通信原理

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通信原理笔记

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Tsui Dik Sang

2025 年 9 月 1 日——2026 年 2 月 9 日

convolutional decode.vi

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解码路径

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内容挺多的！实验课的 labview 也要用心学！

Tsui Dik Sang

2025 年 1 月 3 日

第一章基础部分 7

1.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 信息的度量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1.2 信息熵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 通信系统的性能指标 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2.1 速率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2.2 有效性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2.3 可靠性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 频域相关 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 许瓦兹不等式

∗

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 谱密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2.1 频谱密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2.2 能量谱密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2.3 功率谱密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2.4 周期性的功率信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 相关函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3.1 能量信号的自相关函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3.2 功率信号的自相关函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3.3 互相关函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 随机过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 从概率论的引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1.1 一维分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1.2 多维分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2 随机过程的数字特征 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2.1 数学期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2.2 方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2.3 相关函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2.4 协方差函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 平稳随机过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1.1 严格平稳过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1.2 广义平稳过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.2 性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2.1 各态历经性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2.2 平稳过程的自相关函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

通信原理笔记目录 Tsui Dik Sang

1.4.2.3 平稳过程的功率谱密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.3 平稳随机过程通过线性系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.3.1 均值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.3.2 自相关函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.3.3 功率谱密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.4 Gauss 随机过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.4.1 概率分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 窄带随机过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1 同相分量和正交分量的统计特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1.1 期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1.2 自相关函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.1.3 Gauss 统计过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.2 幅角表示的统计性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.3 应用：正弦波加窄带高斯噪声 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.4 Gauss 白噪声和带限白噪声 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.4.1 基本定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.4.2 低通白噪声 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.4.3 带通白噪声 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6 信道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1 分类介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1.1 无线信道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.1.2 有线信道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.2 数学模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.2.1 表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.3 多径传播 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.3.1 噪声 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.4 信道容量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.4.1 离散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.4.2 连续 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

第二章调制 29

2.1 模拟调制系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 调幅 (线性调制) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1.1 一般调幅 AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1.2 双边调制 DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1.3 单边调制 SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1.4 残留边带调制 VSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1.5 归纳 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2 解调 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2.1 包络检测 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3 抗噪声模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3.1 DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3.2 SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3.3 AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.4 非线性调制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.4.1 单音调制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

通信原理笔记目录 Tsui Dik Sang

2.1.4.2 窄带调频 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.4.3 宽带调频 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.5 调频信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.5.1 产生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.5.2 非相干解调 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.5.3 相干解调 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.6 FM 相同的抗噪性能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.6.1 大信噪比情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.6.2 小信噪比情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.7 比较 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 数字基带传输系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.1 数字基带信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.1.1 四种信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.1.2 频谱特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.2 码型选择 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2.1 AMI 码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2.2 HDB

码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2.3 双相码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2.4 CMI 码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2.5 nBmB 码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.3 传输模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.3.1 模型分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.3.2 消除码间串扰 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.3.3 无码间串扰的条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.3.4 无码间串扰的设计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.3.5 余弦滚降特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.4 抗噪声性能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.4.1 二进制双极性基带系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.4.2 单极性基带系统 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.5 一些要了解的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.5.1 眼图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.5.2 部分响应 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.5.3

修正

预编为差分码

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.5.4 一般部分响应波形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.5.5 信道均衡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 数字带通信号传输系统 (调制) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.1 原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.1.1 ASK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.1.2 FSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.1.3 PSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.2 抗噪声性能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.2.1 ASK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.3 正交振幅调制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.4 最小频移键控 MSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.4.1 正交性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

通信原理笔记目录 Tsui Dik Sang

2.3.4.2 相位连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.4.3 正交表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

第三章编码 54

3.1 信源编码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.1 抽样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.1.1 低通 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.1.2 带通 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.2 量化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.2.1 均匀量化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.2.2 非均匀量化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.2.3 A 压缩律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.2.4 13

折线压缩——

律的近似

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.2.5 µ 压缩律和 15 折线压缩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.3 脉冲编码调制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.3.1 编码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.3.2 噪声 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 差错码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.1 基本原理与定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.2 分组码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.2.1 纠错码与码距的一些结论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.3 线性分组码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.3.1 奇偶校验码引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.3.2 恒比码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.3.3 正负码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.3.4 一般线性码构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.3.5 利用矩阵构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.4 循环码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4.1 码字的多项式表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4.2 定义与性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4.3 生成矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.4.4 校验矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

第四章课内部分完结 64

第一章基础部分

1.1 基本概念

1.1.1 信息的度量

1.1.1.1 定义

首先必须要给信息一个定量数字的定义，Shannon 以概率称负相关的方式给出了信息量的定义，即

I = I[P (x)] (1.1)

其中 I 是单调递减函数接着根据概率的独立性

和信息的可加性

得出

I[P (A)P (B)] = I[ P (A)] + I[P (B)] (1.2)

显然，对数函数是既满足单调递减又满足 eq. (1.2) 的函数，所以信息的定义就有了。

定义 1.1.1 (信息量). 事件 x 所含的信息量定义为

I = log

P (x)

−

log

(

)

(1.3)

这里的 b 取不同会得到不同的单位，常用的有

• b = 2, 单位是比特 (bit)

• b = e, 单位是纳特 (nat)

• b

= 10

单位是哈特莱

(hartley)

一般 b 取 2

1.1.1.2 信息熵

有了上面的定义，考虑离散信源 X 的符号集 X = {x

, x

, ··· , x

}, 每个符号出现的概率分别是 P (x

), 显然

i=1

P (x

) = 1.

于是结合每一个元素出现的概率，可以得到平均信息量

如果 A 与 B 独立，则 P {A ∩ B} = P {A}P {B}

两段信息的信息量分别是 I

和 I

, 则同时收到两段信息的信息量是 I

+ I

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

推论 1.1.1 (平均信息量/信息熵).

H(X) = −

i=1

P (x

) log

P (x

) (1.4)

单位是 bit/符号，当然，如果用其他符号的话单位有所不同，但是测量的量是一样的。

1.1.2 通信系统的性能指标

1.1.2.1 速率

一个是以符号数作为度量

定义 1.1.2 (波特率/码元传输效率).

符号数

秒

(单位：波特，Baud) (1.5)

如果每个码元的长度为 T

秒，则

(1.6)

如果用比特作为单位，就是

定义 1.1.3 (比特率/信息传输速率).

R =

比特数

秒

(单位：比特每秒，bps) (1.7)

推论 1.1.2 (比特率与波特率的关系). 如果用 M 进制码元传输信息——即在 M 进制中的每一个比特出现的概率是相等的情

况下，则有

= R

log

M (1.8)

注意概率相等的前提非常关键，课本上没有提，但是在课后题中涉及到了

因此我们可以用信息量给出一个推论

推论 1.1.3 (比特率与波特率的一般关系). 对于任意离散信源，有

= R

H(X) (1.9)

其中 H(X) 是信源的平均信息量，单位是 (bit/符号)

1.1.2.2 有效性

表征的是对频带的利用率

定义 1.1.4 (频带利用率).

η =

(1.10)

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

单位是 (Baud/Hz)

1.1.2.3 可靠性

也是码元和比特分开有两种定义

定义 1.1.5 (误码率).

错误码元数

总码元数

(1.11)

定义 1.1.6 (误比特率).

错误比特数

总比特数

(1.12)

码元率显然会更高，因为只要码元总有一个比特错误，整个码元就错误了。

1.2 频域相关

这部分建议如果通信系统讲得不清楚，可以先去看看信号与系统第六章。

对于信号与系统学过的东西，比如什么 δ(t), 卷积等等不再赘述。在这里再给回几个引理

引理 1.2.1 (Fourier 系数). 对于一个周期函数 s( t) , 周期为 T

, 其 Fourier 系数为

= C(nf

) =

−

s(t)e

−j2πnf

dt (1.13)

同样可以写出其 Fourier 级数展开式

1.2.1 许瓦兹不等式

∗

引入这个概念的原因是为了度量两个信号的相关度。

定义 1.2.1 (信号的内积).

< x, y >=

+∞

−∞

∗

(t)y(t)dt (1.14)

特别的

=< x, x >=

+∞

−∞

|x(t)|

dt (1.15)

称为 x(t) 的能量。

接着进行归一化消除绝对大小的影响

定义 1.2.2 (归一化相关系数).

+∞

−∞

∗

√

dt (1.16)

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

先来看看下面的等式

+∞

−∞



x(t)

√

y(t)



dt ⩾ 0 (1.17)

将上式展开得

推论 1.2.2 (许瓦兹不等式).











|ρ

| ⩽ 1



+∞

−∞

∗

(t)y(t)dt



⩽ E

(1.18)

剩下的基本上都是复变以及信号与系统的内容

1.2.2 谱密度

引理 1.2.3 (Parseval 定理).

+∞

−∞

|x(t)|

dt =

+∞

−∞

|X(f)|

df (1.19)

并且补充一个 Fourier 级数的计算

引理 1.2.4 (Fourier 级数的级数).

−

s(t)e

−j2πnf

dt (1.20)

1.2.2.1 频谱密度

其实就是 Fourier 变换以 f 来表示

定义 1.2.3 (频谱密度). 一个信号的频谱密度实际上就是其 Fourier 变换

S(f) =

+∞

−∞

x(t)e

−j2πf t

dt (1.21)

表征的是每一个频率成分的幅值强弱。转换了这种理解之后，我们就可以引入更下面的定义了

1.2.2.2 能量谱密度

如果一个信号是能量信号，意味着其能量值有限，也就意味着下面的积分有界存在

E =

+∞

−∞

s(t)

dt < ∞ (1.22)

利用 theorem 1.2.3有

E =

+∞

−∞

s(t)

dt =

+∞

−∞

|S(f)|

df (1.23)

于是就可以定义

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

定义 1.2.4 (能量谱密度).

G(f) = |S(f)|

(J/Hz) (1.24)

1.2.2.3 功率谱密度

那么首先 eq. (1.22) 就不成立了，需要从极限的角度来求可能有限的功率谱，于是先从无限的功率信号中截取一个有限的能

量信号 s

(t), 范围是 −

< t <

, 对于这一段，能量积分是存在的

E(T ) =

+∞

−∞

(t)

dt =

+∞

−∞

(f)|

df =

−

s(t)

dt (1.25)

于是这一段的平均功率当然也是可求的

−

s(t)

dt =

+∞

−∞

(f)|

df (1.26)

注意到这一段虽然时间被截取了，但是在频域上是完整的，因此虽然无法给出时间上的功率密度，但是频域上是可行的

即

(f) =

(f)|

(1.27)

此时对 T 取极限 f 不受影响，于是就得出了功率谱密度的定义

定义 1.2.5 (功率谱密度).

P (f) = lim

T →∞

(f) = lim

T →∞

(f)|

(W /Hz) (1.28)

而信号的功率为

P =

+∞

−∞

P (f)df (1.29)

1.2.2.4 周期性的功率信号

与连续功率信号最大的不同就是频谱密度是离散的冲激函数线性和，如果直接用连续的函数去描述始终不是最恰当的，因此

在这里用离散功率谱 C

来描述

首先，对于周期函数描述一个周期与描述全周期是一致的，因此可不用极限形式，对于 eq. (1.26) 就是功率, 且结合 theo-

rem 1.2.3有

P =

−

s(t)

dt =

+∞

n=−∞

(1.30)

然后利用 δ 函数的性质强行引入积分即可根据 eq. (1.29) 得到

P =

+∞

−∞

+∞

n=−∞

δ(f − nf

)df (1.31)

式中被在 f 上积分的量就是功率谱密度

定理 1.2.5 (周期功率信号的功率谱密度).

P (f) =

+∞

−∞

δ(f − nf

) (1.32)

我是这样子理解的

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

实际上，

1.2.3 相关函数

1.2.3.1 能量信号的自相关函数

实际上和期望有关，在之后的随机过程中的定义就可以看到，可以用期望去进行定义

定义 1.2.6 (能量信号的自相关函数).

R(τ ) =

+∞

−∞

s(t)s(t + τ )dt (1.34)

一眼看上去和卷积是非常相似的，实际上也正是如此，不过要写成另外的形式稍稍变换一下

R(τ ) =

+∞

−∞

s(t)s(t − τ )dt = s(τ ) ∗ s(−τ) (1.35)

如果是对偶函数的话自相关就是直接可以和卷积等价。

推论 1.2.6 (自相关与卷积的关系). 当信号时偶函数时，自相关函数等于信号与自身的卷积

R(τ ) = s(τ ) ∗ s(τ) (1.36)

同理的对于互相相关函数也是类似的，从略

推论 1.2.7.

R(0) =

+∞

−∞

(t)dt = E (1.37)

另一个性质是偶函数性质

推论 1.2.8 (偶函数性质).

R(−τ ) = R(τ ) (1.38)

如果对 R(τ ) 进行 Fourier 变换，还有下面这个重要的结论

在脚注放一个结论，不太重要，第一期笔记留下的

证明.

+∞

−∞

∗

(t)y(t)dt =

+∞

−∞

∗

(t)

(

+∞

−∞

Y (f )e

j2πft

)

+∞

−∞

(

+∞

−∞

∗

(t)e

j2πft

)

Y (f )df

+∞

−∞

∗

(f)Y (f)df

(1.33)

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

定理 1.2.9 (自相关函数与能量谱密度的关系).

R(τ ) =

+∞

−∞

|S(f)|

j2πf τ

df (1.39)

1.2.3.2 功率信号的自相关函数

量纲变化，有一个

的区别

定义 1.2.7 (功率信号的自相关函数).

R(τ ) = lim

T →∞

−

s(t)s(t + τ )dt (1.40)

推论 1.2.10 (周期功率信号的自相关函数). 如果 s( t) 是周期功率信号，周期为 T

, 则

R(τ ) =

−

s(t)s(t + τ )dt (1.41)

同样有偶函数性质, 以及 R(0) = P 同样的也与功率谱密度有 Fourier 变换对的关系

定理 1.2.11 (自相关函数与功率谱密度的关系).

R(τ ) =

+∞

−∞

P (f)e

j2πf τ

df (1.42)

1.2.3.3 互相关函数

定义 1.2.8 (能量信号的互相关函数).

(τ) =

+∞

−∞

(t)s

(t + τ )dt (1.43)

偶函数性质不一定成立，转而与两个信号的次序有关

推论 1.2.12 (相对的互相关函数).

(τ) = R

(−τ) (1.44)

而对于想引入 Fourier 变换的关系，首先要引入另外一个定义

定义 1.2.9 (互功率谱密度).

(

) =

∗

(f)S

(f) (1.45)

于是有

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

定理 1.2.13 (互相关函数与互能量谱密度的关系).

(τ) =

+∞

−∞

(f)e

j2πf τ

df (1.46)

对于功率信号的互相关函数，定义类似

定义 1.2.10 (功率信号的互相关函数).

(τ) = lim

T →∞

−

(t)s

(t + τ )dt (1.47)

若两个信号是有共同周期的功率信号的话

定理 1.2.14 (功率信号的互相关函数与互功率谱密度的关系).

(τ) =

+∞

−∞

(f)e

j2πf τ

df (1.48)

然而这个定理实际上没有出现在任何一本书上，可能是我杜撰的

如果两个功率信号有公共周期 T

, 则 eq. (1.48) 还可以表示成

(τ) =

−

(t)s

(t + τ )dt (1.49)

同样定义互功率谱密度

定义 1.2.11 (互功率谱密度).

= ( C

)

∗

)

(n = 0, ±1, ±2, ···) (1.50)

称为两个周期功率信号的互功率谱密度

于是有

定理 1.2.15 (周期功率信号的互相关函数与互功率谱密度的关系).

(τ) =

+∞

n=−∞

j2πnf

(1.51)

1.3 随机过程

1.3.1 从概率论的引入

在概率论中学过分布函数，针对的是一个随机变量，对于信号，可以理解为无穷的随机变量的集合

因此定义稍稍增加了一

点

1.3.1.1 一维分布函数

书上并没有提有连续谱功率信号的互相关函数与互功率谱密度的关系，我的理解是取极限即使连续？

类似于泛函

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

定义 1.3.1 (随机过程的分布函数).

, t

) = P {ξ(t

) ⩽ x

} (1.52)

其实际上针对的是 t

时刻的信号取值的概率分布。因此有相应的概率密度函数

定义 1.3.2 (信号的一维概率密度函数).

, t

) =

∂F

, t

)

∂x

(1.53)

称为随机过程 ξ(t) 的一维概率密度函数

1.3.1.2 多维分布函数

方法是一样的，如果放在概统，这里表征的是两个时刻的联合概率

定义 1.3.3 (随机过程的二维分布函数). 对于固定的 t

和 t

时刻，把 ξ(t

) ⩽ x

和 ξ(t

) ⩽ x

同时成立的概率

, t

; x

, t

) = P {ξ(t

) ⩽ x

, ξ(t

) ⩽ x

} (1.54)

称为随机过程 ξ(t) 的二维分布函数

同样有概率密度函数

定义 1.3.4 (随机过程的二维概率密度函数).

, t

; x

, t

) =

∂

, t

; x

, t

)

∂x

(1.55)

称为随机过程 ξ(t) 的二维概率密度函数

进一步的扩展到多维

定义 1.3.5 (随机过程的 n 维分布函数和概率密度函数). 任意给定 t

, t

, ··· , t

∈ T , 定义

, t

; ··· ; x

, t

) = P {ξ(t

) ⩽ x

, ··· , ξ(t

) ⩽ x

} (1.56)

称为随机过程 ξ(t) 的 n 维分布函数

, t

; ··· ; x

, t

) =

∂

, t

; ··· ; x

, t

)

∂x

···∂x

(1.57)

称为随机过程 ξ(t) 的 n 维概率密度函数

1.3.2 随机过程的数字特征

都是概率论的内容，一笔带过

1.3.2.1 数学期望

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

定义 1.3.6 (随机过程的数学期望). 对于随机过程 ξ(t),

E[ξ(t)] =

+∞

−∞

(x, t)dx = a(t) (1.58)

称为随机过程 ξ(t) 在时刻 t 的数学期望，显然，这是关于 t 的确定函数，因此记为 a(t)

推论 1.3.1 (精确度). n 越大，对随机过程统计特性的描述越充分

1.3.2.2 方差

定义 1.3.7 (随机过程的方差).

D[ξ(t)] = E{[ξ(t) − E(ξ(t))]

} =

+∞

−∞

[x − a(t)]

(x, t)dx = σ

(t) (1.59)

称为随机过程 ξ(t) 在时刻 t 的方差，显然，这是关于 t 的确定函数，因此记为 σ

(t)

1.3.2.3 相关函数

定义 1.3.8 (随机过程的相关函数).

R(t

, t

) = E[ξ(t

)ξ(t

)] =

+∞

−∞

+∞

−∞

, t

; x

, t

)dx

(1.60)

称为随机过程 ξ(t) 在时刻 t

和 t

的相关函数

1.3.2.4 协方差函数

这是一个容易被遗忘的量

定义 1.3.9 (随机过程的协方差函数).

B(t

, t

) = E{[ξ(t

) − a(t

)][ξ(t

) − a(t

)]} (1.61)

称为随机过程 ξ(t) 在时刻 t

和 t

的协方差函数

容易知道

推论 1.3.2 (相关函数与协方差函数的关系).

B(t

, t

) = R(t

, t

) − a(t

)a(t

) (1.62)

当随机过程的数学期望为 0 时，二者相等

因此，这两个函数只要一个就能描述，之后都用相关函数

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

1.4 平稳随机过程

1.4.1 定义

1.4.1.1 严格平稳过程

先看一下严平稳过程的引入与定义

定义 1.4.1 (严格平稳过程). 如果随机过程 ξ(t) 的任意 n 维密度函数与时间起点无关，数学表示即

∀n ∈ N

, ∆t ∈ R, t

, t

, ··· , t

∈ T,

, t

; ··· ; x

, t

) = f

, t

+ ∆t; ··· ; x

, t

+ ∆t)

(1.63)

则称随机过程 ξ(t) 为严格平稳过程

则有两个推论

推论 1.4.1 (一维密度函数与时间无关).

(x, t, t

) = f

) (1.64)

推论 1.4.2 (二维密度函数只与时间差有关).

, t

; x

, t

) = f

, x

; τ) (1.65)

其中 τ = t

− t

1.4.1.2 广义平稳过程

根据 eq. (1.63) 可以推出平稳随机过程的一些数字特征

推论 1.4.3 (严格平稳过程的数学期望 (一维)).

E[ξ(t)] =

+∞

−∞

(x, t)dx =

+∞

−∞

(x, t + ∆t)dx = E[ξ(t + ∆t)] = a (1.66)

推论 1.4.4 (严格平稳过程的自相关函数 (二维)).

R(t

, t

) = E[ξ(t

)ξ(t

+ τ )] =

+∞

−∞

+∞

−∞

, t

; x

, t

+ τ )dx

= R(τ ) (1.67)

归纳这两个特征就可以定义广义平稳过程

定义 1.4.2 (广义平稳过程). 如果随机过程 ξ(t)

• 数学期望与时间无关

• 自相关函数只与时间差有关

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

则称随机过程 ξ(t) 为广义平稳过程

显然，广义平稳过程的条件是严格平稳过程的必要不充分条件，而满足这个条件的只是相当于满足了严平稳过程的一维和二维条

件，因此广义平稳过程不一定是严格平稳过程

1.4.2 性质

1.4.2.1 各态历经性

先强调：这不是所有的平稳过程都有的性质，而是平稳随机过程之后又给一个约束得到的一个有用性质

前面由 denition 1.4.2知道了 (广义) 平稳过程的两个数字特征的性质，下面我们接着引入时间平均

定义 1.4.3 (一个样本的时间平均). 若 x( t) 是随机过程 ξ(t) 的一次实现 (样本)，那么其时间均值和时间相关函数如下











¯a = x(t) = lim

T →∞

−

x(t)dt

R(τ ) = x(t)x(t + τ) = lim

T →∞

−

x(t)x(t + τ )dt

(1.68)

我们将 theorem 1.4.3和 theorem 1.4.4中的数学期望与自相关函数相应的称作统计平均

。这两个平均事实上并没有必然相等的

理由，在一般情况下也并不相等，如果我们令其相等，就定义了各态历经性

定义 1.4.4 (各态历经性). 如果对于随机过程 ξ(t) 的任意一次实现 (样本)x( t) , 其时间平均等于统计平均，即







¯a = a

R(τ ) = R(τ )

(1.69)

则称随机过程 ξ(t) 具有各态历经性

下面给出整个性质可以的意义以及用处

推论 1.4.5 (各态历经性的意义). 各态历经性意味着

• 随机过程的任意一次实现都历经了随机过程的所有可能状态

• 只要一个样本就可以描述随机过程的统计特性，即用时间平均来代替统计平均，使得测量和计算都大大简化

1.4.2.2 平稳过程的自相关函数

由 theorem 1.4.4已经得到了平稳过程自相关函数的一个性质，下面接着给

推论 1.4.6 (基本性质). 容易推

• R(0) = E[ξ

(t)]

我的理解是时间是不定，但是对某一个点处的所有可能的值做遍历得到的，对应的是单点，而刚刚定义的时间平均对应的是在任意一个确定信号情况下对整

个信号在时间周期上分布的一个数字特征——我的理解，在课本中的例题就展现得很清楚

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

• R(τ) = R(−τ )，偶函数性质

下面化简

E[ξ(t) ± ξ( t + τ)]

⩾ 0 (1.70)

就可以得到

推论 1.4.7 (自相关最大).

|R(τ )| ⩽ R(0) (1.71)

这个结论是合理的，表示自己与自己的相关性最大

需要注意的是这个结论的证明用到了平稳过程的性质，在一般的随机过程中并不一定成立

下面给一个引理

引理 1.4.8. 当 τ → ∞ 时，ξ(t) 与 ξ(t + τ) 相互独立

然后试试取极限

lim

τ →∞

R(τ ) = lim

τ →∞

E[ξ(t)ξ(t + τ)] = E[ξ(t)]E[ξ(t + τ)] = E

[ξ(t)] = a

(1.72)

于是

推论 1.4.9 (直流功率).

lim

τ →∞

R(τ ) = a

(1.73)

通俗理解就是意味着即使独立，直流部分仍然是可以相关的

推论 1.4.10 (R(0) 方差的关系).

R(0) − R(∞) = D[ξ(t)] = σ

⩾ 0 (1.74)

直接由前面的结论可得

1.4.2.3 平稳过程的功率谱密度

那首先需要梳理随机过程的功率谱，其实也很容易，取统计平均的期望即可

引理 1.4.11 (随机过程的功率谱密度).

(f) = E[P

(f)] = lim

T →∞

E[|X

(f)|

]

(1.75)

然而显然这个不会是这么好算，同样的需要引入自相关函数

要想严格证明似乎很难，但是理解不算难

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

定理 1.4.12 (Wiener-Khinchin 定理). 随机过程 ξ(t) 的功率谱密度与其自相关函数 R(τ) 构成 Fourier 变换对











(f) =

+∞

−∞

R(τ )e

−j2πf τ

dτ

R(τ ) =

+∞

−∞

(f)e

j2πf τ

(1.76)

1.4.3 平稳随机过程通过线性系统

涉及一些简单的卷积积分运算，这里直接给结论

1.4.3.1 均值

定理 1.4.13 (期望).

E(ξ

(t)) = E(ξ

(t)) · H(0) (1.77)

1.4.3.2 自相关函数

定理 1.4.14 (广义平稳输入的输出自相关函数).

(τ) =

+∞

−∞

+∞

−∞

h(α)h(β)R

[τ + (α − β)]dαdβ = R

(τ) (1.78)

即输出过程也是广义平稳的

1.4.3.3 功率谱密度

定理 1.4.15 (广义平稳输入的输出功率谱密度).

(f) = P

(f) · |H(f )|

(1.79)

1.4.4 Gauss 随机过程

给一个多为定义 (不过一般都用不到)

定义 1.4.5 (Gauss 随机过程). 如果随机过程 ξ(t) 的任意 n 维分布函数都是 Gauss 分布函数，则称随机过程 ξ(t) 为 Gauss

随机过程

, t

; ··· ; x

, t

) =

(2π)

|B|

−

2|B|

i=1

j=1



− a(t

)

σ(t

)



− a(t

)

σ(t

)



(1.80)

相当复杂，看看就好

推论 1.4.16 (平稳过程与 Gauss 过程). 广义平稳的 Gauss 过程是严格平稳的

下面由一整个小章节介绍 Gauss 过程的一些定义计算，这里默认读者已经在概率统计中学过已会，这里不赘述的。

然后放几个定义，以便后面可以查阅

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

定义 1.4.6 (erf 与 erfc 函数).

erf(x) =

√

∞

−t

(1.81)

当然又定义了

erfc(x) = 1 − erf(x) =

√

∞

−t

dt (1.82)

推论 1.4.17 (Gauss 随机变量的分布函数). 如果随机变量 x 服从均值为 a，方差为 σ

的 Gauss 分布，则其分布函数为

F (x) =

erfc



a − x

√

2σ



(1.83)

1.4.4.1 概率分布

定理 1.4.18 (高斯输入). 如果一个线性系统的输入是 Gauss 过程，则输出也是 Gauss 过程

1.5 窄带随机过程

首先用幅角形式表示的

ξ(t) = a

(t) cos[ω

t + φ

(t)] a

(t) ⩾ 0 (1.84)

另外一种是同相正交分量形式

ξ(t) = ξ

(t) cos ω

t − ξ

(t) sin ω

t (1.85)

这是我们接下来要重点研究的

推导相当的繁琐，应该是能看懂的，但是速速会忘，所以能直观知道结论即可，

1.5.1 同相分量和正交分量的统计特性

1.5.1.1 期望

我们从期望开始，直接对 eq. (1.85) 取期望

E[ξ(t)] = E[ξ

(t)] cos ω

t − E[ξ

(t)] sin ω

t (1.86)

如果 ξ(t) 是平稳随机过程，那么其均值处处相等，假设为零的话就可以得到







E[ξ

(t)] = 0

E[ξ

(t)] = 0

(1.87)

因此下面的推导我大量留白没有用定理环境加粗

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

1.5.1.2 自相关函数

先展开

(τ) = E[ξ(t)ξ(t + τ)]

= R

(t, t + τ ) cos ω

t cos ω

(t + τ ) − R

(t, t + τ ) cos ω

t sin ω

(t + τ )

−

(

t, t

)

sin

cos

(

) +

(

t, t

)

sin

(

)

(1.88)

其中 R

和 R

是同相和正交分量的两个互相关函数首先由平稳，得上式和 t 无关，因此我们可以代入两个关键的 t 值，上市

仍成立，但是可以获得突破

• t = 0

(τ) = R

(t, t + τ ) cos ω

τ − R

(t, t + τ ) sin ω

τ (1.89)

进一步可以知道式子与 t 无关，即

(

) =

(

)

cos

−

(

)

sin

(1.90)

• t =

2ω

(t, t + τ ) = R

(t, t + τ ) sin ω

τ + R

(t, t + τ ) cos ω

τ (1.91)

(τ) = R

(τ) cos ω

τ + R

(τ) sin ω

τ (1.92)

定理 1.5.1 (同相分量和正交分量的平稳性). 由 eq. (1.89) 和 eq. (1.87) 可知，如果窄带随机过程 ξ(t) 是平稳随机过程，则

(

)

和

(

)

都是平稳随机过程

进一步根据正交性推导由 eq. (1.89) 和 eq. (1.92) 可以解出







(τ) = R

(τ)

(τ) = −R

(τ)

(1.93)

又根据互相关函数的对称性 theorem 1.2.12得

(τ) = −R

(−τ) (1.94)

即 R

(τ) 是一个奇函数所以

推论 1.5.2. [同相分量和正交分量的互相关函数]

(0) = R

(0) = 0 (1.95)

于是进一步的由正交性得到

推论 1.5.3 (同相分量和正交分量的自相关函数).

(0) = R

(0) (1.96)

再结合 theorem 1.4.10，就可以得到

推论 1.5.4 (同相分量和正交分量的方差).

= σ

(1.97)

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

1.5.1.3 Gauss 统计过程

在两个特殊点有

• t = t

= 0

ξ(t

) = ξ

) (1.98)

• t = t

2ω

ξ(t

) = −ξ

) (1.99)

而 ξ(t) 是 Gauss 过程，因此 ξ(t

) 和 ξ(t

) 也是高斯过程，进一步的推得

引理 1.5.5 (同相分量和正交分量的 Gauss 性质). 如果窄带随机过程 ξ(t) 是 Gauss 过程，则其同相分量 ξ

(t) 和正交分量

(t) 也是 Gauss 过程

又由 theorem 1.5.2，可知两者在 τ = 0 时互不相关，因此

定理 1.5.6 (同相分量和正交分量的独立性). 如果窄带随机过程 ξ(t) 是均值为零的平稳的 Gauss 过程，其同相分量 ξ

(t) 和

正交分量 ξ

(t) 是均值为零方差相同的的平稳 Gauss 过程，且统计独立

1.5.2 幅角表示的统计性质

这完全可以通过类似于参数变换的形似得到，由前面我们可以得到

引理 1.5.7 (同相分量和正交分量的联合概率密度函数).

f(ξ

, ξ

) =

2πσ

−

+ ξ

2σ

(1.100)

使用 Jacobi 变换，由







= a

cos φ

= a

sin φ

(1.101)

得到



∂(ξ

, ξ

)

∂(a

, φ

)



= a

(1.102)

所以

定理 1.5.8 (幅度和相位的联合概率密度函数).

f(a

, φ

) = f(ξ

, ξ

) ·



∂(ξ

, ξ

)

∂(a

, φ

)



2πσ

−

2σ

(1.103)

求边缘分布

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

推论 1.5.9 (a

的概率密度函数).

f(a

) =

+∞

−∞

f(a

, φ

)dφ

2π

2πσ

−

2σ

dφ

−

2σ

⩾ 0 (1.104)

服从 Rayleigh 分布

推论 1.5.10 (φ

的概率密度函数).

f(φ

) =

+∞

−∞

f(a

, φ

)da

+∞

2πσ

−

2σ

2π

0 ⩽ φ

< 2π (1.105)

服从均匀分布

于是就又得到一个结论

推论 1.5.11 (幅度和相位的独立性).

f(a

, φ

) = f(a

)f(φ

) (1.106)

即幅度 a

和相位 φ

相互独立

1.5.3 应用：正弦波加窄带高斯噪声

有了上面的分析，就可以分析噪声问题了。这个噪声信号应该是

r(t) = A cos(ω

t + θ) + n(t) (1.107)

其中 n(t) 是均值为零的窄带高斯噪声。首先变成正交形式

r(t) = [A cos θ + n

(t)] cos ω

t − [A sin θ + n

(t)] sin ω

t = z

(t) cos ω

t − z

(t) sin ω

t (1.108)

其中







(t) = A cos θ + n

(t)

(t) = A sin θ + n

(t)

(1.109)

尽管 z

(t) 和 z

(t) 不是均值为零的高斯过程，不过不影响其方差，也不影响其分布属性，因此在 θ 已知的情况下，仍然有

f(z

, z

|θ) =

2πσ

−

− A cos θ)

+ (z

− A sin θ)

2σ

(1.110)

同样可以做幅角变换，不赘述了。

上面非常繁琐，并且发现书上其实也没有相关的例题，然而，下面的内容将非常重要，直接决定了对后面内容的理解

1.5.4 Gauss 白噪声和带限白噪声

1.5.4.1 基本定义

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

定义 1.5.1 (白噪声). 即噪声的功率谱密度在所有频率上都是常数, 双边表示为

(f) =

− ∞ < f < +∞ (1.111)

或者单边表示为

(f) = n

0 ⩽ f < +∞ (1.112)

单边和双边其实一直都是一个非常容易混淆的概念，上面的定义相当于理清楚了，也就是双边放心减半即可

取反 Fourier 变换可得其自相关函数

推论 1.5.12 (白噪声的自相关函数).

R(τ ) = F

−1

(f)] =

δ(τ ) (1.113)

有非常直观的意思，说明白噪声在任何两个不同时间点上都是不相关的

定义 1.5.2 (Gauss 白噪声). 如果白噪声的取值的概率分布是 Gauss 分布，则称为 Gauss 白噪声

1.5.4.2 低通白噪声

定义 1.5.3 (带限白噪声). 如果噪声的功率谱密度在某一频率范围内是常数，而在该频率范围外为零，则称为带限白噪声

(f) =







⩽

0 |f| > B

(1.114)

其自相关函数退化成抽样函数。剩下从略

1.5.4.3 带通白噪声

直接上来就讨论窄带 Gauss 白噪声

定义 1.5.4 (窄带 Gauss 白噪声). 如果噪声的功率谱密度在某一频率范围内是常数，而在该频率范围外为零，且该频率范围

远离直流，则称为窄带 Gauss 白噪声

(f) =







− B ⩽ |f| ⩽ f

+ B

0 其他

(1.115)

其符合我们刚刚研究的，因此性质也容易得，不再赘述。

1.6 信道

1.6.1 分类介绍

很重要，随便一个都可以开一本书来讲，不过这里是粗浅的了解，因此记住一些概念即可

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

1.6.1.1 无线信道

• 电离层

• 流星余迹散射

这里蛮不讲理的出了一道作业题

推论 1.6.1 (电离层信道). 设天线高度为 h，其最大传播距离

D ≈

√

50h (1.116)

1.6.1.2 有线信道

目前多用光纤，结束！

1.6.2 数学模型

1.6.2.1 表达式

有点类似于马尔可夫转移图，概率意思一样，但是并不是状态转移，而是信源与接收端的关系。实际的模型应是

(t)f[e

(t)] + n(t) (1.117)

不过可以进一步简化

定义 1.6.1 (调制信号模型).

(t) = k(t)e

(t) + n(t) (1.118)

其中 k(t) 与时间有关，对应到实际就是各种的失真、延迟以及衰减，称为乘性干扰，n(t) 是加性干扰，一般是噪声，在没

有信号的时候也会存在

1.6.3 多径传播

接受方接受到的信号并不是直接传递过去的，而是从信源分多个路径传递、不一定同时到达接收方因此是原始信号经过时延

或者其他变换后叠加的结果，表示为

R(t) =

i=1

(t)cosω[t − τ

(t)] (1.119)

考虑非线性失真的二径传播

R(t) = Af (t − τ

) + Af (t − τ

− τ ) (1.120)

H(ω) = Ae

−jωτ

(1 + e

−jωτ

) (1.121)

最终算得其模为 2



cos

ωτ



，

因此，就算不考虑其他失真，仅时延就会产生周期性的涨落，带宽越大，越是如此。

1.6.3.1 噪声

如果是窄带噪声，则前面已经讨论过了，从略。不过引入一个热噪声和带宽的关系

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

定理 1.6.2 (热噪声).

V =

√

4kT RB(V ) (1.122)

其中 k 是玻尔兹曼常数，T 是绝对温度，R 是电阻，B 是带宽，结果是热噪声电压有效值

1.6.4 信道容量

这是数学模型中最重要的概念了。

1.6.4.1 离散

有两种定义单位，下面会讲，先来推。

假设有 n 个符号，在发送端对应的就有 n 种可能，定义为 x

, i = 1, ··· , n, 相应的接收端的接受情况也有 n 种，y

, 1, ··· , n

对于接收到的信息，我们也用不确定度的形式可以得到

定理 1.6.3 (发送 x

收到 y

所获得的信息量).

I = −log

P (x

) − [−log

P (x

)] (1.123)

于是也可以得到平均信息量

推论 1.6.4 (平均信息量每符号).

H = −

i=1

P (x

) log

P (x

)

| {z }

H(x)

−





−

i=1

P (y

)

j=1

P (x

) log

P (x

)





| {z }

H(x|y)

(1.124)

其中 H(x) 称为信源的熵

一定要做做题，画画信道图，不然看着这个抽象的式子根本不知道如何应用!

于是就可以给出更一般的定义

定义 1.6.2 (符号容量). 定义为每一个符号能传输的平均信息量的最大值

C = max

P (x)

[H(x) − H (x|y)] (1.125)

定义 1.6.3 (单位时间容量). 单位时间 (秒) 内能传输的平均信息量最大值，

= max

P (x)

r [H(x) −H (x|y)] (1.126)

其中 r(符号/s) 是每一个符号的传输速度

接下来不加证明的给出

书上的写法一度让我误以为是除法，实际上是“|”不是“/”，代表的是在概率统计中的“在……条件下”的意思

通信原理笔记第一章基础部分 Tsui Dik Sang

引理 1.6.5 (等概率时平均信息最大). 在每个符号出现的概率相同的时候平均信息量最大

因此在求信道的时候一定是等概率的情况下求解!

1.6.4.2 连续

不加证明的给出

定理 1.6.6 (连续信号的容量).

= B log



1 +



(1.127)

结合 N = n

B 得

= B log



1 +



(1.128)

容易证明

推论 1.6.7 (B 对信道容量的影响). B → ∞ 的时候信道容量并不会到无穷，而是为

lim

B→∞

log

e (1.129)

第二章调制

2.1 模拟调制系统

2.1.1 调幅 (线性调制)

顾名思义，就是只调幅度不调频率，对应在频域上就是其曲线只涉及平移搬移等变换，不会出现非线性失真，

2.1.1.1 一般调幅 AM

这在信号与系统里面讲过了，就是加上一个直流分量使得整体大于 0，再用余弦波进行调制，最后原始波形会称为调制输出

的双边包络，

定理 2.1.1 (AM 调制). 时域上

(t) = [A

+ m(t)] cos ω

t (2.1)

频域上

(ω) =

[δ(ω + ω

) + δ(ω − ω

)] +

[M(ω + ω

) + M (ω − ω

)] (2.2)

具体推导参见信号与系统。这里只提新提的概念

接着可以看看功率

推论 2.1.2 (AM 功率). 容易推得

= s

(t) =

|{z}

载波功率

(t)

| {z }

边带功率

(2.3)

然儿这里没有说的东西其实是电阻！在例题中就会发现还是要算上电阻的！

定义 2.1.1 (调制效率). 有用功率占信号总功率的比例

(t)

+ m

(t)

(2.4)

且由图

在不考虑噪声的情况下

之后的图都请读者自己脑补，有空笔者才会放图

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

推论 2.1.3 (AM 带宽). 调幅信号的带宽是原始信号带宽的两倍

= 2f

(2.5)

2.1.1.2 双边调制 DSB

定理 2.1.4 (DSB 调制). 时域上直接与载波相乘

DSB

(t) = m(t) cos ω

t (2.6)

推论 2.1.5 (DSB 频域).

DSB

(ω) =

[M(ω + ω

) + M (ω − ω

)] (2.7)

在频域的图像上是少了冲击函数

，而展现在时域上就是包络会穿过坐标轴反向，提取的难度稍大，

但是能够提升效率.

显而易见的，

推论 2.1.6 (DSB 调制效率). 调制效率为 100%

推论 2.1.7 (DSB 调制带宽).

DSB

= 2f

= B

(2.8)

可见带宽并没有减少

2.1.1.3 单边调制 SSB

想法是将频域上的双带对称的斩去上边或者下边, 从而减少冗余

因此从数学上适用一个滤波器即可解决.

定义 2.1.2 (SSB 调制频域). 在频域上

SSB

(ω) = S

DSB

(ω)H(ω) (2.9)

其中

H(ω) =







1, |ω| > ω

0, |ω| < ω

(2.10)

则可滤除下边带

;

反之滤除上边带

然而在时域上的推导较为复杂, 需要用到希尔伯特变换对. 书中 P91 使用余弦函数进行推导, 进而诡辩说由于 Fourier 变换可

以推广到所有函数, 不算严谨, 但是可以助于理解,

需要积化和差公式, 从而将 DSB 的余弦函数展开为正余弦和负余弦的和, 从而进行滤除操作

最终得到

因为这个冲激函数实际上是由 A

cos ω

t 产生的

后面会讲

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

定义 2.1.3 (Hilbert 变换对). 若 m(t) ↔ M ( ω), 则定义其希尔伯特变换为

ˆm(t) =

πt

∗ m(t) ↔ −jsgn(ω)M (ω) (2.11)

通俗的理解就是相移 90°

给一个非常常用的 Hilbert 变换对

推论 2.1.8 (正余弦的 Hilbert 变换对).

cos ωt = sin ωt (2.12)

推论 2.1.9 (SSB 调制时域).

SSB

(t) =

[m(t) cos ω

t ± ˆm(t) sin ω

t] (2.13)

其中正号为保留上边带, 负号为保留下边带, ˆm(t) 为 m( t) 的希尔伯特变换.

推论 2.1.10 (SSB 调制带宽).

SSB

= f

(2.14)

2.1.1.4 残留边带调制 VSB

从图像上看是逐渐切割频域图, 残留一部分

对于其推导是从解调的角度来分析的

所以看来其解调过程是默认要掌握的，其实主要是 LPF 过程，这是一个低通滤波器

• 已知解调器是通过相乘载波再滤波实现的

• 先设 DSB 到 VSB 的滤波器

• 代入到最后

• 滤波后需要无失真

最终得到

推论 2.1.11 (VSB 调制频域).

VSB

(ω) = S

DSB

(ω)H

VSB

(ω) (2.15)

其中

VSB

(ω + ω

) + H

VSB

(ω − ω

) = constant (2.16)

即要由互补对称性

自行脑补

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

推论 2.1.12 (VSB 调制带宽). 介于 SSB 和 DSB 之间, 物理可实现

2.1.1.5 归纳

定理 2.1.13 (线性调制的一般模型).

s(t) = [m(t) cos ω

t] ∗ h(t) (2.17)

进而在频域上

(ω) =

[M(ω + ω

) + M (ω − ω

)]H(ω) (2.18)

也可将 eq. (2.17) 写成正交形式, 是等价的

2.1.2 解调

2.1.2.1 包络检测

定义 2.1.4 (包络检测/非相干解调). 直接包络检测

定义 2.1.5 (相干解调). 先加一个载波，再放一个低通滤波器

原理证明间 p96 上面

2.1.3 抗噪声模型

假设噪声还是 Gauss 白噪声

= n

B (2.19)

有两个指标可以使用

定义 2.1.6 (解调器的输出信噪比).

(t)

(2.20)

还有一个指标描述的是解调器输入输出信噪比

定义 2.1.7 (制度增益/信噪比增益).

G =

(2.21)

其中

(t)

(2.22)

接下来的比较都是以进入调制器之前作为统一单位的，在进入解调器之前没有归一化，因此实际上没有可比性，之后也会

说明

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

2.1.3.1 DSB

都是要弄清楚四个量: 信号和噪音输入和输出的能量，对于输出噪声，实际上是用输入的信号为零——即只输入噪声，然后

看输出来算的。

容易算出











(t)

= n

(t)

(2.23)

所以得

推论 2.1.14 (DSB 信噪比).

(t)

(2.24)

制度增益为

G = 2 (2.25)

2.1.3.2 SSB

由于其解调器与 DSB 是相同的，于是噪声的功率不变







= n

(2.26)

而对于信号，需要用到 eq. (2.13) 得到







(t)

(2.27)

于是得到

推论 2.1.15 (SSB 信噪比).

(t)

(2.28)

制度增益为

G = 1 (2.29)

由于两者输入的信号功率大小以及带宽都不一样，因此不能直接比较

推论 2.1.16 (比较). 在相同的几代信号带宽 f

条件下，两者的抗噪性能是一样的

这里给的尺度实际上是从一开始的输入信号作为基准的，而不是以 i

这里其实应该有一个疑问，如果我们将其只是看作“功率”的话，经过解调器的功率变化一个是 1/2，一个是 1/4，会感到奇怪，实际上这是由于窄带噪音本

身可以使用正交余弦分解法导致的，具体参见书本 (5.2-9)∼(5.2-12) 的推导。所以由此也可以看出比较其实是没有统一单位的，否则的话应该同一单位

注意幅度变能量量纲要平方，这也是这里出现不同的原因

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

2.1.3.3 AM

先将噪声进行分解成正交形式，则得加上加性噪声后的混合波形为

(t) + n

(t) = [A + m(t) + n

(t)] cos ω

t − n

(t) sin ω

t = E(t) cos[ω

t + ψ] (2.30)

其中











E(t) =

[A + m(t) + n

(t)]

+ [n

(t)]

ψ = arctan



−n

(t)

A + m(t) + n

(t)



(2.31)

大信噪比的情况此时

E(t) ≈ A

+ m(t) + n

(t) (2.32)

输出时直流被隔离







= m

(t)

= n

(2.33)

推论 2.1.17 (大信噪比的情况 AM 的抗噪声特性).











(t)

+ m

(t)

(2.34)

显然，由于要求 A

⩾ | m( t) |

max

, 所以 G

< 1,

推论 2.1.18 (最大制度增益). 当 A

= | m( t) |

max

，

(2.35)

小信噪比情况经过复杂的近似可得

E(t) = R(t)

1 +

2[A

+ m(t)]

R(t)

cos θ(t) (2.36)

其中 R(t) 和 θ(t) 分别是噪声的包络和相位进一步近似

E(t) ≈ R(t) + [A

+ m(t)] cos θ(t) (2.37)

这意味着完全被噪声扰乱了！此称为门限效应

2.1.4 非线性调制

开头的这些物理量一定要搞清楚

理论上包括调相和调频，这些变化会使得频谱发生非线性变化. 因此就称为非线性调制. 对于载波信号

(t) = A

cos [ω

t + φ(t)] (2.38)

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

定义 2.1.8 (调相).

φ(t) = k

m(t) (2.39)

定义 2.1.9 (调频).

dφ(t)

= K

m(t) (2.40)

即

φ(t) = K

−∞

m(τ)dτ (2.41)

2.1.4.1 单音调制

即调制信号是单一正弦波

m(t) = A

cos ω

t = A

cos 2πf

t (2.42)

则











P M

(t) = A

cos [ω

t + K

m(t)] = A

cos [ω

t + m

cos ω

F M

(t) = A

cos



t + K

−∞

m(τ)dτ



= A

cos [ω

t + m

sin ω

(2.43)

其中











= K

∆f

∆ω

(2.44)

其中

定义 2.1.10 (最大频偏).

∆f = m

(2.45)

然而要记住上面的一切都是基于单音调制的！

由 eq. (2.44) 可以发现 PM 与 FM 的区别在于在调入之前是否经过一个积分器。如果是对于单音的话甚至积分与微分都无法区

分！下面我们就都以 FM 进行探讨

2.1.4.2 窄带调频

定义 2.1.11 (窄带调频 NBFM). 当 FM 的信号的最大瞬时相位偏移马努在



−∞

m(τ)dτ



max

≪

(2.46)

此时利用正余弦函数在 0 附近的近似性可以得到

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

推论 2.1.19 (窄带调频时域表达式).

NBF M

(t) ≈ A

cos ω

t −



−∞

m(τ)dτ



sin ω

t (2.47)

然后变换到频域上

推论 2.1.20 (窄带调频频域表达式).

NBF M

(ω) = πA[δ(ω −ω

) + δ(ω + ω

)] +



M(ω − ω

)

ω − ω

−

M(ω + ω

)

ω + ω



(2.48)

很显然的从第二项就知道为什么 FM 会导致失真了。与 AM 信号

= A cos ω

t +

[cos(ω

+ ω

)t + cos(ω

− ω

)t] (2.49)

做对比

推论 2.1.21 (窄带调频频谱特性). 相比于 AM 只有幅度变化，NBFM 有相位的变化，且幅度也有很小的变化，但是当满足

eq. (2.46) 时基本上幅度不变化

2.1.4.3 宽带调频

展开 eq. (2.43) 中的 FM 部分

F M

(t) = A cos ω

t cos (m

sin ω

t) − A sin ω

t sin (m

sin ω

t) (2.50)

然后使用 Bessel 函数展开双重三角函数

引理 2.1.22 (广义 Bessel 函数展开).











cos (m

sin ω

t) = J

) + 2

∞

n=1

) cos 2nω

sin (m

sin ω

t) = 2

∞

n=0

2n+1

) sin(2n + 1)ω

(2.51)

具体参见数学物理方法笔记相关内容，

不过不知道的也没关系。反正大概知道最后化成

定理 2.1.23 (宽带调频时域表达式).

W BF M

(t) = A

∞

n=−∞

) cos [(ω

+ nω

)t] (2.52)

这里的相位和幅度实际上是以 cos 和 sin 来做的，并非复数上的幅角！

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

定理 2.1.24 (宽带调频频域表达式).

W BF M

(ω) = πA

∞

n=−∞

) [δ(ω − ω

− nω

) + δ(ω + ω

− nω

)] (2.53)

记住下面的公式和一个大概，考试就够用了

这在频域图上是一系列的频率分量。实际上是无穷的，如果规定 |J

)| < 0.01 时就可以忽略不计，那么取 n = m

+ 1

定理 2.1.25 (Carson 公式). 宽带调频的带宽大约为

W BF M

= 2(∆ f + f

) = 2f

+ 1) (2.54)

最后来讲讲其功率

推论 2.1.26 (宽带调频功率).

F M

= s

W BF M

(t) =

∞

n=−∞

) =

= P

载波功率 (2.55)

2.1.5 调频信号

2.1.5.1 产生

• 直接调制法: 直接经过 VCO(压控振荡器) 产生，……

• 间接调制法: 先积分，经过相位调制变成 NBFM，再经过倍频器得到 WBFM

不过可以了解一下







= n

− f

)

∆f = n

∆f

(2.56)

2.1.5.2 非相干解调

先明确目标：对于输入

F M

(t) = A

cos



t + K

−∞

m(τ)dτ



(2.57)

需要提取出

⇒ m

(t) ∝ K

m(t) (2.58)

对于非相干解调器，

• 先微分

• 后包络检波

• 最后滤除直流

应该不算很重点的东西，了解一下就行，再往下就涉及硬件了

尚不知道怎么样推出

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

推论 2.1.27 (非相干解调输出).

(t) = K

m(t) (2.59)

其中 K

为鉴频器的灵敏度

2.1.5.3 相干解调

针对与窄带调频的特殊形式！

• 先乘以载波 c( t) = −sin ω

• 后低通滤波——滤除所有在三角函数里面的分量

• 经微分器

2.1.6 FM 相同的抗噪性能

首先可以先算出输入信噪比

引理 2.1.28 (FM 输入信噪比).

(2.60)

接着开始分类

2.1.6.1 大信噪比情况

一波推导

推论 2.1.29 (大信噪比 FM 输出信噪比).

(2.61)

制度增益为

F M

= 3m

+ 1) (2.62)

于是当 m

≪ 1 时

F M

≈ 3m

(2.63)

与 AM 做对比

推论 2.1.30 (比较).

)

F M

)

(2.64)

可见 FM 信噪比的增加是建立在带宽大幅增加的基础上的. 可以推出

先从略，以后有时间会看的

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

推论 2.1.31 (FM 与 AM 的带宽比较).

F M

= 2(∆ f + f

) = 2f

+ 1) = (m

+ 1)B

(2.65)

当 m

≫ 1 时，FM 的带宽是 AM 的 m

倍！

2.1.6.2 小信噪比情况

无需多言，仍然是门限效应，可以看书本上的图

2.1.7 比较

表 2.1: 调制方式性能对比表

调制方式信号带宽输出信噪比制度增益设备

AM 2f

2/3 简单

DSB 2f

2 中等

SSB f

1 复杂

VSB 略大于 f

近似 SSB 近似 SSB 复杂

FM 2(m

+ 1)f

+ 1) 中等

然后就是一些比较以及频分复用的知识了……

定义 2.1.12 (频分复用). 在一条信道上传输多路信号

主要就是利用不同频段的载波进行调制，然后合成一个信号进行传输

2.2 数字基带传输系统

2.2.1 数字基带信号

2.2.1.1 四种信号

定义 2.2.1 (单极非归零制 NRZ). 电平只有两种, 分别表示 0 和 1

定义 2.2.2 (双极性非归零制 PNRZ). 电平有正负两种 (-A 表示 0,+A 表示 1)

定义 2.2.3 (归零制 RZ). fen 分为单极归零和双极归零, 即每个码元周期内有一半时间为 0 电平

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

2.2.1.2 频谱特性

我们将上面的波形以一种更加抽象的形式来表示，假设对于每一个码元都有两种波形 g

(t) 和 g

(t), 概率分别为 P 和 1 −P ,

则总的波形可以用

定义 2.2.4 (二进制脉冲序列).

s(t) =

∞

n=−∞

(t) (2.66)

其中

(t) =







(t − nT ), 概率P

(t − nT ), 概率1 − P

(2.67)

我们可以按照稳态波和交变波来进行分解

定义 2.2.5 (稳态波).

v(t) =

∞

n=−∞

[P g

(t − nT ) + (1 − P )g

(t − nT )] =

∞

n=−∞

(t) (2.68)

定义 2.2.6 (交变波).

u(t) = s(t) − v(t) =

∞

n=−∞

(t) − v

(t)] (2.69)

进一步代入推导

得到

推论 2.2.1 (交变波的随机脉冲性质).

(t) =







(1 − P )[g

(t − nT ) − g

(t − nT )], 概率P

−P [g

(t − nT ) − g

(t − nT )], 概率1 − P

(2.70)

这显然就是一个随机脉冲序列

下面来看这三者的功率谱，直接给结论了

首先，v(t) 显然是具有周期性的，容易得到

定理 2.2.2 (稳态波的频谱).

(f) =

∞

m=−∞

[P G

(mf

) + (1 − P )G

(mf

)]|

δ(f − mf

) (2.71)

对于交变波，需要使用技巧对于功率谱密度定义进行计算，见书 P135，结果为

详情看课本 P134

注意这里 f

，不是函数的意思

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

定理 2.2.3 (交变波的频谱).

(f) = f

P (1 − P )|G

(f) − G

(f)|

(2.72)

两者相加就可以得到 s(t) 的功率谱

推论 2.2.4 (s(t) 的功率谱).

(f) = P

(f) + P

(f) = f

P (1 − P )|G

(f) − G

(f)|

∞

m=−∞

[P G

(mf

) + (1 − P )G

(mf

)]|

δ(f − mf

) (2.73)

如果写成双边的形式，0 处的离散谱无需乘 2，因此得到的结果有三种不同的项

推论 2.2.5 (双边形式).

(f) = f

P (1−P )|G

(f)−G

(f)|

[P G

(0)+(1−P )G

(0)]

δ(f )+2f

∞

m=1

|P G

(mf

)+(1−P )G

(mf

δ(f −mf

) f ⩾ 0

(2.74)

杜宇 NRZ 和 RZ 也可以推导，从略，见书本

2.2.2 码型选择

2.2.2.1 AMI 码

定义 2.2.7 (AMI 码). 0 保持不变，1 的电平交替着为 1 和-1

2.2.2.2 HDB

码

• 先检查连”0” 个数，如果小于 3，规则一致

• 否则，四个一串”000V”, 这里 V 要与前一个非零脉冲的极性一致

• 相邻的 V 码极性必须交替，否则，变为 B00V, 其中 B 的码型与后面的 V 一致

解码其实很容易，先找到破坏处 V，接着找 B，最后返回去即可。

2.2.2.3 双相码

• 用 01 表示 0

• 10 表示 1

从而很容易误码，立刻就可以知道结果。

当然，缺点就是带宽直接增倍了

2.2.2.4 CMI 码

1 用 11 和 00 交替表示，0 则用 01 表示。

缺点仍然是带宽问题

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

2.2.2.5 nBmB 码

将 n 位的二进制码转为 m 位的，m>n

显然，这是通过冗余来尝试发现错误，也是会增加带宽。

关于这个编码后面有一个章节来讲，这里重点关注 HDB

码即可

2.2.3 传输模型

2.2.3.1 模型分析

发送滤波器

基带脉冲

输入

信道

噪声

接收滤波器

抽样判决器

基带脉冲

输出

同步提取

主要是抽样判决器，对于基带信号

d(t) =

∞

−∞

δ(t − nT

) (2.75)

而 h(t) 是系统的冲激响应

r(t) = d(t) ∗ h(t) + n

(t) =

∞

−∞

δ(t − nT

) + n

(t) (2.76)

于是抽样过程是对 r(kT

+ t

) 处的信号进行判决，

r(kT

+ t

) = a

h(t

) +

n̸=k

h[(k − n)T

+ t

] + n

(kT

+ t

) (2.77)

2.2.3.2 消除码间串扰

由于噪声是无法避免的，并且其实其期望为零，因此

定理 2.2.6 (消除码间串扰的条件).

n̸=k

h[(k − n)T

+ t

] = 0 (2.78)

这也就说，只需要关注再判决点不产生串扰，即可认为消除了码间串扰。

2.2.3.3 无码间串扰的条件

根据前面的猜想，可以直观得出一个时间域的条件

定理 2.2.7 (无码间串扰的时间域条件).

h(kT

) =







1, k = 0

, k

为其他整数

(2.79)

然后寻求其频域，这里都使用其反 Fourier 变换式来进行分析

h(t) =

+∞

−∞

H(ω)e

jωt

dω (2.80)

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

代入 t = kT

，换入 ω

′

= ω −

2iπ

然后分段积分再换符号，最终得

h(kT

) =

2π

−



ω +

2iπ



jωkT

dω (2.81)

根据上面的式子，可以构造处一个频域条件

定理 2.2.8 (无码间串扰的频域条件).



ω +

2iπ



= T

|ω| ⩽

(2.82)

这里的 i 是整数

根据频域特性的有限性，上式可以简化，项数也可以变少。

事实上，等式右边只要是常数即可，不是必须

2.2.3.4 无码间串扰的设计

一种很显然的设计是

定理 2.2.9 (低通滤波器的无码间串扰).

H(ω) =







|ω| ⩽

0 |ω| >

(2.83)

容易得到

推论 2.2.10 (带宽). 此时的带宽为

B =

(2.85)

也就是说这时候回到波特率的定义 R

, 此时不存在码间串扰，若传输速度大于这个，就会发生，于是

定理 2.2.11 (不存在码间串扰的传输速度). 以 R

传输不发生码间串扰的条件 R

是其整数倍

推论 2.2.12 (最高频带利用率).

η =

= 2 (2.86)

然而，这个理想是建立再刚刚好无码间串扰，确实建立在“刚刚好”的基础上的，首先，理想低通是不存在的，其次，其衰减震

荡极大，意味着只要定时有偏差就会有严重的码间串扰。所以下面介绍一种可行的消除码间串扰的系统

2.2.3.5 余弦滚降特性

实际上这里的 T

不是必须的，可以是任意常数，只要满足 eq. (2.82) 即可

B = f

max

2π

(2.84)

双边的话其实是看单边，你一定要搞清楚这个关系

也就是用传输一个码元用时 T

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

定义 2.2.8 (余弦滚降特性系统).

H(ω) =











, 0 ⩽ |ω| <

(1−α)π

1 + sin

2α

(

− ω)

1−α

⩽ | ω| <

(1+α)π

0 |ω| ⩾

(1+α)π

(2.87)

相应的可以推出 h(t), 然后还可以定义滚降程度，越小越接近理想低通，当然，其利用率变小了

其实频带利用率是关键，上面的公式嫌太复杂不一定要记住

推论 2.2.13 (频带利用率).

η =

1 + α

(2.88)

然后可以求出其时域表达式，从略

2.2.4 抗噪声性能

一个基础假设是都是高斯白噪声，服从高斯分布

下面的推导属于是数字基带传输系统最优判决的典范，在之后章节涉及的话也是按照下面的步骤来进行推导

2.2.4.1 二进制双极性基带系统

只需要考虑抽样点

x(kT

) =







A + n

(kT

), 发送 1

−A + n

(kT

), 发送 0

(2.89)

现在要确定判决电平，于是推导概率

P (0/1) = P {x(kT

) < V

|1} =

−∞

√

2πσ

−

(x−A)

2σ

dx (2.90)

同理的 P (1/0)，然后总的误码率为

= P (1) P (0/1) + P (0)P (1/0) (2.91)

上面是一个关于 V

的函数 (假设其他量都是已定下来的)，对其求导 =0

∂P

∂V

= 0 (2.92)

解得最佳判决电平

定理 2.2.14 (最佳判决电平).

∗

P (0)

P (1)

(2.93)

特别的

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

推论 2.2.15 (等概率情况下的最佳门限). 等概率情况下的最佳门限为零

2.2.4.2 单极性基带系统

只需要移动一下一个的位置即可，同理从略

2.2.5 一些要了解的概念

2.2.5.1 眼图

定义 2.2.9 (眼图). 将接收机输出的波形在码元周期 T

内进行叠加所形成的图形

定理 2.2.16 (眼图的判决). 眼图中间开口越大，说明系统抗噪声性能越好

具体在实验课体会

2.2.5.2 部分响应

主要是想要提升频带利用率，因此其思路是人为的在码元的抽样时刻引入码间串扰

所以尝试用两个波来合成

定理 2.2.17 (第一类部分响应波形).

g(t) =

sin



t +





t +



sin



t −





t −



cos

πt

1 −

(2.94)

其频谱结构如下

推论 2.2.18 (第一类部分响应频谱).

G(ω) =







cos

ωT

, |ω| ⩽

0, |ω| >

(2.95)

可以看到其带宽为

, 因此频带利用率为 2, 达到了理论上限。

下面来看其解码以及原理：

推论 2.2.19 (第一类部分响应原理). 在抽样时刻上只发生前一个码元对本码元的影响，与其他的码元不发生干扰 (书 6-20 图

非常形象)

因此在解码的时候需要消去前一个码元的影响

服了，通信原理实验复习的时候复习这个复习得非常难受，因为实验课上根本没讲清楚，然后在理论课上这不是重点

观察到两个相距 T

的抽样码元的拖尾极性相反

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

推论 2.2.20 (第一类部分响应解码).

= a

+ a

k−1

(2.96)

⇒ a

= C

− a

k−1

(2.97)

从中也可以看到问题，即前面的错误很可能会传递下去。进而导致后面很多的码元都会出错

2.2.5.3 修正: 预编为差分码

差分运算实为异或运算 ⊕，所以预编码为

= a

⊕ b

k−1

(2.98)

而最终展示的波形为

= b

+ b

k−1

(2.99)

容易得到解码，这里从略

2.2.5.4 一般部分响应波形

那么就是对多个间隔的波形进行整合

定理 2.2.21 (一般部分响应波形).

g(t) = R

sin

+ R

sin

(t − T

)

(t − T

)

+ R

sin

(t − 2T

)

(t − 2T

)

+ ··· + R

sin

(t − (N − 1)T

)

(t − (N − 1)T

)

(2.100)

其中 R

, R

, ··· , R

为权值, 取值为正负整数或者零

推论

2.2.22 (

一般部分响应的频谱

G(ω) =











i=1

−jω(i−1)T

, |ω| ⩽

0, |ω| >

(2.101)

进而可以得到相应的编码

推论 2.2.23 (一般部分响应编码).

= R

+ R

k−1

+ R

k−2

+ ··· + R

k−N +1

(2.102)

同样的可以进行预编码

= R

+ R

k−1

+ R

k−2

+ ··· + R

k−N +1

(2.103)

假设是 L 进制的话式中的加法和乘法均为模 L 运算，然后才进行相关编码

= R

+ R

k−1

+ R

k−2

+ ··· + R

k−N +1

(2.104)

再书本 p160 有一个表，可以自己根据上面的两个式子根据表去推一推进制波形这些基本信息

注意，下面的式子表示的是一个等式，实际上是将所有的 a 转成 b，然后第二条式子再将 b 转成 c

我还没有亲自去推

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

推论 2.2.24. 使用部分相应的抗噪声性能更差

因为其用到了多进制

2.2.5.5 信道均衡

目的就是为了消除滤波器不理想等现象造成的码间串扰。，不加证明的给出结论

定理 2.2.25 (横向滤波器). 如果再接受滤波器和抽样判决器之间加入一个横向滤波器，其冲激响应为

(t) =

∞

n=−∞

δ(t − nT

) (2.105)

其中 C

完全依赖于 H(ω)，则可以消除码间串扰

证明需要用到 eq. (2.82)

推论 2.2.26 (C

的形式).

2π

−



ω +

2iπ



jωnT

dω (2.106)

然而实际上这个滤波器还是理想的，就是因为这个无穷求和的形式本质上也是不能物理实现的，只能说是取的项越多越能接近理

想情况罢了。

进一步的可以推出现在的输出和输入的关系

推论 2.2.27 (均衡后输出).

y(t) = x(t) ∗ e(t) =

i=−N

x(t − iT

) (2.107)

在抽样时刻

y(kT

) =

i=−N

x((k − i)T

) (2.108)

于是又给了评判均衡优劣的标准

推论 2.2.28 (峰值失真).

D =

∞

k=−∞,k̸=0

| (2.109)

以及

书上有证明，可去看

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

推论 2.2.29 (均方失真).

∞

k=−∞,k̸=0

(2.110)

2.3 数字带通信号传输系统 (调制)

为什么要对传输过程进行调制解调，和模拟信号是一样的，充分利用频率，实现远距离的传输。因此同样对于三个参数有三

种调制方法：振幅、频率、相移

2.3.1 原理

2.3.1.1 ASK

相乘的载波如下

定理 2.3.1 (ASK 载波).

c(t) =







cos ω

t, 发送 1

0, 发送 0

(2.111)

显然的，用模拟加法器或者数字键控法都可以实现

其功率谱密度也容易求得

推论 2.3.2 (ASK 功率谱密度).

2ASK

(f) =

(f − f

) + P

(f + f

)] (2.112)

其中 P

(f) 为基带信号的功率谱密度, 见 eq. (2.73)

2.3.1.2 FSK

载波如下

定理 2.3.3 (FSK 载波).

c(t) =







cos(ω

t + ϕ

), 发送 1

cos(ω

t + θ

), 发送 0

(2.113)

同样有两种实现方法。至于功率谱，对于

2F SK

(t) = s

(t) cos(ω

t) + s

(t) cos(ω

t) (2.114)

推论 2.3.4 (FSK 功率谱密度).

2F SK

(f) =

1(f − f

) + P

1(f + f

) + P

2(f − f

) + P

2(f + f

)] (2.115)

具体形式是四个单峰还是两个双峰或者是两个单峰需要看两个频率的差距。其频带约为

具体看书 P178

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

推论 2.3.5 (FSK 带宽).

F SK

= | ∆f | + 2f

(2.116)

2.3.1.3 PSK

载波如下

定理 2.3.6 (PSK 载波).

c(t) =







cos(ω

t), 发送 1

cos(ω

t + π), 发送 0

(2.117)

这时候会出现一个问题，就是相位模糊，即只要基准相位出错，后面全部相反，这时候又参照前面引入差分预编码

定理

2.3.7 (

传号差分码

DPSK).

= a

⊕ b

n−1

(2.118)

= b

⊕ b

n−1

(2.119)

解码的时候要多一个码反变换器。

PSK 和 DPSK 的功率谱密度和 ASK 是一样的

推论 2.3.8 (PSK 功率谱密度).

2P SK

(f) =

[

(

−

) +

(

)]

(2.120)

然后带宽都是 2f

2.3.2 抗噪声性能

分两种解码方式来看，即相干解调和非相干解调 (包络检波解调)

2.3.2.1 ASK

书中的图 7-22 是精髓，然后下面的分析都是在这个图的基础上的。

为什么这里只需要考虑误码率即可呢？因为对于数字信号只关注抽样时刻，不需要理会其余时刻是否失真

在相干解调情况下

，仍然使用上一章节确定门限的方法，得到

推论 2.3.9 (ASK 误码率). 在

∗

P (0)

P (1)

(2.121)

时候取得最小误码率

erfc





(2.122)

复习的时候需要了解清楚具体什么是相干解调

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

其中 r =

2σ

为解调器输入端信噪比，

为信号功率，σ

= n

B 为噪声功率然后

erfc(x) =

√

∞

−t

dt (2.123)

在大信噪比情况下

推论 2.3.10 (ASK 大信噪比误码率).

≈

√

πr

−

(2.124)

包络法分析基本一致，一开始要注意

V (t) =







(A + n

(t))

+ n

(t)

, 发送 1

(t)

+ n

(t)

, 发送 0

(2.125)

然后看来是需要作图法来找到最优门限和最低误码率

定理 2.3.11 (ASK 包络解调误码率).

2σ

= ln I

∗

(2.126)

erfc





−

(2.127)

然后 FSK 和 PSK 也可以推，这里不再赘述，表格可以看。

2.3.3 正交振幅调制

对于单一的相位或者振幅调制随着进制的增大，误码率肯定是会变大的，因此正交调制的思想就是一起使用来进行调制

因此正交的目的也就是两个一起调。写成一个通式就是

定义 2.3.1 (正交振幅调制).

(t) = A

cos ω

t + B

sin ω

t, k = 1 , 2, ··· , M (2.128)

如果叶将调制离散化

定义 2.3.2 (QPSK). 对于正交振幅调制，θ

只取

和 −

，A

只取 +A 和 −A，从而得到四种组合。这就是 QSPSK

对于多进制的 QAM, 比如 16 进制，课本提供了两种方法，

• 用两路独立的正交 4ASK 信号叠加调制

• 用两路独立的 QSPSK 信号叠加调制

接下来分析他的性能，我们要看离得最近的两个点作为分析观察图可以得到

推论 2.3.12 (16QAM 最小距离).

√

(2.129)

其结果其实可以通过矢量图清晰的展现

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

而如果是 16PSK 的话,

= A

(2.130)

一比较其抗噪声性能然是更加优越的。

2.3.4

最小频移键控

MSK

这是针对 FSK 的改进，先说其面临的问题

• 包络不稳定，相位不连续

• 带宽利用率低

那么实际上 MSK 就是尝试压缩频带发挥极致的性能

2.3.4.1 正交性

，首先，要保证正交性仍然存在，即

引理 2.3.13 (正交条件).

[cos(ω

t + φ

) · cos(ω

t + φ

)]dt = 0 (2.131)

推导过程从略见书本，最终结论为

推论 2.3.14 (正交条件).

∀φ

, φ







sin(ω

− ω

= 0

cos(ω

− ω

= 1

(2.133)

即得

推论 2.3.15.

− f

, m = 1, 2 , 3, ··· (2.134)

取最小为

上式的 ∀φ

, φ

是在对于初始相位未知的情况下如果我们可以控制 φ

− φ

= 0，则只需要

sin(ω

− ω

= 0 (2.135)

即，最小间隔变为

− f

, m = 1, 2 , 3, ··· (2.136)

则又可以缩小 1/2

于是所谓的 MSK 就是在此等情况下的码元

这是由于理想的将两个码元想象成两个正弦波直接切换造成的

展开得

sin(ω

+ ω

+ 2φ

+ ω

sin(ω

− ω

−

sin 2φ

+ ω

= 0 (2.132)

其中 φ

+φ

这是在初始相位可控的情况下

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

定理 2.3.16 (MSK 码元).

(t) = cos



t +

t + φ



, kT

⩽ t < ( k + 1)T

(2.137)

其中 a

由码元为 1 或者 0 分别取 +1 和-1,φ

为第 k 个码元的初始相位

接下来探究 T

与 f

的关系由 eq. (2.132) 可知

sin(2ω

) = 0 (2.138)

最后推得

推论 2.3.17 (MSK 载波频率与码元周期关系).

, n = 1, 2, 3, ··· (2.139)

推论 2.3.18.







= f

−

(2.140)

2.3.4.2 相位连续性

也就是要在转折点处要保持连续。

引理 2.3.19 (相位连续性条件).

k−1

+ φ

k−1

+ ▽

(2.141)

于是可以得到

推论 2.3.20 (相位递推).

= φ

k−1

kπ

k−1

− a

) =







k−1

, a

k−1

= a

k−1

+ πk, a

k−1

̸= a

(2.142)

接下来就可以显而易见的引入附加相移的概念

推论 2.3.21 (附加相移).

(t) =

t + φ

(2.143)

也就是说每经过一个 T

就会有一个 ±

的相移

2.3.4.3 正交表示

知道结论即可

通信原理笔记第二章调制 Tsui Dik Sang

定理 2.3.22 (MSK 的正交表示).

(t) = p

cos

πt

cos ω

t − a

sin

πt

sin ω

t, kT

⩽ t < ( k + 1)T

(2.144)

其中







= cos φ

= ± 1

= a

= ± 1

(2.145)

至于后面的内容，似乎课上也没有多讲，那么我也先从略。

第三章编码

3.1 信源编码

3.1.1 抽样

3.1.1.1 低通

主要是 Nyquist 定理，再信号与系统中已经反复提到，

引理 3.1.1 (Nyquist 定理). 若信号的最高频率为 f

，则采样频率 f

必须满足

⩾ 2f

(3.1)

才能保证信号的无失真重建。

数学上很好证明，之前也已经证明过，在课堂上探讨了另外一个问题也就是为什么这个结论是成立的，直观上，对原信号并非完

全复刻的采样为什么最后可以无失真重建。

3.1.1.2 带通

按照上面的低通方法计算的带宽仍然可用，但是一定会有浪费的，可以证明如下定理

引理 3.1.2 (带通信号采样定理). 假设一个带通信号范围为 f

到 f

，则采样频率 f

必须满足

⩾ 2B



1 +



(3.2)

其中 B = f

− f

是带宽，







n =

k =

− n

直观上理解实际上就是利用“交错”实现的，接下来还有脉冲调制等，从略，重点了解前面抽样的冲激信号的抽样方式即可。

3.1.2 量化

3.1.2.1

均匀量化

定义 3.1.1 (量化). 量化是将连续幅度的信号转换为离散幅度信号的过程。

一种常见的思路是用一个区间的均值来表示该区间内的所有值，于是自然的就有量化误差的概念，或者也可以叫做噪声

课堂上提到的直观理解是，采样点之间的信号变化是可以通过带限条件来约束的，也就是说在采样点之间的信号变化不会太剧烈，从而可以通过插值等方法

来还原采样点之间的信号。这是我的理解

通信原理笔记第三章编码 Tsui Dik Sang

定义 3.1.2 (量化噪声/误差). 量化噪声/误差是指量化后信号与原始信号之间的差值。

接着可以计算量化噪声功率

推论 3.1.3 (均匀量化噪声功率).

= E [( m

− m

)

] =

− m

)

f(m

)dm

i=1

i−1

− q

)

f(m

)dm

(3.3)

同样可以定义信号的平均功率

S = E[m

] =

f(m

)dm

(3.4)

书中给了一道信号抽样值服从均匀分布的那么可以得到

推论 3.1.4 (均匀量化噪声功率-均匀分布). 信号功率为

S =

(∆v)

(3.5)

量化噪声功率为

(∆v)

(3.6)

得到信噪比

= M

(3.7)

接下来就可以刻画电平数与信噪比的关系，从略。

3.1.2.2 非均匀量化

由上面可以看到信噪比其实和电平高低有关的，即对于低电平在相同间隔的信噪比更小，因此我们可以考虑在低电平给更多

的电平数节点。

因此应该有一个非线性电路将输入电压映射到输出电压书中使用折线近似时给了这样的一个近似

引理 3.1.5.

∆x ∝ x (3.8)

结合 (1,1) 这个特殊点得到

推论 3.1.6 (非均匀量化近似公式).

y = 1 +

ln x (3.9)

但是这个公式显然是理想的，对于 x 趋近于 0 的情况不适用，于是接下来就要介绍各种的压缩率了

3.1.2.3 A 压缩律

还没有讲，等下次再一起做笔记

通信原理笔记第三章编码 Tsui Dik Sang

定义 3.1.3 (A 压缩律).

y =











1 + ln A

, 0 ⩽ x ⩽

1 + ln(Ax)

1 + ln A

< x ⩽ 1

(3.10)

对应的有一个折线近似

3.1.2.4 13 折线压缩——A 律的近似

并不用记住表格，只需要知道前两段斜率一样都是 16，之后斜率逐段减半，最终变成 1/4，

3.1.2.5 µ 压缩律和 15 折线压缩

相当于另外一种东西了，其实并不用记得太详细，主要还是记住 13 律即可了。

3.1.3 脉冲编码调制

3.1.3.1 编码

就是要将提取出来的电平用码

然后介绍一种和数电里介绍的神似的码

定义 3.1.4 (折叠码). 相邻两位只变化一个位——除了由最高位变为最低位。

所以除了这种爆格的情况，误差都只会是 1 个量化级别。

接下来介绍 A 律 13 折线压缩的脉冲编码调制，正负各有八段，每一段有均匀量化的 16 个量化级，因此可以将编码变为如

下

|{z}

符号位

| {z }

段位

| {z }

级位

(3.11)

于是可以得到最小量化间隔

推论 3.1.7 (最小量化间隔).

∆

min

128

2048

(3.12)

3.1.3.2 噪声

然后后面可以得到一些噪声的定义，实际上最后会有量化噪声和加性噪声两种噪声——产生的机理是不同的。根据前面已有

的推导得到

∆

(3.13)

接着加性噪声可以用概率论的知识推得

推论 3.1.8 (加性噪声功率).

(∆v)

(3.14)

关于其与 A 律的比较也先从略

不过之后探讨的都将是二进制码

通信原理笔记第三章编码 Tsui Dik Sang

而信号功率可以算出

−M

(∆v)

(3.15)

于是将会可以定义出三个信噪比

推论 3.1.9 (抗加性噪声信噪比).

2(N+1)

(3.16)

推论 3.1.10 (抗量化噪声信噪比).

= M

= 2

(3.17)

这部分的题目可以参考作业题，其实是非常的教科书的，有一个标准的套路，其实也不难

3.2 差错码

首先介绍一下信道的几种类型，这与错码出现的情况有关

定义 3.2.1 (信道类型 (根据错误特性)). -

• 随机信道：信道中每个符号出错的概率相互独立且相等。

• 突发信道：错误成串出现。

• 混合信道：既有随机错误又有突发错误。

3.2.1 基本原理与定义

3.2.2 分组码

首先从无冗余码开始，显而易见，这种码无法纠错，也无法知道是否出错了。于是分组码应运而生

定义 3.2.2 (分组码). 将信息分成若干组，每组包含 k 个信息符号，经过编码后变成 n 个符号的码字进行传输的编码方式，

称为 (n, k) 分组码。

然后就是一些基本的定义

定义 3.2.3 (码长). 码字中符号的个数称为码长，记为 n。

定义 3.2.4 (码重). 码字中非零符号的个数称为码重，记为 w。

定义 3.2.5 (码距). 两个码字对应符号不同的位置的个数称为码距，记为 d。

通信原理笔记第三章编码 Tsui Dik Sang

定义 3.2.6 (最小码距). 码字中任意两个不同码字之间的最小码距称为最小码距，记为 d

min

。

我们从一个很形象的角度去理解，码距离反应的是错误了多少个，于是一个结论就的出来了

3.2.2.1 纠错码与码距的一些结论

首先是检测的能力

定理 3.2.1 (检测能力与最小码距的关系). 要检测 s 个错误，码的最小码距必须满足

min

⩾ s + 1 (3.18)

然后是纠错能力

定理 3.2.2 (纠错能力与最小码距的关系). 要纠正 t 个错误，码的最小码距必须满足

min

⩾ 2t + 1 (3.19)

书本上有一个很清晰的图，看了就还是非常清楚的。然后还有一个复合的结论

推论 3.2.3 (需要纠错也需要检错). 要纠正 t 个错误并检测 s 个错误，码的最小码距必须满足

min

⩾ t + s + 1 s > t (3.20)

接着就是一个代价的问题，提高传输速率的话会使信噪比下降，误码率增大，但是如果使用纠错码的话，带宽还是会增加，但是

误码率能够显著下降。

3.2.3 线性分组码

3.2.3.1 奇偶校验码引入

这个在数电就已经学过，从略，我们归纳其核心

监督位可以指示是否出现错误，但是有概率无法检测错误，且也不具备纠错能力

码率达到了

R =

n − 1

(3.21)

是较高的。

3.2.3.2 恒比码

定义 3.2.7 (恒比码). 每个码字中 1 的个数为奇数或偶数的分组码称为恒比码。

从略

通信原理笔记第三章编码 Tsui Dik Sang

3.2.3.3 正负码

这是一种可以纠错的码

定义 3.2.8 (正负码). 信息位与监督位个数相等，监督位是否与源码相等或者相反取决于信息位的 1 的个数是奇数还是偶数。

其能力有下面的结论

定理 3.2.4 (正负码的纠错能力). 长度为 10 的正负码可以纠正 1 个错误。

3.2.3.4 一般线性码构造

接下来将会从一般的角度来介绍这种方法，介绍的 Hamming 码其能精准指示哪一位发生了错误

那么层层的给出定义

定义 3.2.9 (代数码). 编码过程中，使信息位和监督位形成某种代数约束关系的编码

定义 3.2.10 (线性码). 编码过程中，使信息位和监督位满足一组线性代数方程约束关系的编码

推论 3.2.5 (线性码的最小码距). 线性码的最小码距等于其所有非零码字中最小的码重。

但是首先要证明是线性码，这其实很麻烦的

定义 3.2.11 (线性分组码). 满足线性约束关系的分组码码组中监督码元是信息码元的线性组合

接下来介绍的 Hamming 码就是一种线性分组码。根据上面需要清晰指出哪一位错误了的话需要满足冗余码组合的二进制数要

大于等于信息码的对数

定理 3.2.6 (能指示错误位置的码的冗余度).

n−k

⩾

+ 1

(3.22)

于是接下来可以定出监督位与信息位置的关系假如信号如下

| {z }

信息位

| {z }

监督位

(3.23)

证明先从略

对于二进制来说已经是纠正了

通信原理笔记第三章编码 Tsui Dik Sang

引理 3.2.7 (Hamming 码监督位与信息位的关系).











⊕ a

= 0

⊕ a

= 0

⊕ a

= 0

(3.24)

如果满足上述关系则说明没有错误。

经过移位，可以得出监督位的计算公式

推论 3.2.8 (Hamming 码监督位计算公式).











= a

⊕ a

= a

⊕ a

= a

⊕ a

(3.25)

然后查看判断错码的表格

自己去看书本的表格吧

然后关于码率

定理 3.2.9 (Hamming 码码率).

R =

−

(3.26)

3.2.3.5 利用矩阵构造

接下来将使用矩阵对上面的内容进行重新叙述对于 eq. (3.24) 可以用线性方程组表示——注意，这里的加法都是模 2 计算！











1 · a

+ 1 · a

+ 0 · a

+ 1 · a

+ 0 · a

= 0

1 · a

+ 1 · a

+ 0 · a

+ 1 · a

+ 0 · a

+ 1 · a

+ 0 · a

= 0

1 · a

+ 0 · a

+ 1 · a

+ 0 · a

+ 1 · a

= 0

(3.27)

可以写成矩阵形式







1 1 1 0 1 0 0

1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 0 1































(3.28)

证明先从略

如果转不过弯来等一下后面还有一个会涉及，到时候看看

通信原理笔记第三章编码 Tsui Dik Sang

定义 3.2.12 (校验矩阵). 上述矩阵称为校验矩阵，记为 H。

A = 0 (3.29)

其中 A 为码字向量。

A =













(3.30)

可以将

分成两部分，

H = [P |I

] (3.31)

于是同样的可以用矩阵改写 eq. (3.25)













= P













(3.32)

于是就可以推出由原始码推出加入了监督位的码字

推论 3.2.10 (生成矩阵). 由信息位生成码字的矩阵称为生成矩阵，记为 G。

A = [a

]G (3.33)

其中

G = [I

] (3.34)

这里的 G 称为典型生成矩阵。

接下来引入错码

定义 3.2.13 (错码).

E = B − A (3.35)

其中 B 为接收到的码字向量。

将其代入容易得到

S = H

B = H

(A + E) = H

E (3.36)

最后再给出其一点性质

推论 3.2.11 (封闭性). 线性分组码的任意两个码字之和仍然是该码的码字。

通信原理笔记第三章编码 Tsui Dik Sang

3.2.4 循环码

3.2.4.1 码字的多项式表示

这是建立在另外一套数学工具：多项式上的

很容易就可以定义出一个码的多项式表示

定义 3.2.14 (码字多项式). 设 (n, k) 分组码的一个码字为 A = [a

n−1

n−2

···a

]，则对应的码字多项式为

A(x) = a

n−1

+ a

n−2

+ ··· + a

x + a

(3.37)

注意！如果是二进制的话，那么 a

只能是 0 或 1，因此加法和乘法都是模 2 的！这将对理解下面进一步的定义非常重要！

定义 3.2.15 (码多项式的按模计算). 如果

F (x) = N(x)Q(x) + R( x) (3.38)

则

F (x) ≡ R(x) mod N (x) (3.39)

对于多项式其实也可以用到多项式除法

一个非常需要注意的是这里的模 2 是对于多项式的每一个正交项系数而言的！，例如

推论 3.2.12 (一个我不理解然而其实很简单的问题).

≡ 1 mod (x

+ 1) (3.40)

接着我们可以引入定义了

3.2.4.2 定义与性质

定义 3.2.16 (循环码). 如果一个 (n, k) 分组码的任意码字循环右移后仍是该码的码字，则称该码为循环码。

定理 3.2.13 (循环码的码字多项式特性). 设 A(x) 为 n 位循环码的码字多项式，则

A(x) ≡ A

′

(x) mod (x

+ 1) (3.41)

其中 A

′

(x) 也是该编码中的一个许用码组。

证明从略，方法包括爆算

3.2.4.3 生成矩阵

首先是一个结论

本质没有不等同，但是不同的工具用在不同的地方确实会有不一样的好处

高中有讲，基本一样，从略

老师发的周烔槃的书确实清晰，一下的笔记也是基于这本书

通信原理笔记第三章编码 Tsui Dik Sang

引理 3.2.14 (循环码的生成多项式). 对于一个循环码，其必有一个生成多项式 g(x)，满足

c(x) = uG(x) = (u

k−1

k−2

···u

)







g(x)

xg(x)

g(x)

k−1

g(x)







(3.42)

也就是说这些码都是生成多项式的倍数

然后这个 g(x) 有如下性质

，可以帮助我们快速通过给定的循环码找出生成多项式 g(x)

定理 3.2.15 (循环码生成多项式的性质). -

• g(x) 的 0 次项为 1

• g(x) 的次数为 r = n − k

• g(x) 能整除 x

+ 1

• g(x) 是唯一的

接下来探讨一下系统的生成方式，首先要将原始码的次数抬高

，然后在抬高的位置放入监督码，构成循环码如下

c(x) = u

k−1

n−1

+ u

k−2

n−2

+ ··· + u

n−k+1

+ u

n−k

+ r(x) (3.43)

然后，根据循环码都是生成多项式的倍数，于是尝试对 eq. (3.43) 两边取模，则左边为零

0 = [u(x)x

n−k

] mod g(x) + r(x) mod g(x) (3.44)

(3.45)

所以

推论 3.2.16 (循环码监督多项式计算公式).

r(x) ≡ [u(x)x

n−k

] mod g(x) (3.46)

因此给定生成多项式以及原始码就可以按照上面的步骤计算出监督码，从而构造出循环码。

定理 3.2.17 (循环码生成).

c(x) = u(x)x

n−k

+ [u(x)x

n−k

] mod g(x) (3.47)

3.2.4.4 校验矩阵

如果式子不能被生成多项式整除的话，那么就说明出现了错误，假设接收到的码组的多项式为 B(x), 计算

r(x) = B(x) mod g(x) (3.48)

证明从略了，书上都有写，

乘一个 x

n−k

第四章课内部分完结

至此，通信原理 ppt 课堂上学习的所有的内容都已经全覆盖了，如果能看到这里，就无需担心考超纲的内容了。

Tsui Dik Sang

2025.12.31

参考文献

[1] 樊昌信，曹丽娜. 通信原理（第 7 版）. 国防工业出版社，2019.

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