轭对称序列的虚实部分). 若序列 x(n) 为共轭对称序列，则其实部为偶序列，虚部为奇序列
同样的，类似于奇偶，可以有反
定义 1.2.3 (共轭反对称序列). 若序列 x(n) 满足
x(n) = −x
∗
(−n) (1.35)
则称序列 x(n) 为共轭反对称序列。其虚实部分的性质是反过来的
于是就可以对函数进行分解
引理 1.2.8 (序列的共轭对称分解). 任意序列 x(n) 都可以唯一地分解为一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列之和，即
x(n) = x
e
(n) + x
o
(n) (1.36)
同样的，这个结论适用于频域
3
我们现在对于同一个函数，在时域上将其分为实部和虚部
x(n) = x
r
(n) + jx
i
(n) (1.37)
然后在频域上将其分成共轭对称和共轭反对称——注意，在我写下下面的表达的时候，我并没有证明其共轭对称和共轭反对称的
性质，我只是先进行对应，接下来去证明其性质
X(e
jω
) = X
e
(e
jω
) + X
o
(e
jω
),
X
e
(e
jω
) =
∞
X
n=−∞
x
r
(n)e
−jωn
X
o
(e
jω
) = j
∞
X
n=−∞
x
i
(n)e
−jωn
(1.38)
3
我必须要完整的将书上的证明理解性地写上来，这对于你理解这个性质至关重要，否则你的脑海中还是一团浆糊，这个其实 ppt 上也有比书上更加详细的推
导，所以——货比三家
10
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
证明方法只需要将 e
jωn
展开成 cos(ωn) + j sin(ωn)，然后分别对实部和虚部进行奇偶分解即可
4
所以这个结论就清楚了
定理 1.2.9 (FT的时间虚实对应频域共轭对称性). 序列分成实部和虚部后，其FT具有如下性质
• 实数的 Fourier 变换是共轭对称的
• 虚数的 Fourier 变换是共轭反对称的
退一步的可以看看纯共轭的 Fourier 变换的性质
定理 1.2.10 (共轭序列的FT).
FT[x
∗
(n)] = X
∗
(e
−jω
) (1.39)
FT[x(−n)] = X(e
−jω
) (1.40)
其实直接根据对偶性
5
定理 1.2.11 (FT的时间共轭对应频域虚实). 序列分成共轭对称和共轭反对称后，其FT具有如下性质
• 共轭对称序列的 Fourier 变换是实数
• 共轭反对称序列的 Fourier 变换是虚数
如果被分析的函数是实序列，会有更加好看的结论
推论 1.2.12 (实序列的FT). 实序列的FT为共轭对称的
定理 1.2.13 (卷积定理). 若 x(n) = FT[X(e
jω
)]，h(n) = FT[H(e
jω
)]，则有
FT[x(n) ∗ h(n)] = X(e
jω
)H(e
jω
) (1.41)
定理 1.2.14 (相乘). 有点复杂
FT[x
1
(n)x
2
(n)] =
1
2π
ˆ
π
−π
X
1
(e
jθ
)X
2
(e
j(ω−θ)
)dθ (1.42)
定理 1.2.15 (Parseval 定理).
∞
X
n=−∞
|x(n)|
2
=
1
2π
ˆ
π
−π
|X(e
jω
)|
2
dω (1.43)
最后，记住 P44 的表格
4
但是实际上书上是没有写这个的，直接就对应上了，有一点突兀与不严谨。展开证明的部分详见 ppt
5
什么是对偶性？其实这里没有讲清楚，不过证明方式类似，用对偶性去理解是最方便的
11
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
1.2.2 周期序列的 Fourier
仍然是信号与系统的处理方法，周期函数肯定不是绝对可和的，于是只能引入冲激函数首先，周期性函数序列如下
˜x(n) = ˜x(n + N ) (1.44)
首先，Fourier 级数还是存在的
定理 1.2.16.
˜x =
∞
X
k=−∞
a
k
e
j
2π
N
kn
(1.45)
其中
a
k
=
1
N
N−1
X
n=0
˜x(n)e
−j
2π
N
kn
(1.46)
上面的 a
k
证明从略。然后有一个引理
引理 1.2.17 (复指数序列的 Fourier 变换).
X(e
jω
) = 2 π
∞
X
k=−∞
δ(ω − ω
0
− 2πk) (1.47)
于是就可以得到
定理 1.2.18 (周期序列的 Fourier 变换). 周期序列的 Fourier 变换为
X(e
jω
) =
2π
N
∞
X
k=−∞
˜
X
k
δ
ω −
2π
N
k
(1.48)
其中
˜
X
k
=
N−1
X
n=0
˜x(n)e
−j
2π
N
kn
(1.49)
然后一些基本的 Fourier 变换也请看表 P47
1.2.3 离散与模型的 Fourier 的关系
首先根据采样过程有公式
ˆx(n) =
∞
X
m=−∞
x(nT )δ(t − nT ) (1.50)
对上式做 Fourier 变换，有
ˆ
X(Ω) = ··· =
∞
X
k=−∞
x
a
(nT )e
−jΩnT
(1.51)
换入
ω = ΩT
x(n) = x
a
(nT )
(1.52)
得
X(e
jΩT
) =
∞
X
n=−∞
X
a
(Ω − jkΩ
s
) (1.53)
其中 Ω
s
=
2π
T
为采样频率
12
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
1.2.4 Z 变换
1.2.4.1 定义
这是信号与系统以及复变都没有怎么讲过的东西
定义 1.2.4 (Z 变换). 序列 x(n) 的 Z 变换定义为
X(z) =
∞
X
n=−∞
x(n)z
−n
(1.54)
其中 z ∈ C
定义 1.2.5 (收敛域).
∞
X
n=−∞
|x(n)z
−n
| < ∞ (1.55)
1.2.4.2 序列特性
定义 1.2.6 (有限长序列). 若序列 x(n) 在有限个 n 上非零，则称其为有限长序列可以将其表示成
x(n) =
n
2
X
n=n
1
x(n)z
−n
(1.56)
定义 1.2.7 (右序列). 指序列在 n ⩾ n
1
时序列不全为零，而在 n < n
1
时全为零
定义 1.2.8 (左序列). 指序列在 n ⩽ n
2
时序列不全为零，而在 n > n
2
时全为零
定义 1.2.9 (因果序列). 收敛点包含 z = ∞ 的序列
推论 1.2.19 (因果序列与右序列的关系). 因果序列一定是右序列，反之不然
定义 1.2.10 (双边序列). 左序列与右序列的和，可以理解为一个通式
1.2.5 逆 z 变换
给出一个基础的推论
6
6
证明需要用到复变函数
13
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
定理 1.2.20 (z 变换的反变换).
x(n) =
1
2πj
‰
C
X(z)z
n−1
dz (1.57)
其中 C 为包含收敛域的任意闭合曲线
当然，这是定义，现实中是不可能直接用这个去算的，
1.2.5.1 留数法
定理 1.2.21 (留数法).
x(n) =
X
Res[X(z)z
n−1
] (1.58)
这个无需多言，看复变函数去
1.2.5.2 部分分式展开法
首先先可证得
引理 1.2.22 (a
n
u(n) 的 z 变换).
FT[a
n
u(n)] =
1
1 − az
−1
, |z| > |a| (1.59)
本质上是将
X(z)
z
=
A
1
z − p
1
+
A
2
z − p
2
+ ··· +
A
n
z − p
n
+ ··· (1.60)
于是
X(z) =
1
1 − p
1
z
−1
+
1
1 − p
2
z
−1
+ ··· +
1
1 − p
n
z
−1
+ ··· (1.61)
进而就可以用上面的引理得出了。
1.2.6 Z 变换的性质
定理 1.2.23 (线性性). 若 x
1
(n)ZTX
1
(z)，x
2
(n)ZTX
2
(z)，则有
ZT[a
1
x
1
(n) + a
2
x
2
(n)] = a
1
X
1
(z) + a
2
X
2
(z) (1.62)
定理 1.2.24 (时移). 若 x(n) = ZT[X(z)]，则有
ZT[x(n − n
0
)] = z
−n
0
X(z) (1.63)
定理 1.2.25 (序列乘指数). 若 x(n) = ZT[X(z)]，则有
ZT[a
n
x(n)] = X(a
−1
z) (1.64)
14
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
定理 1.2.26 (序列乘 n 的). 若 x(n) = ZT[X(z)]，则有
ZT[nx(n)] = −z
dX(z)
dz
(1.65)
定理 1.2.27 (复共轭序列的 ZT).
ZT[x
∗
(n)] = X
∗
(z
∗
) (1.66)
定理 1.2.28 (初值定理).
x(0) = lim
z→∞
X(z) (1.67)
定理 1.2.29 (终值定理). 若 x(n) 为因果序列，且当 n → ∞ 时收敛于有限值，则有
lim
n→∞
x(n) = lim
z→1
(z − 1)X(z) (1.68)
定理 1.2.30 (卷积定理). 若
X(z) = ZT[x(n)] R
x−
< |z| < R
x+
Y (z) = ZT[y(n)] R
y −
< |z| < R
y +
(1.69)
ZT[x(n) ∗ y(n)] = X(z)Y (z) R
w−
< |z| < R
w+
(1.70)
其中
R
w−
= max(R
x−
, R
y −
)
R
w+
= min(R
x+
, R
y +
)
(1.71)
定理 1.2.31 (复卷积定理). 若
X(z) = ZT[x(n)] R
x−
< |z| < R
x+
Y (z) = ZT[y(n)] R
y −
< |z| < R
y +
(1.72)
ZT[x(n)y(n)] =
1
2πj
‰
C
X(v)Y
z
v
dv
v
R
x−
R
y −
< |z| < R
x+
R
y +
(1.73)
其中 C 为包含收敛域的任意闭合曲线
定理 1.2.32 (Parseval 定理). 若
X(z) = ZT[x(n)] R
x−
< |z| < R
x+
Y (z) = ZT[y(n)] R
y −
< |z| < R
y +
(1.74)
则有
∞
X
n=−∞
x(n)y
∗
(n) =
1
2πj
‰
C
X(z)Y
∗
1
z
∗
dz
z
(1.75)
15
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
其中 C 为包含收敛域的任意闭合曲线, 收敛域为
max
R
x−
,
1
R
y +
< |z| < min
R
x+
,
1
R
y −
(1.76)
1.2.7 利用
1.2.7.1 因果性
上面已经不加证明的给出了
7
引理 1.2.33 (因果系统的收敛域). 因果系统的收敛域为 |z| > r 的区域,∞ 在收敛域内, 极点分布在某个圆内
8
1.2.7.2 稳定性
引理 1.2.34 (稳定系统的收敛域). 稳定系统的收敛域包含单位圆 |z| = 1
推论 1.2.35 (因果稳定系统的极点分布). 因果稳定系统的极点必须全部分布在单位圆内
1.2.7.3 利用 z 变换解差分方程
要求解的方程可以写成一般形式
N
X
k=0
a
k
y(n − k) =
M
X
k=0
b
k
x(n − k) (1.80)
两边走 z 变换，然后使用时延性质
Y (z)
N
X
k=0
a
k
z
−k
= X(z)
M
X
k=0
b
k
z
−k
(1.81)
于是
H(z) =
Y (z)
X(z)
=
M
X
k=0
b
k
z
−k
N
X
k=0
a
k
z
−k
(1.82)
然后求回逆变换回去即可。
7
还是要给一个清晰的思路，不难证明，先列出因果的条件
h(n) = 0, n < 0 (1.77)
于是写到 z 变换式子里就是
H
(
z
) =
∞
∑
n=−∞
h
(
n
)
z
−n
=
∞
∑
n=0
h
(
n
)
z
−n
(1.78)
然后可以知道当 |z| → ∞ 时，H(z) 一定收敛——其实我一直很不喜欢负指数这种写法，写成倒数的正指数会更直观一些
8
只需要证明 1 是收敛的即可，关注收敛性的结论
∞
∑
n=0
|h(n)| < ∞ =
∞
∑
n=0
|h(n)||1|
−n
(1.79)
于是就可以知道 |z| = 1 在收敛域内
16
数字信号处理笔记 第一章 时域 Tsui Dik Sang
1.2.7.4 全通滤波器
定义 1.2.11 (全通滤波器). 若系统的传递函数满足
|H(e
jω
)| = 1 (1.83)
则称该系统为全通滤波器
定理 1.2.36 (全通滤波器的传递函数).
H(z) =
N
X
k=0
a
k
z
−N+k
N
X
k
=0
a
k
z
−k
(1.84)
1.2.7.5 梳状滤波器
定理 1.2.37 (梳状滤波器的传递函数).
H(z) =
1 − z
−N
1 − az
−N
(1.85)
1.2.7.6 最小相位系统
9
前面已知对于因果稳定系统其的极点必须全部分布在单位圆内，而零点则没有这个限制，但是如果
定义 1.2.12 (最小相位系统). 若因果稳定系统的零点也全部分布在单位圆内，则称该系统为最小相位系统
9
更具体的参见自动控制原理笔记
17
第二章 离散变换
2.1 离散 Fourier 变换 DFT
先直接上定义
定义
2.1.1 (
离散
Fourier
变换
(DFT)).
对于一个长度为
M
的有限长序列
x
(
n
)
，，定义其
N
点
DFT
为
X(k) =
M−1
X
n=0
x(n)W
kn
N
, k = 0, 1, 2, . . . , N − 1 (2.1)
其中 W
N
= e
−j
2π
N
为旋转因子。或者就直接写成
a
X(k) =
N−1
X
n=0
x(n)e
−j
2π
N
kn
, k = 0, 1, 2, . . . , N − 1 (2.2)
a
旋转因子可能后面蝶形容易理解，但是放在这里其实是很容易搞混的
同样的有逆变换
定义 2.1.2 (离散 Fourier 逆变换 (IDFT)). 对于一个长度为 N 的有限长序列 X(k)，，定义其 N 点 IDFT 为
x(n) =
1
N
N−1
X
k=0
X(k)W
−kn
N
, n = 0, 1, 2, . . . , N −1 (2.3)
其中 W
N
= e
−j
2π
N
为旋转因子。或者就直接写成
x(n) =
1
N
N−1
X
k=0
X(k)e
j
2π
N
kn
, n = 0, 1, 2, . . . , N −1 (2.4)
2.1.1 基本性质
2.1.1.1 一些理解上的性质
首先从形式上与 Z 变换极度相似，所以先进行比较, 注意这里是有限长序列，所以 Z 变换是
X(z) =
N−1
X
n=0
x(n)z
−n
(2.5)
18
数字信号处理笔记 第二章 离散变换 Tsui Dik Sang
定理 2.1.1 (DFT 与 Z 变换的关系).
X(k) = X(z)|
z=e
j
2π
N
k
X(z) = X(e
jω
)|
ω =
2π
N
k
(2.6)
然后由复指数的周期性也可以得到该变换的周期性
定理 2.1.2 (DFT 的周期性). DFT 是周期为 N 的周期序列，即
X(k) = X(k + N ) (2.7)
这个周期性所反应的远不止如此
1
在前面的正逆变换中 x(n) 和 X(k) 都应该是有限长序列，但是由于周期性显然是不能的，于
是引入了周期性延拓的概念
定义 2.1.3 (周期性延拓).
˜x(n) =
∞
X
m=−∞
x(n + mN ) (2.8)
称为序列 x(n) 的周期性延拓。而
x(n) = ˜x(n ) R
N
(n) (2.9)
称为序列 ˜x(n) 的主值序列
同样的在变换中也可以将周期性的部分定义为由主值序列周期性延拓而来
推论 2.1.3 (DFT 的周期性延拓). 有限长序列 x(n) 的 N 点 DFTX(k) 等于其周期性延拓序列 ˜x(n) 的 DTFT
˜
X(k) 的主值
序列，
这个结论在后面的频率采样还会提到，必须要理清楚关系
还有线性性，显然的
定理 2.1.4 (DFT 的线性). DFT 具有线性性质，即
ax
1
(n) + bx
2
(n) ⇒ aX
1
(k) + bX
2
(k) (2.10)
2.1.1.2 循环卷积
首先需要引入相应的定义来适配
定义 2.1.4 (循环移位). 对长度为 N 的序列 x(n)，其循环移位定义为
y(n) = x((n + m))
N
R
N
(n) (2.11)
这里是左移了 m 位，
直接用符号比较抽象，给出循环移位的基本运算
2
1
书 P86
2
然而也确实抽象的
19
数字信号处理笔记 第二章 离散变换 Tsui Dik Sang
推论 2.1.5 (循环移位基本运算).
y(n) = x((n + m))
N
=
N−1
X
l
=0
x(l)R
N
((l − m − n))
N
(2.12)
定理 2.1.6 (时域循环移位性质). 对长度为 N 的序列 x(n)，其 DFT 为 X(k)，则其循环移位后的序列 y(n) = x((n + m))
N
的 DFT 为
Y (k) = W
−km
N
X(k) (2.13)
定理 2.1.7 (频域循环移位性质). 对长度为 N 的序列 x(n)，其 DFT 为 X(k) ，则其循环移位后的序列 Y (k) = X((k + m))
N
的 IDFT 为
y(n) = W
nm
N
x(n) (2.14)
目前找不到很好的理解方式，先记住公式吧
接着就可以定义循环卷积了
定义 2.1.5 (循环卷积). 对长度为 N 的序列 x
1
(n), x
2
(n)，其循环卷积定义为
y
(
n
) =
x
1
(
n
)
⊛
x
2
(
n
) =
N−1
X
m=0
x
1
(
m
)
x
2
((
n
−
m
))
N
(2.15)
同时也记作
y(n) = x
1
(n) ⃝
L
x
2
(n) (2.16)
书中用了矩阵的方式来表示循环卷积，非常的方便，将 x((n − m))
L
表示成
x(0) x(N − 1) x(N − 2) ··· x(1)
x(1) x(0) x(N − 1) ··· x(2)
x(2) x(1) x(0) ··· x(3)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x(N − 1) x(N − 2) x(N − 3) ··· x(0)
(2.17)
于是
记住这个矩阵，就基本上会运算了
20
数字信号处理笔记 第二章 离散变换 Tsui Dik Sang
定理 2.1.8 (循环卷积). 这里的 x(n) 是一个倒序！
y(0)
y(1)
y(2)
.
.
.
y(N − 1)
=
x
2
(0) x
2
(N − 1) x
2
(N − 2) ··· x
2
(1)
x
2
(1) x
2
(0) x
2
(N − 1) ··· x
2
(2)
x
2
(2) x
2
(1) x
2
(0) ··· x
2
(3)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
2
(N − 1) x
2
(N − 2) x
2
(N − 3) ··· x
2
(0)
h(0)
h(1)
h(2)
.
.
.
h(N − 1)
(2.18)
接下来终于可以讲定理了
定理 2.1.9 (循环卷积定理). 对长度为 N 的序列 x
1
(n), x
2
(n)，其 DFT 分别为 X
1
(k), X
2
(k)，则其循环卷积序列 y(n) =
x
1
(n) ⊛ x
2
(n) 的 DFT 为
Y (k) = X
1
(k)X
2
(k) (2.19)
反之亦然。
也是就是说，还是那句话，时域卷积对应频域乘积，频域卷积对应时域乘积，不过这里是循环卷积而已。
2.1.1.3 复共轭序列的 DFT
由于定义区间的原因，所谓的对称都是关于 N/2 对称，而不是 0 对称
定义 2.1.6 (有限长共轭对称序列和共轭反对称序列). 对长度为 N 的序列 x(n)，若满足
x(n) = x
∗
((N − n))
N
(2.20)
则称其为有限长共轭对称序列；若满足
x(n) = −x
∗
((N − n))
N
(2.21)
则称其为有限长共轭反对称序列。
直接给定理
定理 2.1.10 (复共轭序列的 DFT). 对长度为 N 的序列 x(n)，其 DFT 为 X(k)，则其复共轭序列 x
∗
(n) 的 DFT 为
X
∗
((N − k))
N
(2.22)
最后，
推论 2.1.11. 虚实与共轭对称与变换后共轭反对称互相对应的结论仍然成立，尽请查看 Fourier 变换部分。
2.1.2
应用
2.1.2.1 频率域采样
还是关于之前主值序列的结论，有一个显而易见的结论
21
数字信号处理笔记 第二章 离散变换 Tsui Dik Sang
推论 2.1.12 (频率采样不失真条件). 需要满足采样点 N 大于等于信号长度 M，即 N ≥ M，才能保证通过 N 点 DFT 和
IDFT 变换不失真地恢复出原始信号。
2.1.2.2 计算卷积
明确定义域是研究函数的首要步骤，明确长度对于算卷积也是！
引理 2.1.13 (不同长度序列的循环卷积). 对于长度为 N 的 h(n) 和长度为 M 的 x(n)，其循环卷积定义为
y(n) =
L−1
X
m=0
h(m)x((n − m))
L
R
L
(n) L ⩾ max(N, M ) (2.23)
在计算前首先需要补 0，h(n) 补 L − N 个 0，x(n) 补 L − M 个 0。
直接计算即可，没什么可说的。推到了一个线性卷积和循环卷积的关系，
定理 2.1.14 (线性卷积与循环卷积的关系).
y
c
(n) =
"
∞
X
i=−∞
y
l
(n + iN )
#
R
L
(n) (2.24)
即线性卷积可以看作是循环卷积的周期性延拓的主值序列。并且需要满足
L ⩾ N + M − 1 (2.25)
为了更直观地理解线性卷积与循环卷积的关系，可以用“发传单”的例子来说明：
• 线性卷积：将 A 队（h(n)）视为“发传单的人”，B 队（x(n)）视为“接传单的人”。每个发传单的人依次与所有接
传单的人“握手”，并按顺序排队站好，最终的结果长度为 N + M − 1。
• 循环卷积：可以看作是线性卷积的结果在长度为 L 的范围内进行周期性延拓，并取主值序列。
这种类比有助于理解卷积的本质以及长度的关系。
2.1.2.3 谱分析
首先是一个 Fourier 常识：
引理 2.1.15 (时域频域的有限与无限). 频域有限的信号时域必然是无限的，时域有限的信号频域必然是无限的。
所以不存在有限长的带限信号。
设信号
• (连续信号) 持续时间 T
p
，
• (连续信号) 最高频率 f
c
，
• (对连续信号的时域连续采样信号) 长度
N =
T
p
T
s
= T
p
f
s
(2.26)
22
数字信号处理笔记 第二章 离散变换 Tsui Dik Sang
• 采样频率 f
s
。
• 采样间隔 T
s
=
1
f
s
。
• 频谱分辨率 F =
1
T
p
3
定义 2.1.7 (信号持续时间). (连续信号) 持续时间 T
p
。
定义 2.1.8 (信号最高频率). (连续信号) 最高频率 f
c
。
定义 2.1.9 (采样信号长度). (对连续信号的时域连续采样信号) 长度
N =
T
p
T
s
= T
p
f
s
(2.28)
定义
2.1.10 (
采样频率
).
采样频率
f
s
。
定义 2.1.11 (采样间隔). 采样间隔 T
s
=
1
f
s
。
定义 2.1.12 (频谱分辨率). 频谱分辨率 F =
1
T
p
。
引理 2.1.16 (不发生频率混叠的条件). 为了避免频率混叠，采样频率 f
s
应满足
f
s
⩾ 2f
c
(2.29)
推论 2.1.17 (观察时间和采样频率的选取). 为了满足上面的不发生频率混叠的条件，同时又要有较高的频谱分辨率 F ，应满
足
N >
2f
c
F
T
p
⩾
1
F
(2.30)
其实还是很抽象，吃透例题 3.4.2，可能应该就没有问题了
4
3
但是好像后面又有
T
p
⩾
1
F
(2.27)
其实后面的意思是说要达到某个频谱分辨率 F，至少要观察多长时间，一般都会取等号
4
中间 ppt 上似乎漏过了一大块没有讲，直接空投到泄露
23
数字信号处理笔记 第二章 离散变换 Tsui Dik Sang
定义 2.1.13 (频谱泄露). 由于采样频率有限，导致频域分量无法完全表示出原始信号的频谱，从而引起的频谱失真现象，称
为频谱泄露。
也就是说截取时长要等于周期的整数倍才行，否则会泄露。
5
2.1.3 FFT
为何要有这个，就是想要在 DFT 的时候偷懒，所以我们先来看看老实计算 DFT 的计算复杂度
引理 2.1.18 (DFT 计算复杂度). 直接计算 N 点 DFT 需要 N
2
次复乘和 N(N − 1) 次复加。
于是我们想要简化，简化的依据是旋转因子 W
kn
N
的周期性和对称性
引理 2.1.19 (旋转因子的周期性和对称性). 旋转因子 W
kn
N
满足
W
k(n+N )
N
= W
(k+N )n
N
= W
kn
N
(2.31)
以及
W
k+
N
2
N
= −W
kn
N
(2.32)
然后还有两个杂七杂八的性质
推论 2.1.20 (特殊点和可约性).
W
0
N
= 1, W
N
2
N
= −1 (2.33)
W
nk
N
= W
mnk
mN
= W
nk
m
N
m
(2.34)
6
2.1.3.1 2FFT
设序列的长度 N 满足 N = 2
M
，
7
于是将原始序列按照奇数偶数分成两个序列
x
1
(n) = x(2n), n = 0, 1, 2, . . . ,
N
2
− 1
x
2
(n) = x(2n + 1), n = 0 , 1, 2, . . . ,
N
2
− 1
(2.35)
于是原始序列的 DFT 可以表示为
X(k) =
X
n=even
x(n)W
kn
N
+
X
n=odd
x(n)W
kn
N
=
N
2
−1
X
n=0
x(2n)W
k(2n)
N
+
N
2
−1
X
n=0
x(2n + 1)W
k(2n+1)
N
=
N
2
−1
X
n=0
x
1
(n)W
kn
N
2
+ W
k
N
N
2
−1
X
n=0
x
2
(n)W
kn
N
2
(2.36)
5
我的理解是周期性的信号相当于不会有截断, 也就不会有“缝合痕迹”，因此就不会解析出不存在的频率分量。
6
下面的推导过程一定要手写一次，或者至少也要打一次才有感觉
7
为何要是 2 的幂次方？可能是后面还要 4 分 8 分之类的，但是如果只是 2 的话显然不需要这么多
24
数字信号处理笔记 第二章 离散变换 Tsui Dik Sang
上面已经利用了可约性，下面利用对称性进一步的将式子分开，减少乘法计算量
X(k) = X
1
(k) + W
k
N
X
2
(k), k = 0, 1, 2, . . . ,
N
2
− 1
X
k +
N
2
= X
1
(k) − W
k
N
X
2
(k), k = 0, 1, 2, . . . ,
N
2
− 1
(2.37)
于是
原本的 N 点 DFT 变成了两个序列的 N/2 点 DFT。计算量就能减少了
接下来就要说蝶形了，
8
定义 2.1.14 (蝶形运算). 一个蝶形运算有三个输入，两个输出，对应两次加 (减) 和一次乘法，表示为
A, B, C
system
→
A + CB
A − CB
(2.38)
再来看看计算复杂度
9
推论 2.1.21 (2FFT 计算复杂度). 需要计算
N
2
log
2
N 次复乘和 N log
2
N 次复加。
然后如果 N/2 仍然是偶数，那么就可以一路分下去，
推论 2.1.22 (一路分解). 如果 M = 2
N
，那么最终分解为 N 个 1 点 DFT 和 M 级蝶形运算
接下来开始扩展，寻找规律
2.1.3.2 序列的倒序
如果我们要求输出是顺序的 0, 1, 2, . . . , N − 1，那么输入必然是乱序的，接下来介绍考研视频中提到的套路——原理不介绍
了！
定理 2.1.23 (序列的倒序). 对于输入端使用二进制的从高位开始加一，往低位进位的方法
2.1.3.3 各级的旋转因子
也不演了，直接背公式吧
定理 2.1.24 (各级的旋转因子). 对于 N 点的基 2FFT 运算流图的级数未 M = log
2
N, 第 L 级蝶形运算的旋转因子为
W
J·2
M−L
N
, J = 0, 1, 2, . . . , 2
L−1
− 1 (2.39)
然后讲旋转因子放到对应的流图中，相同流图的位置放的因子都是相同的——由此可以估计出具体的各个因子的个数。
关于编程计算，如有时间可了解，如无从略
8
图片又懒的画了，
9
先记住！
25
数字信号处理笔记 第二章 离散变换 Tsui Dik Sang
2.1.3.4 频域抽取法
可以理解为时域抽取法的对偶过程。
10
也就是说对于频域按奇偶分开，那么必然就反了过来，变成了正向输入顺序，输出乱
序下面来进行推导，这时候联想 eq. (2.37) 来对偶的对 x(n) 进行分解
X(k) =
N
2
−1
X
n=0
x(n)W
kn
N
+
N
2
−1
X
n=0
x
n +
N
2
W
k
(
n+
N
2
)
N
=
N
2
−1
X
n=0
x(n) + W
N
2
k
N
x
n +
N
2
W
kn
N
(2.40)
接下来就看看频域按照奇偶分开会怎么样
X(2m) =
N
2
−1
X
n=0
x(n) + x
n +
N
2
W
mn
N
2
, m = 0, 1, 2, . . . ,
N
2
− 1
X(2m + 1) =
N
2
−1
X
n=0
x(n) − x
n +
N
2
W
n
N
· W
mn
N
2
, m = 0, 1, 2, . . . ,
N
2
− 1
(2.41)
因而可以定义出
x
1
(n) = x(n) + x
n +
N
2
, n = 0, 1, 2, . . . ,
N
2
− 1
x
2
(n) =
x(n) − x
n +
N
2
W
n
N
, n = 0, 1, 2, . . . ,
N
2
− 1
(2.42)
上面是可以用蝶形运算的，而奇偶的频域部分也可以计算
X(2m) = X
1
(m), m = 0, 1, 2, . . . ,
N
2
− 1
X(2m + 1) = X
2
(m), m = 0,
(2.43)
不过要注意这个蝶形运算稍微有点不同！
定义 2.1.15 (蝶形运算 (频域抽取法)).
A, B
system
→
A + B
(A − B)W
index of A
N
(2.44)
同样的可以一路分解下去，不过这次是从右边分。
根据对偶性，其实也可能证明频域的方法计算量是一样的
推论 2.1.25 (频域抽取法计算复杂度). 需要计算
N
2
log
2
N 次复乘和 N log
2
N 次复加。
2.1.3.5 利用对称性简化运算
来源于课后作业题，还是非常有意思的，利用 Fourier 中以及这里前前后后反复提到的对称性进一步简化 FFT 的计算
第一题：已知两个实数序列的 N 点 DFT 分别为 X(k) 和 Y (k)，下面需要只能用一次 N 点 IFFT 计算序列 x(n) 和 y(n)
复数运算通过正交性是唯一可以通过一次运算得到两个的东西，这里应该充分运用虚实 DFT 以及共轭相关的对称性
11
首先
设出频域上，虚实分开
F (k) = X(k) + jY ( k) (2.45)
10
不过将推导过程重新写一次还是有助于加深理解，接下来我也将会这么做
11
其实也就两个，在我做的时候对这个对称还是有点晕，现在其实很清楚了
26
数字信号处理笔记 第二章 离散变换 Tsui Dik Sang
做一次 IFFT 后同样可以对应出共轭对称部分和共轭反对称部分, 由对称性可以知道其与 X(k), Y (k) 的逆变换一一对应，即
12
x(n) =
1
2
[f(n) + f
∗
((N − n))
N
]
y(n) =
1
2j
[f(n) − f
∗
((N − n))
N
]
(2.46)
已知 x(n) 是长度 2N 的有限长序列，X(k) 是其 2N 点 DFT，
• 已知 x(n)，设计一次 N 点 FFT 计算 X(k) 的算法
• 已知 X(k)，设计一次 N 点 IFFT 计算 x(n) 的算法
• 第一题用时域应该好理解的, 使用时域方法，先分解原序列
x
1
(n) = x(2n), n = 0, 1, 2, . . . , N − 1
x
2
(n) = x(2n + 1), n = 0 , 1, 2, . . . , N −1
(2.47)
接着列出 2N 点 DFT 最后求出来结果的样子
X(k) = X
1
(k) + W
k
2N
X
2
(k), k = 0, 1, 2, . . . , N − 1
X (k + N) = X
1
(k) − W
k
2N
X
2
(k), k = 0, 1, 2, . . . , N − 1
(2.48)
接着利用实数对称性找方法一次求出 X
1
(k), X
2
(k)
y(n) = x
1
(n) + jx
2
(n) (2.49)
做一次 N 点 FFT，根据实虚对应共轭对称和共轭反对称
X
1
(k) =
1
2
[Y (k) + Y
∗
((N − k))
N
]
X
2
(k) =
1
2j
[Y (k) − Y
∗
((N − k))
N
]
(2.50)
然后就可以求了
•
13
将 X(k) 分成两部分根据上面的式子可以将 X
1
(k), X
2
(k) 用 X(k) 表示出来
X
1
(k) =
1
2
[X(k) + X((k + N ))
N
]
X
2
(k) =
1
2
W
−k
2N
[X(k) − X((k + N ))
N
]
(2.51)
引理 2.1.26 (共轭对称序列的复数相乘后性质). 对于序列 x(n), 若其为共轭对称序列，则 jx(n) 为共轭反对称序列
容易证明因此构造
Y (k) = X
1
(k) + jX
2
(k) (2.52)
12
其实这里的虚部夹带了一个将 j 除过去的私货，并非共轭反对称的一般公式，知道就行
13
我一开始以为要用频域的 FFT，但是他还是用的时域，构造的式子还是上面的式子，注意看变换时候的对称！
27
第三章 数字滤波器
定义 3.0.1 (数字滤波器). 输入输出都是数字信号，也是通过数值运算改变信号频率成分的相抵比例，或滤除某些频率成分
3.1 基本概念
3.1.1 分类
关于滤波器的分类，不再赘述：低通、高通、带通、带阻等。不过对于数字滤波器，按照结构或者单位脉冲响应长度又可以
分为
定义 3.1.1 (有限冲激响应滤波器 (FIR)).
H(z) =
N
X
n=0
h(n)z
−n
(3.1)
定义 3.1.2 (无限冲激响应滤波器 (IIR)).
H(z) =
M
X
n=0
b(n)z
−n
1 +
N
X
n=1
a(n)z
−n
(3.2)
利用泰勒展开即可证明 eq. (3.2) 的单位脉冲响应是无限长的。
3.1.2 技术指标
3.1.2.1 频率节点相关
定义 3.1.3 (截止频率 ω
c
). 使得滤波器幅频特性下降到最大值的 1/
√
2 处的频率，记为 f
c
或 ω
c
定义 3.1.4 (通带截止频率 ω
p
). 使得滤波器幅频特性下降到通带允许最大衰减处的频率，记为 f
p
或 ω
p
定义 3.1.5 (阻带截止频率 ω
s
). 使得滤波器幅频特性下降到阻带允许最小衰减处的频率，记为 f
s
或 ω
s
3.1.2.2 一些衰减相关
28
数字信号处理笔记 第三章 数字滤波器 Tsui Dik Sang
定义 3.1.6 (通带最大衰减).
α
p
= 20 lg
max |H(e
jω
)|
min |H(e
jω
)|
, ω ∈ [0, ω
p
] (3.3)
对于低通滤波器，可以得出
定义 3.1.7 (阻带最小衰减).
α
s
= 20 lg
max |H(e
jω
1
)|
max |H(e
jω
2
)|
, ω
1
∈ [0, ω
p
], ω
2
∈ [ω
s
, π] (3.4)
推论 3.1.1 (低通滤波器通带最大衰减).
α
p
= −10 lg |H(jΩ
p
)|
2
α
s
= −10 lg |H(jΩ
s
)|
2
(3.5)
因此其实 α 相关定义和 ω 相关定义是及其有关的。
3.1.2.3 纹波幅度
δ 系列，从略。
3.2 常用模拟滤波器
首先先来看看模拟滤波器的一些基本设计思路有三种方式可以描述
定义 3.2.1 (模拟滤波器描述方式). 首先是冲激响应 h
a
(t), 然后是系统函数和频率响应函数
H
a
(s) =
ˆ
+∞
−∞
h
a
(t)e
−st
dt
H
a
(jΩ) = H
a
(s)|
s=jΩ
=
ˆ
+∞
−∞
h
a
(t)e
−jΩt
dt
(3.6)
设计时候一般考虑平方的函数
1
3.2.1 Butterworth 滤波器
3.2.1.1 基础定义
直接扔出其幅度平方函数
定义 3.2.2 (Butterworth 滤波器幅度平方函数).
|H
a
(jΩ)|
2
=
1
1 +
Ω
Ω
c
2N
(3.7)
接下来可以拆成正负部分，并且为了满足极点都在左边的因果稳定要求，可以推出
1
这意味着关注的更多的是幅值
29
数字信号处理笔记 第三章 数字滤波器 Tsui Dik Sang
定理 3.2.1 (Butterworth 滤波器系统函数).
H
a
(s) =
Ω
N
c
N−1
Y
k=0
h
s − Ω
c
e
jπ
2k+N +1
2N
i
(3.8)
可以证明其极点都在左半平面，且
H
a
(−s)H
a
(s) = |H
a
(jΩ)|
2
(3.9)
3.2.1.2 归一化
使用 3dB 截止频率归一化
推论 3.2.2 (归一化 Butterworth 滤波器).
G
a
s
Ω
c
=
1
N−1
Y
k=0
s
Ω
c
− e
jπ
2k+N +1
2N
(3.10)
从而
G
a
(p) =
1
N−1
Y
k=0
h
p − e
jπ
2k+N +1
2N
i
(3.11)
为了方便，简写一些极点
定义 3.2.3 (极点).
s
k
= Ω
c
e
jπ
2k+N +1
2N
p
k
= e
jπ
2k+N +1
2N
(3.12)
上式可以展开成
G
a
(p) =
1
p
N
+ b
N−1
p
N−1
+ ··· + b
1
p + 1
(3.13)
至于极点式与展开式的系数零点与 N 的关系都是可以查表得到的——无需担心。
3.2.1.3
相关指数计算与设计
代入 eq. (3.5)，可以得到
推论 3.2.3 (阶数 N 与参数的关系).
N =
lg k
sp
lg λ
sp
(3.14)
其中
k
sp
=
r
10
0.1α
s
− 1
10
0.1α
p
− 1
λ
sp
=
Ω
s
Ω
p
(3.15)
有兴趣的根据 eq. (3.5) 自行推导即可，上面的式子高度凝练了。
30
数字信号处理笔记 第三章 数字滤波器 Tsui Dik Sang
3.2.2 Chebyshev 滤波器
老师原话：“太麻烦了，考试不会考这个”，so……
与 Butterworth 的一个重要区别是——不是单调的！
3.2.2.1 定义
定义 3.2.4 (Chebyshev 滤波器幅度平方函数).
|H
a
(jΩ)|
2
=
1
1 + ε
2
C
2
N
Ω
Ω
c
(3.16)
其中 C
N
(x) 是 Chebyshev 多项式，定义为
C
N
(x) =
cos
N cos
−1
(x)
, |x| ≤ 1
cosh
N cosh
−1
(x)
, |x| > 1
(3.17)
3.2.2.2 归一化
注意这里使用的是 Ω
p
归一化
2
详情看几道例题吧，似乎也没什么可以讲的了
3
后面还有椭圆滤波器和 Bessel 滤波器，不过书本上连公式都少给，所以从略
2
也就是通带截止频率
3
实际上相当的看不懂，但是不急，蹲他最后一节课的 ppt
31
第四章 笔记结束
感谢各位读者的阅读！希望这些笔记对你们有所帮助。
Tsui Dik Sang
2025.12.25
32
参考文献
[1] 高西全, 丁玉美. 数字信号处理 (第四版)[M]. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2018.
33
Authors
Undergraduate in Information Engineering, School of System Science and Engineering, Sun Yat-sen University
Has rich practical experience in robotics, deep learning, etc., participated in multiple national-level competitions and won awards. Currently studying locomotion and manipulation related research, with strong interest in the application of reinforcement learning in robot control.