自动控制原理

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自动控制原理笔记

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Tsui Dik Sang

2025 年 9 月 8 日——2026 年 2 月 9 日

Real Part

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Imaginary Part

-1.5

-1

-0.5

0.5

1.5

Pole Trajectories as k varies from 0 to 10

Pole 1

data1

Pole 2

data2

Pole 3

data3

写在笔记之前

仍然是半学期速通的一本厚厚的书，但是吃了很多老本

Tsui Dik Sang

2025 年 11 月 30 日

第一章基本模型 6

1.1 常见模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 系统分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 控制系统模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 时域模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 复数域模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

第二章线性系统 7

2.1 时域分析法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 性能指标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1.1 动态性能指标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1.2 稳态性能指标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 一阶系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 二阶系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3.1 推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3.2 分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.4 系统改善 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.4.1 PD 控制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.4.2 测速反馈系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.5 高阶系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.6 线性系统的稳定性分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.6.1 Hurwitz 判据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.6.2 Routh 判据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.7 线性系统的稳态误差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.8 系统类型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.8.1 推导和引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.8.2 阶跃输入的稳态误差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.8.3 斜坡输入的稳态误差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.8.4 加速度输入的稳态误差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 根轨迹法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 绘制准备 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1.1 根轨迹的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1.2 开环与与闭环 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1.3 根轨迹方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 绘制的基本法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2.1 起点与终点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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2.2.2.2 对称性与连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2.3 渐近线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2.4 实轴上的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2.5 分离点与分离角度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2.6 起始角度与终止角度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2.7 虚轴交点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2.8 根之和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 频域分析法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 典型环节 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2 开环幅相特性曲线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3 开环对数频率特性曲线 (Bode 图) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.4 频域稳定性判据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.4.1 数学依据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.4.2 闭合曲线的绘制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.4.3 推广到对数频率稳定判据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.5 稳定裕度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.5.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

第三章调整 24

3.1 校正方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1.1 按照连接方式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1.2 前馈校正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2 PID 校正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2.1 比例控制 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2.2 比例微分控制 PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2.3 比例积分控制 PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2.4 PID 校正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.3 常用校正装置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.4

频域特性校正方法

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.4.1 三频段理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.4.2 串联校正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.4.3 超前校正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 状态空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 建立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1.1 矩阵线性形式形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2.1 状态转移矩阵 (齐次) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2.2 非齐次 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.3 传递函数 (矩阵) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 能控性和能观性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1 基本定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2 判据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2.1 可控性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2.2 输出可控性判据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2.3 能观性判据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

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3.3.3 对偶原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.4 标准型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.5 结构分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.5.1 按能控性分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.5.2 按能观性分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 稳定性以及 Lyapunov 方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1 Lyapunov 第一方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.2 Lyapunov 第二方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5 校正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.1 零极点对消 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.2 反馈控制系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.2.1 状态反馈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.2.2 输出反馈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.3 对能控能观系统的影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.3.1 状态反馈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.3.2 输出反馈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.4 极点配置问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.4.1 规范算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.4.2 解联立方程法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5.4.3 输出反馈配置极点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5.4.4 采用从输出到

x 的反馈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5.5 状态观测器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5.5.1 全维观测器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5.5.2 降维状态观测器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

第四章自动控制原理笔记结束 36

第一章基本模型

1.1 常见模型

从略，懂物理的也都懂这些。因此不再推导

1.2 系统分类

参见信号与系统笔记，也不赘述。

1.3 控制系统模型

1.3.1 时域模型

仍不赘述，只讲一下非线性微分方程的线性化，以二元为例

y = f(x

, x

) = f(x

, x

) +



∂f

∂x



∆x



∂f

∂x



∆x



∂

∂x



∆x

+ 2



∂

∂x



∆x



∂

∂x



∆x

+ ···

(1.1)

对于模态，在时域上也有涉及，但是不及在复数域上那么方便，因此不再讨论

1.3.2 复数域模型

可以说是 s 域，这在信号与系统中详细讲到了，不再赘述。

第二章线性系统

2.1 时域分析法

2.1.1 性能指标

2.1.1.1 动态性能指标

定义 2.1.1 (上升时间 t

). -

• 单位阶跃响应从终值 10% 上升到终值 90% 所需的时间

• 对于有振荡的系统，通常取从 0% 第一次上升到 100% 所需的时间

定义 2.1.2 (峰值时间 t

). 指响应超过其终值第一次达到峰值所需的时间

定义 2.1.3 (调节时间 t

). 指系统响应进入并保持在其终值 ±5% 范围内所需的时间

定义 2.1.4 (超调量 σ%).

σ% =

c(t

) − c(∞)

c(∞)

× 100% (2.1)

其中 c(t

) 为系统响应在峰值时间 t

时的值，c(∞) 为系统响应的稳态值.

若 c(t

) < c(∞)，则响应无超调。

2.1.1.2 稳态性能指标

没有动态的这么多变，只需要比较一些值即可，表征的是系统的控制精度，从略。

2.1.2 一阶系统

研究系统，实际上是先从图开始的，由图 g. 2.2

R(s)

C(s)

图 2.1: 一阶系统的示意图

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

可以得出微分方程

T c(t) + c(t) = r(t) (2.2)

进而得出一阶系统的标准形式

定理 2.1.1 (一阶系统的标准形式). 一阶系统的传递函数可表示为

Φ(s) =

T s + 1

(2.3)

其中 T 为系统的时间常数.

之后的分析无论是电路基础等课程都已经详细学到，从略。

2.1.3 二阶系统

2.1.3.1 推导

s(s+2ξω

)

R(s)

C(s)

图 2.2: 一阶系统的示意图

仍然是从图来的得出微分方程

c(t)

dc(t)

+ Kc(t) = Kr(t) (2.4)

得出二阶系统的标准形式

定理 2.1.2 (二阶系统的标准形式). 二阶系统的传递函数可表示为

Φ(s) =

+ 2ζω

s + ω

(2.5)

其中

• ω

为系统的固有频率

• ζ =

√

为系统的阻尼比

2.1.3.2 分析

根据 ζ 的不同，二阶系统可分为

• ζ > 1：过阻尼系统

• ζ = 1：临界阻尼系统

• 0 < ζ < 1：欠阻尼系统

• ζ = 0：无阻尼系统

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

• ζ < 0: 不稳定系统 (不考虑)

分析有时间再写，其实是参考了弹簧振动系统，可参考大一的力学，不再赘述分析过程。

但是分析一下欠阻尼系统的动态指标还是有必要的

首先来给一些定义

定义 2.1.5 (阻尼频率 ω

= ω

1 − ζ

(2.6)

阻尼频率 ω

是系统在阻尼作用下的振荡频率.

定义 2.1.6 (衰减系数 σ).

σ = ζω

(2.7)

衰减系数 σ 是系统振荡幅值衰减的指标.

进一步的再构造

β = arctan

1 − ζ

= arccos ζ (2.8)

于是欠阻尼形式下的单位阶跃响应为

c(t) = 1 −

1 − ζ

−ζω

sin(ω

t + β) (2.9)

令 c(t

) = 1 ，解得

推论 2.1.3 (欠阻尼系统的上升时间).

π − β

(2.10)

对 eq. (2.9) 求导，令其为 0，解得

推论 2.1.4 (欠阻尼系统的峰值时间).

(2.11)

计算峰值得

c(t

) = 1 −

1 − ζ

−

ζπ

√

1−ζ

sin(π + β) = 1 + e

−

ζπ

√

1−ζ

(2.12)

于是

推论 2.1.5 (欠阻尼系统的超调量).

σ% = e

−

ζπ

√

1−ζ

× 100% (2.13)

调节时间的计算依赖与要求的误差有多少

∆ = |c(t) − c(∞)| =



−ζω

1 − ζ

sin(ω

t + β)



⩽

−ζω

1 − ζ

(2.14)

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

推论 2.1.6 (几个误差下的调节时间). 在 2ζ ⩽ 0. 8 时，有

• ∆ = 0.05 时，t

≈

3.5

ζω

• ∆ = 0.02 时，t

≈

4.4

ζω

2.1.4 系统改善

2.1.4.1 PD 控制

R(s) C(s)

s(s+2ξω

)

图 2.3: PD 控制系统

由图 g. 2.3可知，开环函数 (第一个加号后作为输入到最终的输出)

G(s) =

(

E(s)

K(T

s + 1)



2ζω

+ 1



(2.15)

其中 K =

2ζ

, 再令











z =

= ζ +

，得闭环函数

Φ(s) =

s + z

+ 2ζ

s + ω

(2.16)

因此，

推论 2.1.7 (PD 控制的特性). 不改变自然频率 ω

，增大阻尼比 ζ，从而改善系统的动态性能.

相应的可以算出超调量等量，先不赘述

2.1.4.2 测速反馈系统

同样的算出开环传递函数和闭环传递函数

G(s) =

2ζ + K



2ζω

+ 1



(2.17)

其中开环增益 K =

2ζ+K

，闭环传递函数

Φ(s) =

+ 2ζ

s + ω

(2.18)

其中 ζ

= ζ +

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

s(s+2ξω

)

R(s) C(s)

图 2.4: 测速反馈系统

推论 2.1.8 (测速反馈的特性). 不改变自然频率 ω

，增大阻尼比 ζ，另一方面，虽然不改变闭环零点，但是其开环增益降低

更多的比较见 p98

2.1.5 高阶系统

本质上还是分析零点和极点，只会增加零极点个数，引入一些概念就结束

定义 2.1.7 (主导极点). 在高阶系统中，若某些极点的实部远小于其他极点的实部 (离虚轴较近) ，则这些极点称为主导极点.

2.1.6 线性系统的稳定性分析

按照系统的稳定性分成三类

定义 2.1.8. -

• 大范围稳定系统：系统在受到有界扰动时，无论扰动多大，取消扰动后，系统均能恢复到原来的平衡状态.

• 小范围稳定系统：系统在受到小范围有界扰动时，取消扰动后，系统能恢复到原来的平衡状态；但当扰动较大时，系

统不能恢复到原来的平衡状态.

• 不稳定系统：系统在受到扰动后，不能恢复到原来的平衡状态.

然后就又是信号与系统的内容，火速过一下充要条件

定理 2.1.9 (线性系统稳定性的充要条件). 脉冲响应

lim

t→∞

h(t) = 0 (2.19)

2.1.6.1 Hurwitz 判据

书上不给证明，因此这里也只给结论

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

定义 2.1.9 (Hurwitz 主行列式).

∆



··· 0

0 a

··· 0

0 a

··· 0

0 0 a

··· 0

0 0 a

··· 0

0 0 0 ··· a

n−1

0 0 0 ··· a

n−2



(2.20)

简单的说，就是两行两行地占，规则与 Routh 表的构建类似

定理 2.1.10 (Hurwitz 判据). 系统稳定的充要条件是 eq. (2.20) 中所有的主行列式均大于 0，即

∆

= a

> 0, ∆



> 0, ∆



0 a



> 0, ··· (2.21)

不过有一个简单点的结论，对于低阶的情况无脑记就行

推论 2.1.11 (低阶系统的稳定性判据). -

• n=2，各项系数均为正

• n=3，各项系数均为正，且 a

− a

> 0

• n=4，各项系数均为正，且 ∆

= a

− a

> 0, ∆

2.1.6.2 Routh 判据

是信号与系统的内容，请直接去看。, 不过 Routh 表还是看懂的，就是信号与系统的内容。

定义 2.1.10 (Routh 表).

··· 0

n−1

··· 0

n−2

−a

··· ··· 0

n−3

−a

··· ··· ··· 0

n−4

−c

··· ··· ··· ··· 0

··· ··· ··· ··· ··· 0

0 0 0 ··· 0

(2.22)

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

定理 2.1.12 (Routh 判据). 系统稳定的充要条件是 Routh 表的首列元素均为正，如果不稳定，符号的改变次数代表特征方

程正实部根的个数.

2.1.7 线性系统的稳态误差

在框图上的计算都是利用传递函数来计算的，所以定义处误差

定义 2.1.11 (误差).

E(s) = R(s) − H(s)C(s) (2.23)

而在反馈系统中有

(s) =

E(s)

R(s)

1 + G(s)H(s)

(2.24)

因此

e(t) = L T

−1

[Φ

(s)R(s)] (2.25)

因此稳态误差根据终值定理

定理 2.1.13 (稳态误差公式).

(∞) = lim

t→∞

e(t) = lim

s→0

sE(s) = lim

s→0

sR(s)

1 + G(s)H(s)

(2.26)

2.1.8 系统类型

2.1.8.1 推导和引入

通过下面的分类，可以迅速根据开环函数的形式判断系统的稳态误差

定义 2.1.12 (系统类型). 对于开环传递函数 G(s)H(s)，可以写成

G(s)H(s) =

i=1

(s − z

)

j=1

(s − p

)

(2.27)

• 若 ν = 0，则系统为 0 型系统

• 若 ν = 1，则系统为 I 型系统

• 若 ν = 2，则系统为 II 型系统

• III 型系统一般都很难稳定，因此不考虑

进而就可以代入 eq. (2.26)，得到

推论 2.1.14 (不同类型系统的稳态误差).

(∞) =

lim

s→0

ν+1

R(s)]

K + lim

s→0

(2.28)

可以看到影响稳态误差的因素：

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

系统类别

•• 开环增益

• 输入信号的形式和幅值

2.1.8.2 阶跃输入的稳态误差

显然由 eq. (2.28) 可以得到

定理 2.1.15 (阶跃输入的稳态误差).







1+K

, ν = 0

0, ν ⩾ 1

(2.29)

发现其中的 K 可以做文章，于是定义

定义 2.1.13 (静态位置误差系数 K

= lim

s→0

G(s)H(s) (2.30)

推论 2.1.16 (静态位置误差系数).







K, ν = 0

∞, ν ⩾ 1

(2.31)

2.1.8.3 斜坡输入的稳态误差

定理 2.1.17 (斜坡输入的稳态误差). 对于输入 r(t) = Rt，有











∞, ν = 0

, ν = 1

0, ν ⩾ 2

(2.32)

然后就又定义一个参数

定义 2.1.14 (静态速度误差系数 K

= lim

s→0

sG(s)H(s) (2.33)

推论 2.1.18 (静态速度误差系数).











0, ν = 0

K, ν = 1

∞, ν ⩾ 2

(2.34)

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

2.1.8.4 加速度输入的稳态误差

定理 2.1.19 (加速度输入的稳态误差). 对于输入 r(t) =











∞ ν = 0, 1

ν = 2

0 ν ⩾ 3

(2.35)

同理定义稳态加速度系数，不再赘述。

2.2 根轨迹法

类似于力学中的相图，即用数值画图的形式来描述不太好解析的极点问题。

2.2.1 绘制准备

2.2.1.1 根轨迹的定义

定义如下

定义 2.2.1 (根轨迹/根迹). 开环系统某一参数从 0to∞ 时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。

一句话，根轨迹可以大致看到参数变化使得极点零点的变化趋势，就可以定性的知道系统的稳定性

2.2.1.2 开环与与闭环

G(s)

H(s)

R(s)

C(s)

图 2.5: 闭环系统

对于这个系统容易推得其闭环传递函数

定义 2.2.2 (闭环传递函数).

Φ(s) =

G(s)

1 + G(s)H(s)

(2.36)

根据是否首一开环传递函数可以有下面两种等效的表示方法

G(s) =

(τ

s + 1)(τ

s + 1) ···(τ

s + 1)

(α

s + 1)(α

s + 1) ···(α

s + 1)

= K

∗

i=1

(s − z

)

j=1

(s − p

)

(2.37)

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

其中 K

为前向通路增益，K

∗

为前向根轨迹增益，两者只是相差了一个系数的关系

∗

= K

i=1

j=1

(2.38)

进一步的合并

G(s)H(s) = K

∗

i=1

(s − z

)

k=1

(s − z

)

j=1

(s − p

)

l=1

(s − p

)

(2.39)

定义 2.2.3 (开环根轨迹增益). 其中 eq. (2.39) 中的 K

∗

= K

∗

称为开环根轨迹增益，同样也是只相差一个比例常数。

代入 eq. (2.36)，得

定理 2.2.1 (闭环传递函数).

Φ(s) =

∗

i=1

(s − z

)

k=1

(s − z

)

j=1

(s − p

) + K

∗

i=1

(s − z

)

(2.40)

其中







f + m = q

n + h = p

由此可以得到一些结论

推论 2.2.2 (增益的关系). 闭环系统的根轨迹增益的关于开环系统的前向通路根轨迹增益 K

∗

, 对于单位反馈系统，闭环系统

的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益 (这点不理解)

推论 2.2.3 (极点零点的关系). 闭环零点由开环前向通路零点和开环反馈通路极点所决定，对于单位反馈系统，闭环零点就

等于开环前向通路零点.

2.2.1.3 根轨迹方程

由 eq. (2.40) 的分母可知，闭环系统的特征方程为

定理 2.2.4 (闭环系统的特征方程).

1 + G(s)H(s) = 0 (2.41)

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

或可用开环传递函数的定义来写

∗

i=1

(s − z

)

j=1

(s − p

)

= −1 (2.42)

对于复数域的方程，分部列等式是很好的思路，有两种经典分部方法

• 虚实分离

• 幅角模值分离

这里显然用第二种分离方法更好，因此由 eq. (2.41) 结合

−1 = 1 e

jπ(2k+1)

, k = 0, ±1, ±2, ··· (2.43)

得到下面两个等价方程

推论 2.2.5 (根轨迹方程 (模角形式)).











i=1

∠(s − z

) −

j=1

∠(s − p

) = (2k + 1)π

∗

j=1

|s − p

i=1

|s − z

(2.44)

2.2.2 绘制的基本法则

可以死记硬背

但是实际上会相当的抽象

，

2.2.2.1 起点与终点

取 K

∗

= 0 以及 K

∗

→ ∞ 时就可以解出

定理 2.2.6 (根轨迹的起点与终点). 开环系统的极点一定是闭环系统根轨迹的起点，开环系统的零点一定是闭环系统根轨迹

的终点.

反过来则不一定，在某些情况，比如在实际系统中通常 m ⩽ n ，于是有

∗

= lim

s→∞

j=1

|s − p

i=1

|s − z

= lim

s→∞

|s|

n−m

→ ∞ (2.45)

也就是说有的轨迹将会趋向于无穷远，条数为 n − m

如果 m > n ，则有 m − n 条轨迹会从无穷远处来

反正开卷考试

反正笔者在没预习的情况下直接听课根据 rule 来画图直接还是有点懵的，需要不停的翻书

无法严格证明，我的理解是有入就有出，如果出的太多，但是入的少了，那么剩下的没有匹配的就智能去无穷

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

2.2.2.2 对称性与连续性

根据根的共轭性很容易能够证明这个结论

定理 2.2.7 (对称性与连续性). 根轨迹关于实轴对称，且是连续的.

因此之后的研究就可以关注一边就行

根据有入又出可以形象得出下面结论

定理 2.2.8 (根轨迹的分支数). 根轨迹的分支数为 max(m, n).

2.2.2.3 渐近线

渐近线相当于是用来修正根轨迹方向的，表征的是趋向于无穷时根轨迹上点序虚实部比值，另一方面，确定线需要一个点以

及斜率，这里将求交点推导过程相当的复杂，这里不讲过程，只讲思路

• 近似 G(s)H(s)

• 拆开 s = x + jy，然后取极限求斜率

• 接着求交点

最终得到下面的结论

定理 2.2.9 (渐近线). 当开环有限极点数 n > m 时, 有 n −m 条根轨迹沿着一组渐近线趋向于无穷远处，这些渐近线与实轴

的交点为

j=1

−

i=1

n − m

(2.46)

斜率分别为

(2k + 1)π

−

, k = 0, 1, ··· , n − m − 1 (2.47)

2.2.2.4 实轴上的分布

使用相角条件 eq. (2.44) 可以得到

引理 2.2.10 (点在根轨迹上的充要条件).

−

= (2k + 1)π (2.48)

于是得到了一个可作为判据的条件

定理 2.2.11 (实轴上的分布). 实轴上的某一额区域，若其右边有奇数个开环极点与零点，则该区域上的点在根轨迹上.

2.2.2.5 分离点与分离角度

首先要知道分离的本质

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

引理 2.2.12 (分离点的代数意义). 分离或者相遇意味着该点在闭环特征方程上是重根。

而重根意味着求导为零，于是我们就可以求了, 对于此点需要同时满足

D(s) = 0 (2.49)

′

(s) = 0 (2.50)

使得 eq. (2.49) 和 eq. (2.50) 相除. 经过一波化简就得到了

定理

2.2.13 (

分离点

分离点是下面方程的解

i=1

s − z

−

j=1

s − p

(2.51)

对于分离角，不要求掌握，拓展为

(2k+1)π

2.2.2.6 起始角度与终止角度

意思是出入时候的角度方向

取一个极限即可证明，找一个无限趋近于出 (入) 点的点

• 所有开环极点以及零点到其向量的夹角可近似于到该点附近的极点 (零点) 的夹角

• 这个点以及其附近点的夹角不能忽略

因此有











= (2k + 1)π +

j=1,j̸=i

∠(p

− p

) −

l=1

∠(p

− z

)

= (2k + 1)π +

j=1

∠(z

− p

) −

l=1,l̸=i

∠(z

− z

)

(2.52)

移项

定理 2.2.14 (起始角度与终止角度).











θ = (2k + 1)π −

j=1,j̸=i

∠(p

− p

) +

l=1

∠(p

− z

)

θ = (2k + 1)π −

j=1

∠(z

− p

) +

l=1,l̸=i

∠(z

− z

)

(2.53)

2.2.2.7 虚轴交点

这意味着此时解为纯虚数，另一方方面，此时的系统应该是临界稳定的，利用 Routh 表可以得到此时的 K 值于是

定理 2.2.15 (虚轴交点). -

• 利用 Routh 表可以求出临界稳定时的 K

• 将 K

代入闭环特征方程，解出虚轴交点

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

2.2.2.8 根之和

相当于是硬拆 s 多项式的系数

当 n − m ⩾ 2 时，有下面的结论

定理 2.2.16 (根之和). 当 n − m ⩾ 2 时，根轨迹上所有点的实部之和为

(2.54)

本章节的内容以后有机会再做

2.3 频域分析法

实际上还是老路，模电、信号与系统等课程都已经反复提及了，这里我觉得可学的就是又引入了很多很多分析方法。相当的

繁琐，鉴于开卷，笔者不想写太多东西上来，因此很多内容将直接指向书本。

2.3.1 典型环节

参见书本 P203

• 惯性环节

• ……

定义 2.3.1 (最小相位以及非最小相位的比较). 差一个负号，因此相差 180°，也是参见 p203 的列表

2.3.2 开环幅相特性曲线

书本上有点绕，其实只需要理清楚画的是什么和什么的关系图，就很明朗了

定义 2.3.2 (开环幅相特性曲线). 开环传递函数 G(jω)H(jω) 值随频率 ω 变化的幅值和相位曲线.

因此需要注意的是，这个图画的不是关于 ω 的任何函数，而仅仅表示的是复平面上哪些点可以被取到哪些不能——类似于根轨

迹！ω 在其中可以理解为一个参数曲线的作用，因此可以在线上标上箭头，表示绘制的过程，但是最终的图实际上是静态的！

理解了整个就很好画图了，请读者查看 P210 的几道例题，就能懂了，不再赘述。至于什么所谓的概略图，不用管!

2.3.3 开环对数频率特性曲线 (Bode 图)

实际就是模电学过的内容，不过可以这里的归纳我觉得比模电详细更加规范一般，因此请参见 P215 的内容学习，这里不赘

述，只提几个注意的点

• 低频特性：看 ν

• 有振荡衰减环节的，在谐振频率 ω

= ω

1 − 2ξ

20 lg M

= 20 lg

2ζ

1 − ζ

(2.55)

进而可以求出 ξ

至少我现在的理解是这样

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

2.3.4 频域稳定性判据

2.3.4.1 数学依据

首先提到的是一个映射的幅角变换, 更一般的其实可以取参见复变函数的内容。描述的是一个复数变量 s 围绕的一个轨迹与

其经过变换的后的复数函数

F (s) =

(s − z

)(s − z

) ···(s − z

)

(s − p

)(s − p

) ···(s − p

)

(2.56)

的轨迹首先根据复数的幅角性质很容易得到

δ∠F (s) =

i=1

δ∠(s − z

) −

j=1

δ∠(s − p

) (2.57)

然后再对 s 平面上一个闭合曲线 Γ

在 s 顺时针运动一圈，其内部的零点和极点满足分析有

∀i, j, δ∠(s − z

) = δ∠(s − p

) = 2 kπ, k ∈ Z (2.58)

而对于外部的，显然 δ∠=0，因此

定理 2.3.1 (幅角原理). 设 s 平面闭合曲线 Γ

包围 F (s) 的 Z 个零点和 P 个极点，则 F (s) 包围原点的圈数为

R = P − Z (2.59)

在下面的分析中，我们一定要清楚，我们画的一直都是两条曲线，一条是 s 的，一条是 F(s) 的。

接下来有几个步骤，先列出，下面会对难理解的做更深入的解释

• 选取复变函数 F (s) = 1 + G(s)H(s)

• 选择闭合曲线 (指 s 的曲线)：由于稳定性要求，如果稳定则 F (s) 应该是没有零点在右边的，于是取右边无穷半圆 (具体看

书 P222-223)

• 闭合曲线绘制 (指映射到函数的闭合曲线)：这个比较难证明，接下来会讲

2.3.4.2 闭合曲线的绘制

首先对于开环系统都可以写成

G(s)H(s) =

· G

(s), ν > 0, |G

(j0)| < ∞ (2.60)

于是可以推得







A(0

) = ∞

φ(0

) = (−90

◦

)ν + ∠G

(j0

)

(2.61)

于是在原点附近可设曲线 Γ

为

s = εe

jθ

, θ ∈

(2.62)

且有

(εe

jθ

) ≈ G

(j0

) (2.63)

于是

G(s)H(s)



s=εe

jθ

≈ ∞e

j(−θν+∠G

(j0

))

(2.64)

这个近似在函数在 0 附近没有奇点都成立

ε → 0 ∴

→ ∞

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

来到这一步的，我的理解是：以此为基础作图，至少起点是知道的。

注意，

• 上面的一直在算 G(s)H(s) 实际的 F (s) 有一个一的便宜，可以理解为原点偏移到了 (-1,0)。

• 同时，根据对称性我们只画了一边，所以只要是从 (-1,0) 这个点的左边穿过其实就可以理解为穿越了

推论 2.3.2 (包围原点圈数计算).

R = 2N = 2(N

− N

−

) (2.65)

表示从上往下穿越，反之则相反

至此，我们可以引入定理了，

定理 2.3.3 (Nyquist 判据). 反馈系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线 Γ

不穿过 (−1, j0) 点且逆时针包围临界点 (−1, j0)

点的圈数 R 等于开环传递函数整实部极点数 P

表述起来有一点绕，不过就用下面的式子就可以解释得很清楚了

Z = P −R = P − 2N (2.66)

如果 P ̸= R，那么 Z = 0, 系统不稳定

G(s) =

(s) (2.67)

lim

s→0

(s) = 1 (2.68)

具体做几道题画一下图就很熟悉了

2.3.4.3 推广到对数频率稳定判据

实际上在模电中就已经学过了。这里从略，将会在后面的稳定裕度再讲, 不过这里可以列举一下穿越次数的统计

• 正穿越：在 L(ω) > 0dB 时, 由下往上穿越 (2k + 1)π 线一次

• 反穿越：在 L(ω) > 0dB 时, 由上往下穿越 (2k + 1)π 线一次

• 半穿越：同理可定义，从略

2.3.5 稳定裕度

这一章节关心的是，在相角或者幅值上距离临界点还有多远，

如果在复平面上，这个点就是 (−1, j0), 如果在对数频率图上，就是在模电中就已经解除过的东西

2.3.5.1 定义

定义 2.3.3 (相角裕度).

γ = 180

◦

+ ∠[G(jω

)H(jω

)] (2.69)

终点实际上这里是没有求的，但是看图中清一色的止于 j0+

自动控制原理笔记第二章线性系统 Tsui Dik Sang

其中截止频率满足 ω

满足

A(ω

) = |G(jω

)H(jω

)| = 1 (2.70)

定义 2.3.4 (幅值裕度).

h =

|G(jω

)H(jω

(2.71)

其中 ω

是穿越频率，满足

∠[G(jω

)H(jω

)] = −180

◦

(2.72)

推论 2.3.4 (稳定裕度判据). 系统稳定的充分必要条件是 γ > 0

◦

且 h > 1

然后这一章的内容也基本结束了

至少我觉得

第三章调整

3.1 校正方法

3.1.1 分类

3.1.1.1 按照连接方式

• 串联校正

• 并联校正 (反馈校正)

区别就是固有部分和校正装置连接是并联还是串联

3.1.1.2 前馈校正

在反馈网络之前就先进行整流滤波之类，再进入反馈回路。

• 按照扰动补偿

• 按照参考输入补偿

3.1.2 PID 校正

3.1.2.1 比例控制 P

只调增益，在 k

> 1 时，增益变大，响应速度变快，但是裕度变小。当 k

< 1 时，增益变小，响应速度变慢，但是裕度变大。

3.1.2.2 比例微分控制 PD

具有预测作用，在瞬态起作用，一般不单独起作用

推论 3.1.1 (PD 校正). PD 校正可以超前

这个根据其表达式就可以知

3.1.2.3 比例积分控制 PI

能提高稳态稳定性，但是可能会减弱动态的稳定性，不过随着时间越长，积分作用越大。

推论 3.1.2 (PI 校正). PI 校正可以滞后

3.1.2.4 PID 校正

自动控制原理笔记第三章调整 Tsui Dik Sang

定义 3.1.1 (PID 校正). 其传递函数为

U(s)

E(s)

= K

(1 +

+ T

s) (3.1)

因此实际上 PID 系统是通过改变系统的极点以及零点来达到校正的目的，这个更具体的题目应该去温故前面的知识得到。

3.1.3 常用校正装置

这应该是模电的知识，这里直接从略。

3.1.4 频域特性校正方法

3.1.4.1 三频段理论

定理 3.1.3 (三频段理论). 在开环频率响应中，存在三个频段

• 低频段：ω < ω

，主要影响稳态误差

• 中频段：ω

< ω < ω

，主要影响系统的稳定性

• 高频段：ω > ω

，主要影响系统的抗干扰能力

3.1.4.2 串联校正

超前 or 滞后，请结合具体的题目来看！

3.1.4.3 超前校正

通过串联一个网络进行相角的超前补偿

定义 3.1.2 (超前校正网络).

(s) =

1 + aT s

1 + T s

a > 1 (3.2)

关于 a 和 T 的物理网络性质从略，自己看书。至于可以调节的最大超前角频率由求导可得

√

(3.4)

此时的最大超前角为

推论 3.1.4 (最大超前角).

max

= sin

−1

(

a − 1

a + 1

) (3.5)

然后发现，其实没有这么难，不过还是要多做题找找感觉啊

关于稳态误差、I 型系统等请翻看 p117 左右的内容，有清晰的结论

注意书上这一部分是在 P259，不要以为是物理结构就将其漏掉

因为

(ω) = tan

−1

(aT ω) − tan

−1

(T ω) = tan

−1

(

(a − 1)T ω

1 + aT

) (3.3)

对其求导为零得

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在之后的求解步骤其实为

• 根据所需的裕度加上合适的比例得到需要的 φ

• 根据 eq. (3.5) 得到

推论 3.1.5 (超前校正参数 a).

a =

1 + sin φ

1 − sin φ

(3.6)

• 接着根据

T =

√

(3.7)

求出 T，上式的 ω

可以为一个满足题目要求的频率

• 套入 eq. (3.2) 即可

• 最后，一定要记得验算！

3.2 状态空间

对于多输入多输出系统 (MIMO) 将会有大用处

3.2.1 建立

3.2.1.1 矩阵线性形式形式

不废话，直接给出矩阵形式了

定义 3.2.1 (状态空间方程 (可控标准型)).







x = Ax + bu

y = cx

(3.8)

x =













, A =







0 1 0 ··· 0

0 0 1 ··· 0

··· a

n−1







, b =













, c =

1 0 ··· 0

(3.9)

这里的 A 矩阵又称为友矩阵

然后还可以表示成另外的形式

定义 3.2.2 (状态空间方程 (可观测标准型)). 方程形式不变







x = Ax + bu

y = cx

(3.10)

不过感觉对于普通的分析所获得的信息远远没有前面学到的方法多

课件上貌似一开始引入了很多矩阵运算相关的东西，进而从状态转移矩阵开始讲起，不急

自动控制原理笔记第三章调整 Tsui Dik Sang

系数

x =













, A =







0 0 ··· 0 −a

1 0 ··· 0 −a

0 0 ··· 1 −a

n−1







, b =







n−1







, c =

1 0 ··· 0

(3.11)

此时的 A 是友矩阵的转置

为什么是可控，为什么是可观测，后面会讲到的。

对于一个一般的微分方程如何构造成如此形式书上 P453 给了详细的步骤，不赘述。

还有一个对角型，再书本 p458，不赘述了

可以直接看 p455 开始的传递函数解法

如果传递函数长这样

G(s) =

Y (s)

U(s)

+ b

n−1

+ ··· + b

s + b

+ a

n−1

+ ··· + a

s + a

(3.12)

3.2.2 求解

除了方程，还需要一个初值

3.2.2.1 状态转移矩阵 (齐次)

定义 3.2.3 (状态转移矩阵). 系统的状态转移矩阵 Φ(t) 定义为

Φ(t) = e

= L

−1

[(sI − A)

−1

] (3.13)

推论 3.2.1 (原方程的解). 对于方程

x(t) = Ax(t) (3.14)

有解

x(t) = e

x(0) = Φ(t)x(0) (3.15)

当然，上面也可以写成时移的形式，从略，看 ppt 第三部分 p15。关于这个指数的计算，在矩阵分析中讲到了很多，最经典的就

是

引理 3.2.2 (利用 Laplace 变换).

−1

[(sI − A)

−1

] (3.16)

3.2.2.2 非齐次

公式变复杂了

给一个定理保持笔记的完备性

首先要通过 Laplace 变换获得传递函数

大概率也是不考的了

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推论 3.2.3 (非齐次的解).

(

) = Φ(

−

)

(

) +

Φ(t − τ)Bu(τ )dτ (3.17)

3.2.3 传递函数 (矩阵)

既然做了 Laplace 变换引入了 s，那么传递函数的概念也可以来了，在这里，应该是矩阵对建模部分提到的方程做 Laplace

变换从而将微分算符线性化，即可得出传递函数矩阵

推论 3.2.4 (传递函数矩阵).

G(s) =

Y (s)

X(s)

= C(sI − A)

−1

B + D (3.18)

实际计算的时候逆矩阵是一个较为繁琐的点。要记好逆矩阵公式哦

3.3 能控性和能观性

3.3.1 基本定义

(定义等有 ai 的时候再补全)

3.3.2 判据

3.3.2.1 可控性

定理 3.3.1 (Gramme 判据). 系统完全可控的充要条件是

∃t

> 0, W

) =

Aτ

dτ (3.19)

是非奇异的

定理 3.3.2 (秩判据). 线性定常系统完全可控的充要条件是

rankS = rank[B AB A

B ··· A

n−1

B] = n (3.20)

秩判据是最爽的

定理 3.3.3 (PBH 判据). 对矩阵 A 的任一特征值 λ

，有

rank[λ

I − A B] = n (3.21)

则系统是完全可控的

定理 3.3.4 (Jordan 标准型判据). 见 pptp42

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3.3.2.2 输出可控性判据

即要控制的是输出量

，自己看书

3.3.2.3 能观性判据

定理 3.3.5 (Gramme 判据). 系统完全能观的充要条件是

∃t

> 0, M

) =

Aτ

dτ (3.22)

是非奇异的

注意与能控性的是不同的

定理 3.3.6 (秩判据). 线性定常系统完全能观的充要条件是

rankV = rank







n−1







= n (3.23)

秩判据是最爽的

3.3.3 对偶原理

定义 3.3.1 (对偶性). 对于两个系统，如果

= A

= C

= B

(3.24)

那么就说这两个系统是对偶的

推论 3.3.7. 能观对应对偶系统的能控，反之亦然

3.3.4 标准型

上面讲过了，至于化简方法，先从略。

3.3.5 结构分解

首先是一个理论依据

引理 3.3.8 (线性变换对能控性和能观性的影响). 对于一个线性定常系统，经过非奇异变换后，其能控 (能观) 性不变

一个特殊的可控性罢了

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3.3.5.1 按能控性分解

先按照秩矩阵算 rankS = n

，然后从 S 中选取 n

个线性无关的列向量，然后再找加上任意两个列向量

然后计算出











A = T

−1









B = T

−1

B =









C = CT

(3.25)

最后得到的子可控部分为







¯c

(3.26)

剩下的不能控部分写成







¯c

(3.27)

3.3.5.2 按能观性分解

其实是构成了对偶的，如果从直观上理解，分离出的不可观子系统是与输出量没有任何联系的孤立部分。

与可控性构造类似，不过这次是利用可观性矩阵 V 进行构造——即选取独立的行向量，然后其余行再凑，接下来的步骤和

能控性基本一致。











A = T

−1









B = T

−1

B =









C = CT

(3.28)

3.4 稳定性以及 Lyapunov 方法

首先来明晰一些基础的定义: 所研究的是方程

x = f (x, t) (3.29)

在初始条件 (t

, x

) 下有唯一解

x = Φ( t, x

, t

) (3.30)

定义 3.4.1 (平衡状态). 若系统存在状态矢量，对于任意时间 t，都有

f(x

, t) = 0 (3.31)

则称该状态为平衡状态，

有几种稳定

• 不稳定

一般使用单位列向量

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• 稳定

• 渐进稳定

使用圆来定义的，从略先

3.4.1 Lyapunov 第一方法

定理 3.4.1 (线性系统稳定性判据). 对于线性定常系统







x = A x + bu

y = Cx

(3.32)

其平衡状态 x

= 0 渐进稳定的充要条件是矩阵 A 的所有特征值实部均小于零

3.4.2 Lyapunov 第二方法

是参考物理的能量守恒来进行构造的，即定义一个“能量函数”，然后通过这个函数利用能量越小越稳定的思想来进行证

明。

定义 3.4.2 (正定函数). 设 V (x) 是定义在 n 维空间 R

上的一个标量函数，且当 x = 0 时，V (0) = 0，当 x ̸= 0 时，

• V (x) > 0，则称 V (x) 为正定函数

• V (x) ≥ 0，则称 V (x) 为半正定函数

• V (x) < 0，则称 V (x) 为负定函数

• V (x) ≤ 0，则称 V (x) 为半负定函数

• V (x) 任意，则称 V (x) 为不定函数

对于二维和三维的一些函数，请参见 part3pptp48 对这些函数的定义

定理 3.4.2 (Lyapunov 稳定性判据). 如果对于系统存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 V (x, t)，满足

• V (x, t) 是正定的

•

V (x, t) 是负定的

则系统的平衡状态 x

= 0 是渐进稳定的。

进一步，肉 V (x, t) 还满足

lim

|x|→∞

V (x, t) = ∞ (3.33)

则系统的平衡状态 x

= 0 是大范围渐进稳定的

还有一个大范围稳定判据，但是非常的抽象

定理 3.4.3 (大范围稳定判据). 线性定常系统的状态方程为

x = Ax (3.34)

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那么其在 x

= 0 处大范围渐进稳定的充要条件是

∀Q = Q

> 0, ∃P = P

> 0 A

P + P A = −Q (3.35)

3.5 校正

3.5.1 零极点对消

直观上来说，应该是有关系的，消除也意味着有一些状态方程中原有的信息杯消除，那显然造成了不可控或者是不可观测，

于是就有了结论

定理 3.5.1 (能控能观的零极点判据). 充要条件是传递函数

W (s) = C(sI − A)

−1

B (3.36)

的分子分母之间没有零极点对消

3.5.2 反馈控制系统

实际上就是尝试在状态空间引入反馈控制

3.5.2.1 状态反馈

对应的框图见 pptP7，

定义 3.5.1 (状态反馈控制系统). 反馈控制律为

u = Kx + v (3.37)

于是状态空间变为







x = ( A + BK)x + Bv

y = Cx

(3.38)

记作

[(A + BK), B, C]

主要是这个 K 的引入可以改变系统的特征值

3.5.2.2 输出反馈

也就是反馈量来自于输出

定义 3.5.2 (输出反馈控制系统). 反馈控制律为

u = Hy + v (3.39)

于是状态空间变为







x = ( A + BHC)x + Bv

y = Cx

(3.40)

记作

[(A + BHC), B, C]

自动控制原理笔记第三章调整 Tsui Dik Sang

还有一个从输出到

x 的反馈，

定义 3.5.3 (输出到状态反馈控制系统).







= (

)

y = Cx

(3.41)

3.5.3 对能控能观系统的影响

3.5.3.1 状态反馈

定理 3.5.2 (状态反馈对能控性的影响). 状态反馈系统与原系统有相同的能控性

定理 3.5.3 (状态反馈对能观性的影响). 能观性质可能会改变

3.5.3.2 输出反馈

定理 3.5.4 (输出反馈对能控性与能观性的影响). 输出反馈系统与原系统有相同的能控性和能观性

3.5.4 极点配置问题

下面一个定理是可以进行配置的条件

引理 3.5.5 (极点配置的能控性条件). 采用状态反馈对系统

(A, B, C) 进行极点配置的必要充分条件是系统是完全能控的

证明从略，着重看方法

3.5.4.1 规范算法

• 首先判断能控性，这是接下来操作的基础

• 求 det(sI − A) = λ

+ a

n−1

+ ··· + a

λ + a

• 确定出能控标准型

= P

−1

AP =







0 1 0 ··· 0

0 0 1 ··· 0

−a

··· −a

n−1







(3.42)

写出假如状态反馈矩阵后的特征多项式

K = KT

···

n−1

(3.43)

(λ) = λ

+ (a

n−1

−

n−1

)λ

n−1

+ ··· + (a

−

)λ + (a

−

) (3.44)

• 根据期望闭环零点，写出期望的特征多项式

∗

(λ) =

i=1

(λ − λ

∗

) = λ

+ a

∗

n−1

+ ··· + a

∗

λ + a

∗

(3.45)

需要用到上面得到的 a

自动控制原理笔记第三章调整 Tsui Dik Sang

• 比较，确定出状态反馈矩阵

K =

− a

∗

− a

∗

··· a

n−1

− a

∗

n−1

(3.46)

• 最后反变换得到 K =

−1

3.5.4.2 解联立方程法

适用于低阶系统

• 设闭环系统

[(A + BK), B, C] 的特征多项式为

det[λI − (A + BK)] = λ

+ m

n−1

+ ··· + m

λ + m

(3.47)

• 然后与 eq. (3.45) 比较，解方程即可

3.5.4.3 输出反馈配置极点

能控不一定能配置

引理 3.5.6 (输出反馈极点配置的能控能观条件). 对完全能控的单输入单输出系统

(A, B, C)，并不能采用输出线性反馈来

实现闭环系统极点的任意配置

定理 3.5.7 (输出反馈极点配置的充分条件). 对完全能控能观的单输入单输出系统

(A, B, C), 通过带有动态补偿器的输出

反馈实现极点任意配置的充要条件是

•

完全能观

• 动态补偿器的阶数为 n − 1

3.5.4.4 采用从输出到

x 的反馈

引理 3.5.8 (从输出到状态反馈极点配置的能控条件). 采用从输出到状态反馈对系统

(A, B, C) 进行极点配置的必要充分

条件是系统是完全能观的

ppt 上还有镇定问题和解耦问题，从略

3.5.5 状态观测器

先来看定义

定义

3.5.4 (

状态观测器

构造一个

新系统

，利用原系统中可直接测量的输入量和输出量作为它的输入信号，并使得其输出

信号满足

lim

t→∞

|x(t) −

x(t)| = 0 (3.48)

3.5.5.1 全维观测器

从可观性的定义我们可以得到结论

自动控制原理笔记第三章调整 Tsui Dik Sang

推论 3.5.9 (全维观测器). 系统

(A, B, C) 存在全维状态观测器的充分必要条件是系统是完全能观的，此时其状态适量可

由输出 y 和输入 u 进行重构

对于不完全能观的系统，可以有

定理 3.5.10 (存在性). 对线性定常系统

(A, B, C)，状态观测器存在的充要条件是

(A, B, C) 的不能观子系统为渐近稳

定的

对于这些观测器的构造也是有一堆方法的，请自己去看吧。

3.5.5.2 降维状态观测器

也就是在有 m 个已经可以观测了，只需要对剩下的 n-m 个重构进行观测即可。

从略先了

第四章自动控制原理笔记结束

自动控制原理笔记大致梳理完毕

Tsui Dik Sang

2025.11.17

参考文献

[1] 胡寿松. 自动控制原理（第六版）[M]. 北京：科学出版社，2015.

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